Покажем теперь, что для наиболее общих У-систем существуют две расслоеные структуры, аналогичные орициклам из предыдущего раздела.

Пусть $(M, \varphi)$ – У-система, где $\varphi$ – У-диффеоморфизм $M$. Если $m \in M$, то обозначим через $X_{m}$ (соответственно, $Y_{m}$ ) поле растягивающихся (соответственно, сжимающихся) $k$-плоскостей (соответственно, $l$-плоскостей).

Теорема Синая. 15.1 ${ }^{6}$. Пусть $\varphi-$ У-диффеоморфизм. Тогда:

1) существуют два расслоения $\mathscr{X}$ и $\mathscr{Y}$, инвариантные относительно $\varphi$, которые касательны соответственно к растягивающемуся полю $X_{m}$ и сжимающемуся полю $Y_{m}$. Следовательно, эти поля вседда интегрируемы.
2) Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}: M \rightarrow M C^{2}$-близок к $\varphi$, то $\varphi^{\prime}-У$-диффеоморфизм. В частности, расслоения $\mathscr{X}$ и $\mathscr{Y}$ структурно устойчивы (см. §16).

Приведем схему доказательства. Полное доказательство см. в приложении 22.

Конструкция 15.2.
Доказательство основано на следующей конструкции. Рассмотрим пространство полей $k$-плоскостей, касательных к $M$. Пусть $\rho$ – поле, $\rho(m)-k$-плоскости из $T M_{m}$. Преобразование $\varphi$ индуцирует преобразование в пространстве полей. Обозначим это индуцированное преобразование через $\varphi^{* *}$. По определению,
\[
\varphi^{* *} \rho(m)=\varphi^{*} \rho\left(\varphi^{-1} m\right),
\]

где $\varphi^{*}: T M \rightarrow T M$ – дифференциал преобразования $\varphi$, который отображает $k$-плоскость из $T M_{m}$ в $k$-плоскость из $T M_{\varphi(m)}$.

Пространство полей $\rho$ снабжено естественной метрикой $\left|\rho_{1}-\rho_{2}\right|$. Таким образом, это полное пространство. Можно доказать (см. приложение 22), что в силу аксиом У-систем отображение $\varphi^{* *}$ (или, по крайней мере, некоторая его положительная целая степень $\left(\varphi^{* *}\right)^{n}$ ) действует

как сжимающее в окрестности растягивающего поля $X_{m}$ :
\[
\left|\varphi^{* *} \rho_{1}-\varphi^{* *} \rho_{2}\right| \leqslant \theta \cdot\left|\rho_{1}-\rho_{2}\right|, \quad 0<\theta<1,
\]

при
\[
\left|\rho_{1}-X_{m}\right|<\delta, \quad\left|\rho_{2}-X_{m}\right|<\delta,
\]

где $\delta$ достаточно мало. Неравенство (15.3) доказано для $\varphi$; ясно, что оно верно для всех преобразований $\varphi^{\prime}, C^{2}$-близких к $\varphi$, поскольку $\varphi^{\prime *}$ $C^{1}$-близко к $\varphi^{*}$.

Но из теоремы о сжимающих преобразованиях следует, что отображение, удовлетворяющее неравенству (15.3), допускает неподвижную точку. Нетрудно видеть, что полем неподвижных плоскостей $\rho$ для $\varphi$ служит $X$. Но для $\varphi^{\prime}$ эту роль играет другое поле $\rho^{\prime}$. Ясно, что
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\varphi^{\prime * *}\right)^{n} X, \\
\varphi^{\prime *} \rho^{\prime}(m)=\rho^{\prime}\left(\varphi^{\prime} m\right),
\end{array}
\]

и поле $p^{\prime}$ растягивающееся для $\varphi^{\prime}$.
Рассуждая аналогичным образом с $\varphi^{-1}$, мы получаем сжимающееся поле, близкое к полю $Y$. Поэтому $\varphi^{\prime}-C$-диффеоморфизм.

Инвариантные слоения 15.4.
Предположим сначала, что система $(M, \varphi)$ допускает два инвариантных слоения $\mathscr{X}$ и $\mathscr{Y}$ касательных, соответственно, к $X$ и $Y$. Тогда система $\left(M, \varphi^{\prime}\right.$ ) обладает теми же свойствами. Действительно, поле $\rho^{\prime}$, инвариантное относительно $\varphi^{\prime}$, получается следующим образом:
\[
\rho^{\prime}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\varphi^{\prime * *}\right)^{n} X
\]

Но $\left(\varphi^{\prime * *}\right)^{n} X$ – поле плоскостей, касательных к слоению $\varphi^{\prime n} \mathscr{X}$. Следовательно, предельное поле $\rho^{\prime}$ интегрируемое, т.е. касательно к некоторому слоению $\mathscr{X}^{\prime}$. Тем самым часть 2 теоремы доказана.

В действительности то же рассуждение доказывает существование слоения $\mathscr{X}$. В самом деле, покроем (компактное) многобразие $M$ конечным числом локальных карт $\left(C_{i}, \psi\right)$; каждое из $c_{i}$ – некоторая окрестность точки $m_{i}, \psi_{i}$ – отображение $\psi_{i}: C_{i} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \quad(n=\operatorname{dim} M)$.

В каждой окрестности $C_{i}$ рассмотрим слоение $\mathscr{X}_{i}^{0}$ такое, что $\psi_{i}\left(\mathscr{X}_{i}^{0}\right)$ – слоение образа $\psi_{i}\left(C_{i}\right)$ на плоскости, параллельные $\psi_{i}\left(X_{m i}\right)$. Карты можно выбрать достаточно малыми для того, чтобы поле $X_{i}^{0}(m)$,

касательное к $\mathscr{X}_{i}^{0}$ в каждой точке $m \in C_{i}$, было достаточно близко к растягивающему полю $X_{m}$. Ясно, что если точка $m$ принадлежит одновременно нескольким $C_{i}$, то в точке $m$ существует несколько плоскостей $X_{i}^{0}(m)$.

Рассмотрим теперь слоение $\mathscr{X}_{i}^{n}=\varphi^{n} \mathscr{X}_{i}^{0}$, определенное на $\varphi^{n} C_{i}$. Эти слоения покрывают $M$, и, как следует из неравенства (15.3), их касательные поля стремятся к $X_{m}$, когда $n \rightarrow \infty$. Из этого нетрудно сделать вывод о том, что существует предельное слоение $\mathscr{X}$, касательное к $X_{m}$. Тем самым теорема полностью доказана.

ЗамечаниЕ 15.5. Если система $(M, \varphi)$ достаточно число раз дифференцируема, то каждый слой слоения $\mathcal{X}$ также достаточное число раз дифференцируем. Аналогичное утверждение относительно самого слоения неверно: нормальные производные к слоям могут не существовать.

Можно доказать ${ }^{7}$, что слоение $\mathscr{X}$, т.е. поле $X_{m}$, принадлежит классу $C^{1}$, если размерность плоскостей $X_{m}$ равна 1 . По-видимому, в общем случае поле $X_{m}$ недифференцируемо. Во всяком случае, существуют примеры, в которых поля $X_{m}$ и $Y_{m}$ не принадлежат классу $C^{1}$.

Замечание 15.6. Приведенное выше доказательство обобщается для У-потоков.