Пусть $A$ – линейное симплектическое отображение плоскости $(p, q)$. Отображение $A$ сохраняет площадь $d p \wedge d q$, следовательно, $\operatorname{det} A=1$. Поэтому произведение собственных значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ отображения $A$ равно 1. Но $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ – два корня характеристического уравнения $\operatorname{det}(A-\lambda E)=0$ с действительными коэффициентами. Следовательно, $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ либо оба действительные, либо комплексно сопряженные: $\lambda_{1}=\bar{\lambda}_{2}$. В первом случае один из корней по абсолютной величине больше 1 , а другой меньше 1 :
\[
\left|\lambda_{2}\right|<1<\left|\lambda_{1}\right| .
\]

Рис. П27.3
Во втором случае
\[
1=\lambda_{1} \lambda_{2}=\lambda_{1} \bar{\lambda}_{1}=\left|\lambda_{1}\right|^{2}=\left|\lambda_{2}\right|^{2}, \quad \lambda_{1}
eq \lambda_{2},
\]

следовательно, корни располагаются на единичной окружности (см. рис. П27.3). Остается еще третий случай:
\[
\lambda_{1}=\lambda_{2}= \pm 1 \text {. }
\]

ПРимеР П27.4. Гиперболический поворот:
\[
p, q \rightarrow 2 p, \frac{1}{2} q
\]

или гиперболический поворот с отражением:
\[
p, q \rightarrow-2 p,-\frac{1}{2} q \quad \text { (см. рис. П27.5). }
\]

Рис. П27.5
В обоих случаях орбита $T^{n} x$ точки $x=(p, q)$ лежит на гиперболе $p q=$ const. Ясно, что неподвижная точка $O$ неустойчива. Из классических теорем линейной алгебры следует, что любое отображение $A$ первого типа ( $\lambda_{1}
eq \lambda_{2}, \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ действительны) есть гиперболический поворот, возможно с отражением. Иначе говоря, после замены переменных его можно записать в виде $P, Q \rightarrow \lambda P, \frac{1}{\lambda} Q$.
ПРИмЕР П27.6. Поворот на угол $\alpha$ принадлежит ко второму классу $\left(\lambda_{1}=e^{-i \alpha}, \lambda_{2}=e^{i \alpha}\right)$ :
\[
p, q \rightarrow p \cos \alpha-q \sin \alpha, \quad p \sin \alpha+q \cos \alpha .
\]

Линейная замена переменных преобразует этот поворот в «эллиптический поворот» (см. рис. П27.7). В этом случае орбита $T^{n} x$ точки $x=(p, q)$ лежит на эллипсе с центром $O$. Ясно, что неподвижная точка $O$ устойчива.

Рис. П27.7

Из классических теорем линейной алгебры следует, что любое отображение $A$ второго типа ( $\left|\lambda_{1}\right|=\left|\lambda_{2}\right|=1, \quad \lambda_{1}
eq \lambda_{2}$ ) есть эллиптический поворот.

В первом случае (П27.1) говорят, что неподвижная точка $O$ гиперболическая или что отображение $A$ гиперболично в точке $O$.

Во втором случае (П27.2) говорят, что неподвижная точка $O$ эллиптическая или что отображение $A$ эллиптично в точке $O$.
Наконец, третий случай ( $\lambda^{2}=1$ ) называется параболическим.

Замечание П27.8. Пусть $A$ – эллиптическое отображение. Тогда любое каноническое отображение $A^{\prime}$, близке к $A$, также эллиптично. Действительно, корни $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ непрерывно зависят от $A$ и должны оставаться на фигуре, образованной действительной осью и единичной окружностью (см. рис. П27.3). Следовательно, они могут покинуть единичную окружность только в точках $\lambda= \pm 1$, что соответетвует параболическому случаю.

Напомним еще понятие топологического индекса векторного поля. Рассмотрим векторное поле $\xi(x)$ на плоскости $p, q$, которое обращается в нуль в изолированной точке: $\xi(0)=0$. Оно определяет отображение окружности $x^{2}=p^{2}+q^{2}=1$ на себя $B(\varepsilon): S^{1} \rightarrow S^{1}$, по формуле
\[
B(\varepsilon): x \rightarrow \frac{\xi(\varepsilon \cdot x)}{\|\xi(\varepsilon \cdot x)\|} \text {. }
\]

При достаточно малом $\varepsilon$ топологическая степень этого отображения не зависит от $\varepsilon$ и называется индексом поля в точке $O$, или индексом точки $O$.

Рассмотрим теперь векторное поле $\xi(x)=A x-x$. Если отображение $A$ не параболическое, то точка $O$ – изолированный нуль поля.

Теорема П27.9. Индекс эллиптической точки равен +1 , индекс гиперболической точки равен -1 , а индекс гиперболической точки с отражением равен +1 .

Теорема непосредственно следует из рис. (П27.5) и (П27.7).