Смейл [3] доказал, что не существует неторических У-диффеоморфизмов. Приведем один пример, иллюстрирующий его конструкцию. Пространство $M$.
Пусть $G$ — нильпотентная группа Ли матриц размерности $6\times 6$ :
$$g=\left(\begin{array}{cccccc}1& x& y& & & \\ & 1& z& & 0& \\ & & 1& & & \\ & & & 1& X& Y\\ & 0& & & 1& Z\\ & & & & & 1\end{array}\right),$$

где $x,y,z,X,Y,Z\in \mathbb{R}$. Группа $G$ диффеоморфна ${\mathbb{R}}^6$.
Обозначим через $Q(\sqrt{3})=\{p+q\sqrt{3}\mid p,q\in \mathbb{Z}\}$ поле чисел, приближающее $\sqrt{3}$ рациональными числами, и через $x=p+$ $+q\sqrt{3}\to \overline{x}=p=q\sqrt{3}$ нетривиальный автоморфизм Галуа. Рассмотрим подгруппу Г группы $G$, элементы которой удовлетворяют соотношениям
$$\begin{array}{c}x,y,z\in Q(\sqrt{3}),\\ X=\overline{x},Y=\overline{y},Z=\overline{z}.\end{array}$$

Нетрудно доказать, что группа $\mathrm{\Gamma }$ дискретна и правый смежный класс $M=\{g\mathrm{\Gamma }\}=G/\mathrm{\Gamma }$ компактен.

Очевидно, что первая гомотопическая группа $M$ изоморфна $\mathrm{\Gamma }$ и, следовательно, является неабелевой нильпотентной группой. Следовательно, пространство $M$ неторическое.
Диффеоморфизм $\phi :M\to M$.
Отождествим элементы $g\in G\mathrm{c}(x,y,z,Z,Y,Z)$. Определим отображение $\tilde{\phi }:G\to G$
$$\tilde{\phi }(x,y,z,X,Y,Z)=(\lambda x,\mu y,uz,\overline{\lambda }X,\overline{\mu }Y,\overline{u}Z),$$

где
$$\lambda =2+\sqrt{3},u=(2-\sqrt{3}{)}^2,\mu =\lambda u=2-\sqrt{3}.$$
$\tilde{\phi }$ является автоморфизмом $G$, поскольку $\mu =\lambda u$. Следовательно, $\tilde{\phi }\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\phi }$ определяет диффеоморфизм $\phi$ пространства $M$ :
$$\phi :g\mathrm{\Gamma }\to \tilde{\phi }(g)\mathrm{\Gamma }.$$
$(M,\phi )$ является ${У}_{\text{-диффеоморфизмом. }}$
Элемент алгебры Ли $T{G}_e$ группы $G$ имеет вид
$$\left(\begin{array}{cccccc}0& a& b& & & \\ & 0& c& & 0& \\ & & 0& & & \\ & & & 0& A& B\\ & 0& & & 0& C\\ & & & & & 0\end{array}\right).$$

Метрика
$$d{s}^2=d{a}^2+d{b}^2+d{c}^2+d{A}^2+d{B}^2+d{C}^2$$

на $T{G}_e$ определяет правоинвариантную метрику на $G$ и, следовательно, риманову метрику на $M=G/\mathrm{\Gamma }$. Алгебра Ли $T{G}_e$ разбивается в сумму $X+Y$, где элементы $X$ (соответственно, $Y$ ) имеют вид
$$\left(\begin{array}{cccccc}0& a& 0& & & \\ & 0& 0& & 0& \\ & & 0& & & \\ & & & 0& 0& B\\ & 0& & & 0& C\\ & & & & & 0\end{array}\right)\text{ (соответственно) }\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& b& & & \\ & 0& c& & 0& \\ & & 0& & & \\ & & & 0& A& 0\\ & 0& & & 0& 0\\ & & & & & 0\end{array}\right).$$

При правых трансляциях происходит расщепление касательного пространства $T{G}_g$ в каждой точке $g\in G$ :
$$T{G}_g={\tilde{X}}_g+{\tilde{Y}}_g.$$

Следовательно, касательное пространство $T{M}_m$ в точке $m\in M$ также расщепляется:
$$T{M}_m=X_m+Y_m.$$

Нетрудно заметить, что линейное касательное отображение $d\phi$ является растягивающим на $X_m$ и сжимающим на $Y_m$.