Смейл [3] доказал, что не существует неторических У-диффеоморфизмов. Приведем один пример, иллюстрирующий его конструкцию. Пространство $M$.
Пусть $G$ – нильпотентная группа Ли матриц размерности $6 \times 6$ :
\[
g=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & x & y & & & \\
& 1 & z & & 0 & \\
& & 1 & & & \\
& & & 1 & X & Y \\
& 0 & & & 1 & Z \\
& & & & & 1
\end{array}\right),
\]

где $x, y, z, X, Y, Z \in \mathbb{R}$. Группа $G$ диффеоморфна $\mathbb{R}^{6}$.
Обозначим через $Q(\sqrt{3})=\{p+q \sqrt{3} \mid p, q \in \mathbb{Z}\}$ поле чисел, приближающее $\sqrt{3}$ рациональными числами, и через $x=p+$ $+q \sqrt{3} \rightarrow \bar{x}=p=q \sqrt{3}$ нетривиальный автоморфизм Галуа. Рассмотрим подгруппу Г группы $G$, элементы которой удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
x, y, z \in Q(\sqrt{3}), \\
X=\bar{x}, \quad Y=\bar{y}, \quad Z=\bar{z} .
\end{array}
\]

Нетрудно доказать, что группа $\Gamma$ дискретна и правый смежный класс $M=\{g \Gamma\}=G / \Gamma$ компактен.

Очевидно, что первая гомотопическая группа $M$ изоморфна $\Gamma$ и, следовательно, является неабелевой нильпотентной группой. Следовательно, пространство $M$ неторическое.
Диффеоморфизм $\varphi: M \rightarrow M$.
Отождествим элементы $g \in G \mathrm{c}(x, y, z, Z, Y, Z)$. Определим отображение $\widetilde{\varphi}: G \rightarrow G$
\[
\widetilde{\varphi}(x, y, z, X, Y, Z)=(\lambda x, \mu y,
u z, \bar{\lambda} X, \bar{\mu} Y, \bar{
u} Z),
\]

где
\[
\lambda=2+\sqrt{3}, \quad
u=(2-\sqrt{3})^{2}, \quad \mu=\lambda
u=2-\sqrt{3} .
\]
$\tilde{\varphi}$ является автоморфизмом $G$, поскольку $\mu=\lambda
u$. Следовательно, $\widetilde{\varphi} \Gamma=\Gamma$ и $\widetilde{\varphi}$ определяет диффеоморфизм $\varphi$ пространства $M$ :
\[
\varphi: g \Gamma \rightarrow \widetilde{\varphi}(g) \Gamma .
\]
$(M, \varphi)$ является $У_{\text {-диффеоморфизмом. }}$
Элемент алгебры Ли $T G_{e}$ группы $G$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a & b & & & \\
& 0 & c & & 0 & \\
& & 0 & & & \\
& & & 0 & A & B \\
& 0 & & & 0 & C \\
& & & & & 0
\end{array}\right) .
\]

Метрика
\[
d s^{2}=d a^{2}+d b^{2}+d c^{2}+d A^{2}+d B^{2}+d C^{2}
\]

на $T G_{e}$ определяет правоинвариантную метрику на $G$ и, следовательно, риманову метрику на $M=G / \Gamma$. Алгебра Ли $T G_{e}$ разбивается в сумму $X+Y$, где элементы $X$ (соответственно, $Y$ ) имеют вид
\[
\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a & 0 & & & \\
& 0 & 0 & & 0 & \\
& & 0 & & & \\
& & & 0 & 0 & B \\
& 0 & & & 0 & C \\
& & & & & 0
\end{array}\right) \quad \text { (соответственно) } \quad\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & b & & & \\
& 0 & c & & 0 & \\
& & 0 & & & \\
& & & 0 & A & 0 \\
& 0 & & & 0 & 0 \\
& & & & & 0
\end{array}\right) .
\]

При правых трансляциях происходит расщепление касательного пространства $T G_{g}$ в каждой точке $g \in G$ :
\[
T G_{g}=\widetilde{X}_{g}+\widetilde{Y}_{g} .
\]

Следовательно, касательное пространство $T M_{m}$ в точке $m \in M$ также расщепляется:
\[
T M_{m}=X_{m}+Y_{m} .
\]

Нетрудно заметить, что линейное касательное отображение $d \varphi$ является растягивающим на $X_{m}$ и сжимающим на $Y_{m}$.