Начнем с рассмотрения примера.

Пример 10.1. Вернемся еще раз к примеру 1.16 из гл. 1: $M$ тор $\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженный обычной мерой, автоморфизм определяется соотношением
\[
\varphi(x, y)=(x+y, x+2 y) \quad(\bmod 1),
\]

$U$ – оператор, индуцированный автоморфизмом $\varphi$. Хорошо известно, что множество $D$ функций
\[
\left\{e_{p, q}(x, y)=e^{2 \pi i(p x+q y)}, \quad p, q \in \mathbb{Z}\right\},
\]

образует полный ортонормированный базис в $L_{2}(M, \mu)$. Множество $D$ может быть отождествлено с решеткой $\mathbb{Z}^{2}=\{(p, q)\} \subset \mathbb{R}^{2}$. Поскольку
\[
U e_{p, q}=e_{p+q, p+2 q},
\]

то оператор $U$ индуцирует на $D$ автоморфизм $u$ :
\[
u(p, q)=(p+q, p+2 q) .
\]

Докажем, что $(0,0)$ – единственная ограниченная траектория автоморфизма $u$. Предположим, что $(p, q) \in \mathbb{Z}^{2}$ принадлежит ограниченной траектории. Тогда существует целое число $k$ такое, что $u^{k}(p, q)=$ $=(p, q)$.
Следовательно, если $K$ – корень $k$-й степени из единицы, то
\[
K^{k-1}(p, q)+K^{k-2} u(p, q)+\cdots+u^{k-1}(p, q)
\]
– собственный вектор автоморфизма $u$ с собственным значением $K$.

Но собственные значения автоморфизма $u$ являются собственными значениями матрицы
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)
\]

и не являются корнями из единицы. Отсюда следует, что $(p, q)=(0,0)$ и что $\mathbb{Z}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ разлагается на множество $I$ орбит автоморфизма $u$, и каждая орбита находится во взаимно однозначном соответствии с $\mathbb{Z}$.

Но вернемся к $D=\left\{e_{p, q} \mid p, q \in \mathbb{Z}\right\} . D \backslash\left\{e_{0,0}\right\}$ разлагается на орбиты автоморфизма $U: C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{i}, \ldots ; i \in I$. Если $f_{i, 0} \in C_{i}$, то можно записать
\[
C_{i}=\left\{f_{i, n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}
\]

где $f_{i, n}=U^{n} f_{i, 0}$. Подводя итог, можно сказать, что $H_{i}$ – пространство, порожденное векторами орбиты $C_{i}$, и $L_{2}(M, \mu)$ – прямая сумма пространств $H_{i}$ и одномерного пространства функций-констант, порождаемых $e_{0,0}$. Каждое из $H_{i}$ инвариантно относительно $U$ и обладает полным ортонормированным базисом $\left\{f_{i, n}|| n \in \mathbb{Z}\right\}$ таким, что
\[
U f_{i, n}=f_{i, n+1} .
\]

Эта ситуация встречается достаточно часто для того, чтобы оправдать следующее определение.

Определение 10.2. Пусть $(M, \mu, \varphi)$ – абстрактная динамическая система, $U$ – индуцированный унитарный оператор. Говорят, что эта система обладает лебеговским спектром $L^{I}$, если существует полный ортонормированный базис пространства $L_{2}(M, \mu)$, образованный функцией 1 и функциями $f_{i, j}(i \in I, j \in \mathbb{Z})$ такими, что
\[
U f_{i, j}=f_{i, j+1} \quad \text { для любых } i, j .
\]

Тогда мощность множества $I$ однозначно определена; она называется кратностью лебеговского спектра. Если множество $I$ (счетно) бесконечно, то лебеговский спектр называется (счетно) бесконечным ${ }^{6}$. Если множество $I$ состоит из одного элемента, то лебеговский спектр называется простым. Аналогичное определение имеется и в непрерывном случае.

Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – динамическая система, $U_{t}$ – однопараметрическая группа индуцированных унитарных операторов. Говорят, что эта система имеет лебеговский спектр кратности I, если каждый оператор $U_{t}(t
eq 0)$ илеет лебеговский спектр кратности $I$.
ЗАмечание 10.3. Эта терминология возникла следующим образом. Рассмотрим спектральное разложение оператора $U_{t}$, задаваемое теоремой Стоуна:
\[
U_{t}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2 \pi i t \lambda} d E(\lambda)
\]

Система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) имеет лебеговский спектр в том и только том случае, если мера $\langle E(\lambda) f \mid f\rangle$ абсолютно непрерывна по мере Лебега при любой $f \in L_{2}(M, \mu),\langle f \mid 1\rangle=0$.

Теорема 10.4. Динамическая система с лебеговским спектром обладает перемешиванием.

Доказательство.
По теореме 9.8 необходимо доказать, что для всех $f, g \in L_{2}$
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle U^{n} f \mid g\right\rangle=\langle f \mid 1\rangle \cdot\langle 1 \mid g\rangle .
\]

Это эквивалентно тому, что для каждых $f$ и $g$ из ортогонального дополнения к функции 1
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle U^{n} f \mid g\right\rangle=0 .
\]

Достаточно доказать это для случая, когда $f$ и $g$ являются базисными векторами. Если $f=f_{i, j}, g=f_{k, r}$, то
\[
\left\langle U^{n} f \mid g\right\rangle=\left\langle f_{i, n+j} \mid f_{k, r}\right\rangle,
\]

где правая часть равна нулю, если $k
eq i$ или если $n$ достаточно велико. Общий случай может быть выведен из рассмотренного нами с помощью непрерывности и линейности.

Следствие 10.5. Автоморфизм $\varphi(x, y)=(x+y, x+2 y)(\bmod 1)$ тора
\[
M=\{(x, y) \quad(\bmod 1)\}
\]
(см. пример 1.16, гл. 1) имеет лебеговский спектр (см. пример 10.1). Следовательно, $\varphi(x, y)$ есть перемешивание и, таким образом, эргодичен (см. следствие 8.4).

Пример 10.6. Схемы Бернулли имеют бесконечный счетный лебеговский спектр и, следовательно, все принадлежат к одному и тому же спектральному типу.

Доказательство.
Докажем это утверждение для $B(1 / 2,1 / 2)$; те же рассуждения остаются в силе и для $B\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ с точностью до обозначений. Напомним (см. пример 2.2 , гл. 1 ), что $M=\mathbb{Z}_{2}^{\mathbb{Z}}$, где $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}-$ это пространство последовательностей
\[
m=\ldots, m_{-1}, m_{0}, m_{1}, \ldots ; \quad m_{i} \in\{0,1\} .
\]

Выберем в качестве ортонормированного базиса в пространстве $L_{2}\left(\mathbb{Z}_{2}, \mu\right)$, связанном с $n$-м экземпляром $\mathbb{Z}_{2}$, функцию 1 и функцию
\[
y_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-1 & \text { при } x=0 \\
+1 & \text { при } x=1 .
\end{array}\right.
\]

Базис для ортогонального дополнения $L_{2}^{\prime}(M, \mu)$ к функциям-константам на $L_{2}(M, \mu)$ мы получим, взяв конечные произведения функций $y_{n}$ с различными индексами:
\[
y_{n_{1}} \cdots y_{n_{k}} \text {. }
\]

Пусть $U-$ унитарный оператор, индуцированный сдвигом $\varphi$ : $m \rightarrow m^{\prime}\left(m_{i}^{\prime}=m_{i-1}\right.$ при любых $i$ ). Назовем два элемента из построенного базиса эквивалентными, если некоторая степень оператора $U$ переводит один элемент в другой. Тогда базис разбивается на счетное множество классов эквивалентности. Каждый такой класс эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с $\mathbb{Z}$ : действие оператора $U$ на класс переводит элемент, соответствующий $n \in \mathbb{Z}$, в элемент, соответствующий $n+1$.

Следовательно, в $L_{2}^{\prime}(M, \mu)$ существует полный ортонормированный базис $e_{p, q}, p \in \mathbb{Z}^{+}, q \in \mathbb{Z}$ такой, что
\[
U e_{p, q}=e_{p, q+1} \quad \text { при любых } p, q .
\]

Число $p$ указывает номер класса эквивалентности, а $q \in \mathbb{Z}$ – номер элемент $e_{p, q}$ в соответствующем классе. Следовательно, $B(1 / 2,1 / 2)$ имеет счетнократный лебеговский спектр.

Пусть $M\left(M_{1}, \mu_{1}, \varphi_{1}\right), M\left(M_{2}, \mu_{2}, \varphi_{2}\right)$ – две схемы Бернулли. Тогда существуют полные ортонормированные базисы $\left\{1, f_{i, j}^{1}\right\}$ и $\left\{1, f_{i, j}^{2}\right\}$, соответственно, на $L_{2}\left(M_{1}, \mu_{1}\right)$ и $L_{2}\left(M_{2}, \mu_{2}\right)$ такие, что
\[
U_{1} f_{i, j}^{1}=f_{i, j+1}^{1}, \quad U_{2} f_{i, j}^{2}=f_{i, j+1}^{2} \quad \text { при любых } i, j .
\]

Изометрия $L_{2}\left(M_{1}, \mu_{1}\right)$ на $L_{2}\left(M_{2}, \mu_{2}\right)$, определяемая соответствием
\[
1 \rightarrow 1, \quad f_{i, j}^{1} \rightarrow f_{i, j}^{2},
\]

показывает, что две наши схемы Бернулли одного и того же спектрального типа.