Пример 13.1. На торе $M=\{(x,y)mod1\}$, снабженном римановой метрикой $d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$, рассмотрим диффеоморфизм
$$\phi :\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)(mod1).$$

Это — гиперболический поворот, т.е. матрица
$$\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

имеет два действительных собственных значения ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ таких, что
$$0<{\lambda }_2<1<{\lambda }_1.$$

Пусть $X$ и $Y$ — два собственных направления, соответствующих ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$. Расстояния в направлении $X$ «растягиваются», а в направлении $Y$ «сжимаются». Более точно, пусть $T{M}_m$ — пространство, касательное к $M$ в точке $m,X_m$ и $Y_m$ — подпространства, параллельные, соответственно, $X$ и $Y,{\phi }^{\ast }:T{M}_m\to T{M}_{\phi (m)}$ — дифференциальное отображение $\phi$. Тогда
$$\begin{array}{l}\Vert {\phi }^{\ast }\xi \Vert ⩾{\lambda }_1\cdot \Vert \xi \Vert \text{ при }\xi \in X_m,({\lambda }_1>1);\\ \Vert {\phi }^{\ast }\xi \Vert ⩽{\lambda }_2\cdot \Vert \xi \Vert \text{ при }\xi \in Y_m,(0<{\lambda }_2<1),\end{array}$$

где $\Vert \cdot \Vert$ означает длину (см. рис. 13.2).
Рис. 13.2
Этот пример служит характерным представителем У-систем, к определению которых мы сейчас переходим.

Определение 13.3. Пусть $\phi$ — диффеоморфизм класса $C^2$ связного

компактного риманова многообразия $M$ класса $C^{\mathrm{\infty }}$. Обозначим через ${\phi }^{\ast }:T{M}_m\to T{M}_{\phi (m)}$ дифференциал отображения $\phi$.

Мы говорим, что $\phi$ удовлетворлет условию $У$, или что $\phi -{У}_{\text{-диф- }}$ феоморфизм, если существуют два поля касательных плоскостей $X_m$ и $Y_m$ положительных размерностей таких, что:
1) Т $M_m$ — прямая сумма $X_m$ и $Y_m$ :
$$T{M}_m=X_m\oplus Y_m;$$
2) при всех целых положительных $n$
$$\begin{array}{l}\Vert {\left({\phi }^n\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩾a\cdot e^{\lambda n}\Vert \xi \Vert ,\Vert {\left({\phi }^{-n}\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩽b\cdot e^{-\lambda n}\Vert \xi \Vert \text{ npu }\xi \in X_m,\\ \Vert {\left({\phi }^n\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩽b{e}^{-\lambda n}\Vert \xi \Vert ,\Vert {\left({\phi }^{-n}\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩾a\cdot e^{\lambda n}\Vert \xi \Vert \text{ npu }\xi \in Y_m,\end{array}$$

где положительные константы $a,b,\lambda$ не зависят от $n$ и $\xi ,\Vert \xi \Vert$ означает длину вектора $\xi$. Пространство $X_m$ называется растягивающимся, а пространство $Y_m$ — сжимающимся.
Пример 13.1 удовлетворяет условию У:
$$a=b=1,e^{\lambda }={\lambda }_1,e^{-\lambda }={\lambda }_2({\lambda }_1{\lambda }_2=1).$$

Приведенное выше определение распространяется на непрерывный случай.

Пусть ${\phi }_t$ — группа с параметром $t\in \mathbb{R}$ диффеоморфизмов класса $C^2$ связного компактного риманова многообразия $M$ класса $C^{\mathrm{\infty }}$. Говорят, что ${\phi }_t$ — У-поток, если:
1) вектор скорости ${\frac{d}{dt}{\phi }_{t}m|}_{t=0}$ не равен нулю;
2) $T{M}_m$ — касательное пространство в точке $т$ разлагается в прямую сумму:
$$T{M}_m=X_m\oplus Y_m\oplus Z_m,$$

где $Z_m$ — пространство, порожденное вектором скорости в $\mathrm{m}$, $u\dim X_m=keq0,\dim Y_m=leq0;$
3) при положительном вещественном $t$
$$\begin{array}{l}\Vert {\left({\phi }_t\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩾a\cdot e^{\lambda t}\Vert \xi \Vert ,\Vert {\left({\phi }_{-t}\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩽b\cdot e^{-\lambda t}\Vert \xi \Vert ,\text{ ecлu }\xi \in X_m,\\ \Vert {\left({\phi }_t\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩽b\cdot e^{-\lambda t}\Vert \xi \Vert ,\Vert {\left({\phi }_{-t}\right)}^{\ast }\xi \Vert ⩾a\cdot e^{\lambda t}\Vert \xi \Vert ,\text{ если }\xi \in Y_m,\end{array}$$

дде постоянные $a,b,\lambda$ положительны и не зависят от $\xi$ и $t$.
Условие 1 означает, что система не находится в равновесном состоянии. Условие 3 описывает поведение решений системы $(TM,{\left({\phi }_t\right)}^{\ast })$.

Замечание 13.4. Нетрудно доказать, что:
1) подпространства $X_m$ и $Y_m$ однозначно определяются своими свойствами (и являются наиболее «растягивающимся» и «сжимающимся» подпространствами в $T{M}_m$ );
2) $\dim X_m=k$ и $\dim Y_m=l$ не зависят от $m$ ( $k$ — непрерывная функция от $m$, принимающая целочисленные значения на связном $M$ );
3) $X_M$ и $Y_m$ непрерывно зависят от $m$.

Наконец, заметим, что У-система не является классической системой (см. определение 1.1), поскольку мы не постулировали существование инвариантной меры.

Покажем теперь, что, отправляясь от У-диффеоморфизма, можно построить некоторый У-поток.
ПРИМЕР 13.5 (С. СМЕЙл).
Пространство $M$.
Пусть $T^2=\{(x,y)mod1\}$ — двумерный тор, $[0,1]=\{u\mid 0⩽u⩽1\}$. Построим цилиндр $T^2\times [0,1]$ и затем отождествим $T^2\times \{0\}$ и $T^2\times \{1\}$ по формуле
$$((x,y),1)\equiv (\phi (x,y),0)=((x+y,x+2y),0)(mod1),$$

где $\phi$ — диффеоморфизм из 13.1:
$$\phi :\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)(mod1).$$

В результате мы получим компактное многообразие $M$. Пусть $(x,y,u)\in M;$ отображение $p:M\to S^1=\{u(mod1)\},p(x,y,u)=u$ всюду имеет ранг 1. Следовательно, многообразие $M$ есть расслоенное пространство ${}^2$ с базой $S$ и слоем типа $T^2$.
Поток ${\phi }_t$.
Группа диффеоморфизмов ${\phi }_t$ многообразия $M$ определена соотношением
$$\dot{x}=0,\dot{y}=0,\dot{u}=1.$$

Метрика на $M$.
Пусть ${\lambda }_1,{\lambda }_2(0<{\lambda }_2<1<{\lambda }_1)$ — собственные значения матрицы
$$\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\text{. }$$

Метрика на $T^2\times [0,1]$ определена соотношением
$$d{s}^2={\lambda }_1^{2u}{[{\lambda }_{1}dx+(1-{\lambda }_1)dy]}^2+{\lambda }_2^{2u}{[{\lambda }_{2}dx+(1-{\lambda }_2)dy]}^2+d{u}^2.$$

Нетрудно убедиться в том, что эта метрика инвариантна относительно отображения
$$(x,y,u)\to (x+y,x+2y,u-1).$$

Иначе говоря, эта метрика совместима с произведенным выше отождествлением $T^2\times \{0\}$ и $T^2\times \{1\}$. Следовательно, это метрика на $M$. $(M,\phi )-$ У-nomok. ${}^{\text{not }}$
Проверим три условия из определения 13.3.

1) Из (13.7) следует, что вектор скорости не обращается в нуль.
2) Пусть $m=(x,y,z)\in M$. Определим три подпространства $X_m,Y_m,Z_m$ пространства $T{M}_m:X_m$ (соответственно, $Y_m$ ) касается слоя $T^2\times u$ и параллелен собственному направлению, соответствующему собственному значению ${\lambda }_1$ (соответственно ${\lambda }_2$ ), диффеоморфизма $\phi$ слоя $T^2\times \{u\}$ :
$$\phi :\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{lll}1& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)(mod1)$$

подпространство $Z_m$ коллинеарно вектору скорости (13.7). Имеем:
$$\begin{array}{c}T{M}_m=X_m\oplus Y_m\oplus Z_m,\\ \dim X_m=\dim Y_m=1.\end{array}$$

3) Пусть $\xi \in X_m$; компоненты $\xi$ в системе координат ( $x,y,u$ ) имеют вид
$$(s,s({\lambda }_1-1),0),s\in \mathbb{R}.$$

С другой стороны, согласно (13.7) матрица диффеоморфизма ${\phi }_s^{\ast }$ есть не что иное, как единичная матрица. Следовательно, из (13.8) получаем:
$${\Vert \left({\phi }_t^{\ast }\right)\xi \Vert }^2={\lambda }_1^{2(u+t)}{[{\lambda }_{1}s+(1-{\lambda }_1)({\lambda }_1-1)s]}^2={\lambda }_1^{2t}\cdot \Vert \xi {\Vert }^2,$$

откуда
$$\Vert \left({\phi }_t^{\ast }\right)\xi \Vert ={\lambda }_1^t\Vert \xi \Vert .$$

Таким образом, первая группа условий 3 (определение 13.3) выполняется, если принять $a=b=1,e^{\lambda }={\lambda }_1$.
Вторая группа условий проверяется таким же образом.
Ясно, что поле 2-плоскостей $X_m\oplus Z_m$ (соответственно, $Y_m\oplus Z_m$ ) гладкое и вполне интегрируемо; следовательно, оно определяет над $M$ расслоенную структуру ${}^3$.

Интегральные многообразия (или слои) состоят из орбит, асимптотически сближающихся при $t\to -\mathrm{\infty }$ (или $t\to +\mathrm{\infty }$ ) (см. рис. 13.9). В общем случае, как мы увидим, это свойство следует из условия У.

Замечание 13.10. Приведенная выше конструкция носит общий характер.
Пусть $(V,{\phi }_0)-C$-диффеоморфизм на многообразии $V$. Если в топологическом произведении $V\times [0,1]$ мы отождествим точки $(v,0)$ и $({\phi }_{0}v,1)$, то получим компактное многообразие $M$.
Определим У-поток на $M$, полагая
$${\phi }_t(v,s)=({\phi }_0^{[t+s]}v,t+s-[t+s]),$$

где $v\in V,s\in [0,1]$, и $[a]$ означает целую часть числа $a$.