Пример 13.1. На торе $M=\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженном римановой метрикой $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}$, рассмотрим диффеоморфизм
\[
\varphi:\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \quad(\bmod 1) .
\]

Это – гиперболический поворот, т.е. матрица
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)
\]

имеет два действительных собственных значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ таких, что
\[
0<\lambda_{2}<1<\lambda_{1} .
\]

Пусть $X$ и $Y$ – два собственных направления, соответствующих $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Расстояния в направлении $X$ «растягиваются», а в направлении $Y$ «сжимаются». Более точно, пусть $T M_{m}$ – пространство, касательное к $M$ в точке $m, X_{m}$ и $Y_{m}$ – подпространства, параллельные, соответственно, $X$ и $Y, \varphi^{*}: T M_{m} \rightarrow T M_{\varphi(m)}$ – дифференциальное отображение $\varphi$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left\|\varphi^{*} \xi\right\| \geqslant \lambda_{1} \cdot\|\xi\| \quad \text { при } \xi \in X_{m},\left(\lambda_{1}>1\right) ; \\
\left\|\varphi^{*} \xi\right\| \leqslant \lambda_{2} \cdot\|\xi\| \quad \text { при } \xi \in Y_{m},\left(0<\lambda_{2}<1\right),
\end{array}
\]

где $\|\cdot\|$ означает длину (см. рис. 13.2).
Рис. 13.2
Этот пример служит характерным представителем У-систем, к определению которых мы сейчас переходим.

Определение 13.3. Пусть $\varphi$ – диффеоморфизм класса $C^{2}$ связного

компактного риманова многообразия $M$ класса $C^{\infty}$. Обозначим через $\varphi^{*}: T M_{m} \rightarrow T M_{\varphi(m)}$ дифференциал отображения $\varphi$.

Мы говорим, что $\varphi$ удовлетворлет условию $У$, или что $\varphi-У_{\text {-диф- }}$ феоморфизм, если существуют два поля касательных плоскостей $X_{m}$ и $Y_{m}$ положительных размерностей таких, что:
1) Т $M_{m}$ – прямая сумма $X_{m}$ и $Y_{m}$ :
\[
T M_{m}=X_{m} \oplus Y_{m} ;
\]
2) при всех целых положительных $n$
\[
\begin{array}{ll}
\left\|\left(\varphi^{n}\right)^{*} \xi\right\| \geqslant a \cdot e^{\lambda n}\|\xi\|, \quad\left\|\left(\varphi^{-n}\right)^{*} \xi\right\| \leqslant b \cdot e^{-\lambda n}\|\xi\| \quad \text { npu } \xi \in X_{m}, \\
\left\|\left(\varphi^{n}\right)^{*} \xi\right\| \leqslant b e^{-\lambda n}\|\xi\|, \quad\left\|\left(\varphi^{-n}\right)^{*} \xi\right\| \geqslant a \cdot e^{\lambda n}\|\xi\| \quad \text { npu } \xi \in Y_{m},
\end{array}
\]

где положительные константы $a, b, \lambda$ не зависят от $n$ и $\xi,\|\xi\|$ означает длину вектора $\xi$. Пространство $X_{m}$ называется растягивающимся, а пространство $Y_{m}$ – сжимающимся.
Пример 13.1 удовлетворяет условию У:
\[
a=b=1, \quad e^{\lambda}=\lambda_{1}, \quad e^{-\lambda}=\lambda_{2} \quad\left(\lambda_{1} \lambda_{2}=1\right) .
\]

Приведенное выше определение распространяется на непрерывный случай.

Пусть $\varphi_{t}$ – группа с параметром $t \in \mathbb{R}$ диффеоморфизмов класса $C^{2}$ связного компактного риманова многообразия $M$ класса $C^{\infty}$. Говорят, что $\varphi_{t}$ – У-поток, если:
1) вектор скорости $\left.\frac{d}{d t} \varphi_{t} m\right|_{t=0}$ не равен нулю;
2) $T M_{m}$ – касательное пространство в точке $т$ разлагается в прямую сумму:
\[
T M_{m}=X_{m} \oplus Y_{m} \oplus Z_{m},
\]

где $Z_{m}$ – пространство, порожденное вектором скорости в $\mathrm{m}$, $u \operatorname{dim} X_{m}=k
eq 0, \operatorname{dim} Y_{m}=l
eq 0 ;$
3) при положительном вещественном $t$
\[
\begin{array}{l}
\left\|\left(\varphi_{t}\right)^{*} \xi\right\| \geqslant a \cdot e^{\lambda t}\|\xi\|, \quad\left\|\left(\varphi_{-t}\right)^{*} \xi\right\| \leqslant b \cdot e^{-\lambda t}\|\xi\|, \quad \text { ecлu } \xi \in X_{m}, \\
\left\|\left(\varphi_{t}\right)^{*} \xi\right\| \leqslant b \cdot e^{-\lambda t}\|\xi\|, \quad\left\|\left(\varphi_{-t}\right)^{*} \xi\right\| \geqslant a \cdot e^{\lambda t}\|\xi\|, \quad \text { если } \xi \in Y_{m}, \\
\end{array}
\]

дде постоянные $a, b, \lambda$ положительны и не зависят от $\xi$ и $t$.
Условие 1 означает, что система не находится в равновесном состоянии. Условие 3 описывает поведение решений системы $\left(T M,\left(\varphi_{t}\right)^{*}\right)$.

Замечание 13.4. Нетрудно доказать, что:
1) подпространства $X_{m}$ и $Y_{m}$ однозначно определяются своими свойствами (и являются наиболее «растягивающимся» и «сжимающимся» подпространствами в $T M_{m}$ );
2) $\operatorname{dim} X_{m}=k$ и $\operatorname{dim} Y_{m}=l$ не зависят от $m$ ( $k$ – непрерывная функция от $m$, принимающая целочисленные значения на связном $M$ );
3) $X_{M}$ и $Y_{m}$ непрерывно зависят от $m$.

Наконец, заметим, что У-система не является классической системой (см. определение 1.1), поскольку мы не постулировали существование инвариантной меры.

Покажем теперь, что, отправляясь от У-диффеоморфизма, можно построить некоторый У-поток.
ПРИМЕР 13.5 (С. СМЕЙл).
Пространство $M$.
Пусть $T^{2}=\{(x, y) \bmod 1\}$ – двумерный тор, $[0,1]=\{u \mid 0 \leqslant u \leqslant 1\}$. Построим цилиндр $T^{2} \times[0,1]$ и затем отождествим $T^{2} \times\{0\}$ и $T^{2} \times\{1\}$ по формуле
\[
((x, y), 1) \equiv(\varphi(x, y), 0)=((x+y, x+2 y), 0) \quad(\bmod 1),
\]

где $\varphi$ – диффеоморфизм из 13.1:
\[
\varphi:\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)(\bmod 1) .
\]

В результате мы получим компактное многообразие $M$. Пусть $(x, y, u) \in M ;$ отображение $p: M \rightarrow S^{1}=\{u(\bmod 1)\}, p(x, y, u)=u$ всюду имеет ранг 1. Следовательно, многообразие $M$ есть расслоенное пространство ${ }^{2}$ с базой $S$ и слоем типа $T^{2}$.
Поток $\varphi_{t}$.
Группа диффеоморфизмов $\varphi_{t}$ многообразия $M$ определена соотношением
\[
\dot{x}=0, \quad \dot{y}=0, \quad \dot{u}=1 .
\]

Метрика на $M$.
Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}\left(0<\lambda_{2}<1<\lambda_{1}\right)$ – собственные значения матрицы
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right) \text {. }
\]

Метрика на $T^{2} \times[0,1]$ определена соотношением
\[
d s^{2}=\lambda_{1}^{2 u}\left[\lambda_{1} d x+\left(1-\lambda_{1}\right) d y\right]^{2}+\lambda_{2}^{2 u}\left[\lambda_{2} d x+\left(1-\lambda_{2}\right) d y\right]^{2}+d u^{2} .
\]

Нетрудно убедиться в том, что эта метрика инвариантна относительно отображения
\[
(x, y, u) \rightarrow(x+y, x+2 y, u-1) .
\]

Иначе говоря, эта метрика совместима с произведенным выше отождествлением $T^{2} \times\{0\}$ и $T^{2} \times\{1\}$. Следовательно, это метрика на $M$. $(M, \varphi)-$ У-nomok. $^{\text {not }}$
Проверим три условия из определения 13.3.

1) Из (13.7) следует, что вектор скорости не обращается в нуль.
2) Пусть $m=(x, y, z) \in M$. Определим три подпространства $X_{m}, Y_{m}, Z_{m}$ пространства $T M_{m}: X_{m}$ (соответственно, $Y_{m}$ ) касается слоя $T^{2} \times u$ и параллелен собственному направлению, соответствующему собственному значению $\lambda_{1}$ (соответственно $\lambda_{2}$ ), диффеоморфизма $\varphi$ слоя $T^{2} \times\{u\}$ :
\[
\varphi:\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \quad(\bmod 1)
\]

подпространство $Z_{m}$ коллинеарно вектору скорости (13.7). Имеем:
\[
\begin{array}{c}
T M_{m}=X_{m} \oplus Y_{m} \oplus Z_{m}, \\
\operatorname{dim} X_{m}=\operatorname{dim} Y_{m}=1 .
\end{array}
\]

3) Пусть $\xi \in X_{m}$; компоненты $\xi$ в системе координат ( $x, y, u$ ) имеют вид
\[
\left(s, s\left(\lambda_{1}-1\right), 0\right), \quad s \in \mathbb{R} .
\]

С другой стороны, согласно (13.7) матрица диффеоморфизма $\varphi_{s}^{*}$ есть не что иное, как единичная матрица. Следовательно, из (13.8) получаем:
\[
\left\|\left(\varphi_{t}^{*}\right) \xi\right\|^{2}=\lambda_{1}^{2(u+t)}\left[\lambda_{1} s+\left(1-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{1}-1\right) s\right]^{2}=\lambda_{1}^{2 t} \cdot\|\xi\|^{2},
\]

откуда
\[
\left\|\left(\varphi_{t}^{*}\right) \xi\right\|=\lambda_{1}^{t}\|\xi\| .
\]

Таким образом, первая группа условий 3 (определение 13.3) выполняется, если принять $a=b=1, e^{\lambda}=\lambda_{1}$.
Вторая группа условий проверяется таким же образом.
Ясно, что поле 2-плоскостей $X_{m} \oplus Z_{m}$ (соответственно, $Y_{m} \oplus Z_{m}$ ) гладкое и вполне интегрируемо; следовательно, оно определяет над $M$ расслоенную структуру ${ }^{3}$.

Интегральные многообразия (или слои) состоят из орбит, асимптотически сближающихся при $t \rightarrow-\infty$ (или $t \rightarrow+\infty$ ) (см. рис. 13.9). В общем случае, как мы увидим, это свойство следует из условия У.

Замечание 13.10. Приведенная выше конструкция носит общий характер.
Пусть $\left(V, \varphi_{0}\right)-C$-диффеоморфизм на многообразии $V$. Если в топологическом произведении $V \times[0,1]$ мы отождествим точки $(v, 0)$ и $\left(\varphi_{0} v, 1\right)$, то получим компактное многообразие $M$.
Определим У-поток на $M$, полагая
\[
\varphi_{t}(v, s)=\left(\varphi_{0}^{[t+s]} v, t+s-[t+s]\right),
\]

где $v \in V, s \in[0,1]$, и $[a]$ означает целую часть числа $a$.