Анализ устойчивости неподвижной точки $(0,0)$, проведенный в $\S 20$ (гл. 4), основан на идеях Пуанкаре и Ляпунова. Обобщение их результатов на системы с многими степенями свободы было осуществлено только в 1950 году М.Г.Крейном [1], [2]. Исследования Крейна были продолжены Якубовичем [1], Гельфандом и Лидским [4] и т.д. Изложение теоремы Крейна было опубликовано Мозером [3].

Пусть $A$ – линейное симплектическое отображение ${ }^{1}$ канонического пространства $\mathbb{R}^{2 n}$. Отображение $A$ называется устойчивым, если последовательность $A^{n}$ ограничена. Отображение $A$ называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к $A$, устойчивы.

В приложении 27 доказано (и использовано в $\S 20$, гл. 4), что эллиптические отображения плоскости $\mathbb{R}^{2}$ параметрически устойчивы.
М.Г.Крейн нашел все параметрически устойчивые отображения пространства $\mathbb{R}^{2 n}$.

Лемма П29.1 (Пуанкаре-Ляпунов). Множество собственных значений $\lambda$ симплектического отображения $A$ симметрично относительно действительной оси и окружности $|\lambda|=1$.

Доказательство.
Утверждение леммы следует из того, что характеристический по-
лином имеет действительные коэффициенты и взаимнообратные корни:
\[
\begin{aligned}
p(\lambda) & =\operatorname{det}(A-\lambda E)=\operatorname{det}\left(-I A^{\prime-1} I+\lambda I^{2}\right)= \\
& =\operatorname{det}\left(-A^{\prime-1}+\lambda E\right)=\operatorname{det}\left(-A^{-1}+\lambda E\right)= \\
& =\operatorname{det}(-E+\lambda A)=\lambda^{2 n} \operatorname{det}\left(A-\lambda^{-1} E\right)=\lambda^{2 n} p\left(\lambda^{-1}\right) .
\end{aligned}
\]

Из леммы (А29.1) выводим следствие.

Следствие П29.2. Собственные значения отображения $A$ разбиваются на пары и четверки. Пары состоят из $\lambda$ и $\lambda^{-1}$, причем $\lambda$ лежат на действительной оси или на окружности $|\lambda|=1$. Четверки состоят из $\lambda, \bar{\lambda}, \lambda^{-1}, \overline{\lambda^{-1}}$, симметричных относительно действительной оси и взаимно обратных относительно окружности $|\lambda|=1$ (см. рис. П29.3).

Рис. П29.3

Следствие П29.4. Отображение $A$ параметрически устойчиво, если все его собственные значения расположены на окружности $|\lambda|=1$ и простые.

Действительно, если собственные значения просты и расположены на $|\lambda|=1$, то:

1) А устойчиво (по причинам, которые ясны из рассмотрения нормальной формы),
2) собственные значения всех симплектических отображений $A^{\prime}$, близких к $A$, расположены на $|\lambda|=1$.

Действительно, в противном случае собственные значения $\lambda$ и $\overline{\lambda^{-1}}$ отображений $A^{\prime}$ были бы расположены в окрестности единственного изолированного собственного значения отображения $A$ (см. рис. Il29.3).

Предположим, начиная с этого места, что $\pm 1$ не являются собственными значениями отображения $A$. М. Г. Крейн разделил собственные значения $\lambda$, расположенные на $|\lambda|=1$, на два класса: положительные и отрицательные. Предположим сначала, что все собственные значения отображения $A$ простые, и докажем следующую лемму.

Лемма П29.5. Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}$ – два собственных вектора с собственными значениями, равными, соответственно, $\lambda_{1} u \lambda_{2}$. Тогда либо $\lambda_{1} \lambda_{2}=1$, либо $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=0$.

Доказательство.
Из того, что $A \xi_{1}=\lambda_{1} \xi_{1}$ и $A \xi_{2}=\lambda_{2} \xi_{2}$ следует
\[
\left[A \xi_{1}, A \xi_{2}\right]=\lambda_{1} \lambda_{2}\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right],
\]

откуда
\[
\left(\lambda_{1} \lambda_{2}-1\right)\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=0 .
\]

Следствие П29.6. Пусть $\sigma$ плоскость, инвариантная относительно $A$, соответствующая двум комплексно сопряженным собственным значениям $\lambda_{1}, \lambda_{2},\left|\lambda_{1}\right|=\left|\lambda_{2}\right|=1$. Тогда:

1) плоскость $\sigma$ ортогональна (в смысле $[\cdot, \cdot]$ ) любому собственному вектору $\xi_{3}$, соответствуюцему другому собственному значению $\lambda_{3}$,
2) для любой пары не коллинеарных векторов $\xi и \eta$ из $\sigma$ произведение $[\xi, \eta]$ отлично от нуля.

Утверждение 1 следует непосредственно из того, что $\lambda_{1} \lambda_{3}
eq 1$ и $\lambda_{2} \lambda_{3}
eq 1$, следовательно, по лемме (П29.5) $\left[\xi_{1}, \xi_{3}\right]=\left[\xi_{2}, \xi_{3}\right]=0$.

Утверждение 2 следует из того, что если $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=0$, то $\left[\xi_{1}, \eta\right]=0$ при любом $\eta$ (так как по утверждению $1\left[\xi_{1}, \xi_{1}\right]=0$ и $\left[\xi_{1}, \xi_{3}\right]=0$ при любом $\left.\xi_{3}\right)$. Следовательно, $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]
eq 0$.

Определение II 29.7. Собственное значение $\lambda,|\lambda|=1, \lambda^{2}
eq 1$, называется положительным (соответственно, отрицательным) собственным значением симплектического отображения $A$, если
\[
[A \xi, \xi]>0 \text { (соответственно, }[A \xi, \xi]<0), \quad \xi \in \sigma,
\]

на действительной инвариантной плоскости $\sigma$, соответствующей собственным значениям $\lambda, \bar{\lambda}$.

Это определение корректно. Действительно, векторы $A \xi$ и $\xi$, лежащие в плоскости $\xi$, не коллинеарны, так как $\lambda^{2}
eq 1$. Таким образом, в силу следствия $\Pi 29.6[A \xi, \xi]
eq 0$ на $\sigma$. Это означает, что $[A \xi, \xi]$ сохраняет постоянный знак при всех $\xi \in \sigma$.
ЗАМЕчАниЕ П29.8. Знак собственного значения имеет простую геометрическую интерпретацию. Поскольку $[\xi, \eta]
eq 0$, если вектор $\xi$ не параллелен вектору $\eta$, плоскость $\sigma$ допускает каноническую ориентацию. Следовательно, можно говорить о положительных и отрицательных поворотах.

Ограничение отображения $A$ на $\sigma$ есть эллиптический поворот на угол $\alpha, 0<|\alpha|<\pi$. Собственное значение $\lambda$ положительно (соответственно, отрицательно), если отображение $A$ на $\sigma$ есть поворот на положительный (соответственно, отрицательный) угол.

Основной результат Крейна утверждает, что столкновение двух собственных значений одного знака на окружности $|\lambda|=1$ не приводит к неустойчивости, тогда как два собственных значения различных знаков могут покинуть окружность $|\lambda|=1$ после столкновения, образовав таким образом четверку вместе с двумя комплексно сопряженными им собственными значениями (см. рис. П29.3).

Более точно, пусть $A(t)$ – симплектическое отображение, непрерывно зависящее от $t$, и пусть числа $\pm 1$ не являются собственными значениями при $|t|<\tau$. Предположим, что при $t<0$ все собственные значения $\lambda_{k}$ отображения $A$ простые и расположены на окружности $|\lambda|=1$, тогда как при $t=0$ некоторые собственные значения $\lambda_{k}$ сливаются.

Теорема П29.9. Если все собственные значения, которые сливаются, одного знака, то после столкновения они остаются на окружности $|\lambda|=1$, а отображение А остается устойчивым при $t<\varepsilon, \varepsilon>0$.

Мы докажем эту теорему в простейшем случае, когда сливаются все собственные значения $\lambda, \operatorname{Im} \lambda>0$. Общий случай сводится к простейшему, если выбрать каноническое подпространство $R^{2 l}(t)$, соответствующее $l$ сталкивающимся собственным значениям и комплексно сопряженным с ними.

Предположим для конкретности, что собственные значения $\lambda_{k}$ положительны:
\[
[A \xi, \xi]>0 \quad \text { при } \quad \xi \in \sigma_{k}
\]
( $\sigma_{k}$ – плоскость, порожденная собственными векторами $\xi_{k}, \overline{\xi_{k}}$, где $\left.A \xi_{k}=\lambda_{k} \xi_{k}\right)$.
Доказательство теоремь П29.10.
Рассмотрим квадратичную форму $[A \xi, \xi]$. Ее билинейная полярная форма невырождена. Действительно,
\[
[A \xi, \eta]+[A \eta, \xi]=[A \xi, \eta]-\left[A^{-1} \xi, \eta\right]=\left[\left(A-A^{-1}\right) \xi, \eta\right],
\]

если $\left[\left(A-A^{-1}\right) \xi, \eta\right]=0$ при любом векторе $\eta$, то $\left(A-A^{-1}\right) \xi=0$, следовательно, $\left(A^{2}-E\right) A \xi=0$. Таким образом, отображение $A^{2}$ имеет собственное значение, равное 1 , а именно это исключено по условиям теоремы $(\lambda
eq \pm 1)$.

Следовательно, квадратичная форма $[A \xi, \xi]$ невырождена при $|t|<\tau$, включая $t=0$. С другой стороны, при $t<0$ эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор $\eta$ есть сумма своих проекций $\eta_{k}$ на инвариантные плоскости $\sigma_{k}$, соответствующие парам собственных значений $\lambda_{k}, \overline{\lambda_{k}},\left|\lambda_{k}\right|=1$. Из следствия П29.6 мы заключаем, что плоскости $\sigma_{k}$ попарно ортогональны (в смысле $[\cdot, \cdot]$ ).
Таким образом,
\[
[A \eta, \eta]=\sum_{k, l}\left[A \eta_{k}, \eta_{l}\right]=\sum_{k}\left[A \eta_{k}, \eta_{k}\right]
\]

так как
\[
\left[A \eta_{k}, \eta_{l}\right]=0, \quad \text { если } \quad k
eq l \quad\left(A \eta_{k} \in \sigma_{k}, \eta_{l} \in \sigma_{l}\right) .
\]

Но $\left[A \eta_{k}, \eta_{k}\right]>0$, поскольку $\lambda_{k}$ – положительное собственное значение, и поэтому $[A \eta, \eta]>0$.

Итак, форма $[A(t) \xi, \xi]$ положительно определена при $t<0$ и невырождена при $t=0$. Следовательно, она положительно определена при $t=0$, а, значит, и при $t<\varepsilon, \varepsilon>0$.

Но $\left[A A^{n} \xi, A^{n} \xi\right]=[A \xi, \xi]$, так как отображение $A^{n}$ симплектическое. Следовательно, орбита $A^{n} \xi$ принадлежит эллипсоиду $[A \xi, \xi]=$ = const, т. е. при $t<\varepsilon$ отображение $A(t)$ устойчиво.

Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости: симплектическое отображение $A$ параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения $\lambda_{k}$ лежат на окружности $\left|\lambda_{k}\right|=1, \lambda_{k}^{2}
eq 1$, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям $\lambda, \bar{\lambda}$, квадратичная форма $[A \xi, \xi]$ положительно (или отрицательно) определена.