Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Анализ устойчивости неподвижной точки $(0,0)$, проведенный в $\S 20$ (гл. 4), основан на идеях Пуанкаре и Ляпунова. Обобщение их результатов на системы с многими степенями свободы было осуществлено только в 1950 году М.Г.Крейном [1], [2]. Исследования Крейна были продолжены Якубовичем [1], Гельфандом и Лидским [4] и т.д. Изложение теоремы Крейна было опубликовано Мозером [3]. Пусть $A$ — линейное симплектическое отображение ${ }^{1}$ канонического пространства $\mathbb{R}^{2 n}$. Отображение $A$ называется устойчивым, если последовательность $A^{n}$ ограничена. Отображение $A$ называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к $A$, устойчивы. В приложении 27 доказано (и использовано в $\S 20$, гл. 4), что эллиптические отображения плоскости $\mathbb{R}^{2}$ параметрически устойчивы. Лемма П29.1 (Пуанкаре-Ляпунов). Множество собственных значений $\lambda$ симплектического отображения $A$ симметрично относительно действительной оси и окружности $|\lambda|=1$. Доказательство. Из леммы (А29.1) выводим следствие. Следствие П29.2. Собственные значения отображения $A$ разбиваются на пары и четверки. Пары состоят из $\lambda$ и $\lambda^{-1}$, причем $\lambda$ лежат на действительной оси или на окружности $|\lambda|=1$. Четверки состоят из $\lambda, \bar{\lambda}, \lambda^{-1}, \overline{\lambda^{-1}}$, симметричных относительно действительной оси и взаимно обратных относительно окружности $|\lambda|=1$ (см. рис. П29.3). Рис. П29.3 Следствие П29.4. Отображение $A$ параметрически устойчиво, если все его собственные значения расположены на окружности $|\lambda|=1$ и простые. Действительно, если собственные значения просты и расположены на $|\lambda|=1$, то: 1) А устойчиво (по причинам, которые ясны из рассмотрения нормальной формы), Действительно, в противном случае собственные значения $\lambda$ и $\overline{\lambda^{-1}}$ отображений $A^{\prime}$ были бы расположены в окрестности единственного изолированного собственного значения отображения $A$ (см. рис. Il29.3). Предположим, начиная с этого места, что $\pm 1$ не являются собственными значениями отображения $A$. М. Г. Крейн разделил собственные значения $\lambda$, расположенные на $|\lambda|=1$, на два класса: положительные и отрицательные. Предположим сначала, что все собственные значения отображения $A$ простые, и докажем следующую лемму. Лемма П29.5. Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}$ — два собственных вектора с собственными значениями, равными, соответственно, $\lambda_{1} u \lambda_{2}$. Тогда либо $\lambda_{1} \lambda_{2}=1$, либо $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=0$. Доказательство. откуда Следствие П29.6. Пусть $\sigma$ плоскость, инвариантная относительно $A$, соответствующая двум комплексно сопряженным собственным значениям $\lambda_{1}, \lambda_{2},\left|\lambda_{1}\right|=\left|\lambda_{2}\right|=1$. Тогда: 1) плоскость $\sigma$ ортогональна (в смысле $[\cdot, \cdot]$ ) любому собственному вектору $\xi_{3}$, соответствуюцему другому собственному значению $\lambda_{3}$, Утверждение 1 следует непосредственно из того, что $\lambda_{1} \lambda_{3} Утверждение 2 следует из того, что если $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]=0$, то $\left[\xi_{1}, \eta\right]=0$ при любом $\eta$ (так как по утверждению $1\left[\xi_{1}, \xi_{1}\right]=0$ и $\left[\xi_{1}, \xi_{3}\right]=0$ при любом $\left.\xi_{3}\right)$. Следовательно, $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right] Определение II 29.7. Собственное значение $\lambda,|\lambda|=1, \lambda^{2} на действительной инвариантной плоскости $\sigma$, соответствующей собственным значениям $\lambda, \bar{\lambda}$. Это определение корректно. Действительно, векторы $A \xi$ и $\xi$, лежащие в плоскости $\xi$, не коллинеарны, так как $\lambda^{2} Ограничение отображения $A$ на $\sigma$ есть эллиптический поворот на угол $\alpha, 0<|\alpha|<\pi$. Собственное значение $\lambda$ положительно (соответственно, отрицательно), если отображение $A$ на $\sigma$ есть поворот на положительный (соответственно, отрицательный) угол. Основной результат Крейна утверждает, что столкновение двух собственных значений одного знака на окружности $|\lambda|=1$ не приводит к неустойчивости, тогда как два собственных значения различных знаков могут покинуть окружность $|\lambda|=1$ после столкновения, образовав таким образом четверку вместе с двумя комплексно сопряженными им собственными значениями (см. рис. П29.3). Более точно, пусть $A(t)$ — симплектическое отображение, непрерывно зависящее от $t$, и пусть числа $\pm 1$ не являются собственными значениями при $|t|<\tau$. Предположим, что при $t<0$ все собственные значения $\lambda_{k}$ отображения $A$ простые и расположены на окружности $|\lambda|=1$, тогда как при $t=0$ некоторые собственные значения $\lambda_{k}$ сливаются. Теорема П29.9. Если все собственные значения, которые сливаются, одного знака, то после столкновения они остаются на окружности $|\lambda|=1$, а отображение А остается устойчивым при $t<\varepsilon, \varepsilon>0$. Мы докажем эту теорему в простейшем случае, когда сливаются все собственные значения $\lambda, \operatorname{Im} \lambda>0$. Общий случай сводится к простейшему, если выбрать каноническое подпространство $R^{2 l}(t)$, соответствующее $l$ сталкивающимся собственным значениям и комплексно сопряженным с ними. Предположим для конкретности, что собственные значения $\lambda_{k}$ положительны: если $\left[\left(A-A^{-1}\right) \xi, \eta\right]=0$ при любом векторе $\eta$, то $\left(A-A^{-1}\right) \xi=0$, следовательно, $\left(A^{2}-E\right) A \xi=0$. Таким образом, отображение $A^{2}$ имеет собственное значение, равное 1 , а именно это исключено по условиям теоремы $(\lambda Следовательно, квадратичная форма $[A \xi, \xi]$ невырождена при $|t|<\tau$, включая $t=0$. С другой стороны, при $t<0$ эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор $\eta$ есть сумма своих проекций $\eta_{k}$ на инвариантные плоскости $\sigma_{k}$, соответствующие парам собственных значений $\lambda_{k}, \overline{\lambda_{k}},\left|\lambda_{k}\right|=1$. Из следствия П29.6 мы заключаем, что плоскости $\sigma_{k}$ попарно ортогональны (в смысле $[\cdot, \cdot]$ ). так как Но $\left[A \eta_{k}, \eta_{k}\right]>0$, поскольку $\lambda_{k}$ — положительное собственное значение, и поэтому $[A \eta, \eta]>0$. Итак, форма $[A(t) \xi, \xi]$ положительно определена при $t<0$ и невырождена при $t=0$. Следовательно, она положительно определена при $t=0$, а, значит, и при $t<\varepsilon, \varepsilon>0$. Но $\left[A A^{n} \xi, A^{n} \xi\right]=[A \xi, \xi]$, так как отображение $A^{n}$ симплектическое. Следовательно, орбита $A^{n} \xi$ принадлежит эллипсоиду $[A \xi, \xi]=$ = const, т. е. при $t<\varepsilon$ отображение $A(t)$ устойчиво. Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости: симплектическое отображение $A$ параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения $\lambda_{k}$ лежат на окружности $\left|\lambda_{k}\right|=1, \lambda_{k}^{2}
|
1 |
Оглавление
|