Уравнение движения маятника имеет вид $\ddot{q}+k \sin q=0$, где $k-$ положительная постоянная. Оно эквивалентно системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{q}=p, \\
\dot{p}=-k \sin q .
\end{array}\right.
\]

Рис. П5.1
Гамильтониан имеет вид $H=\frac{p^{2}}{2}-k \cos q$, фазовые траектории изображены на рис. П5.1. Система инвариантна относительно зеркального отражения относительно оси $O q$ и преобразований
\[
(q, p) \rightarrow(q+2 K \pi, p), \quad K \in \mathbb{Z} .
\]

Точки $(k \pi, 0)$ — особые: точки $(2 \pi k, 0)$ — центры (устойчивое равновесие), точки $((2 k+1) \pi, 0)$ — седла (неустойчивое равновесие).

Существуют три типа траекторий: траектории 1 (малые колебания), сепаратиса 2 , соединяющая два седла, траектории 3 (полные обороты вокруг точки подвеса).

Естественным фазовым пространством служит не плоскость $(p, q)$, а цилиндр $(q(\bmod 2 \pi), p)$. Таким образом, простой маятник — глобальная гамильтонова система.