Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Уравнение движения маятника имеет вид $\ddot{q}+k \sin q=0$, где $k-$ положительная постоянная. Оно эквивалентно системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{q}=p, \\
\dot{p}=-k \sin q .
\end{array}\right.
\]
Рис. П5.1
Гамильтониан имеет вид $H=\frac{p^{2}}{2}-k \cos q$, фазовые траектории изображены на рис. П5.1. Система инвариантна относительно зеркального отражения относительно оси $O q$ и преобразований
\[
(q, p) \rightarrow(q+2 K \pi, p), \quad K \in \mathbb{Z} .
\]
Точки $(k \pi, 0)$ – особые: точки $(2 \pi k, 0)$ – центры (устойчивое равновесие), точки $((2 k+1) \pi, 0)$ – седла (неустойчивое равновесие).
Существуют три типа траекторий: траектории 1 (малые колебания), сепаратиса 2 , соединяющая два седла, траектории 3 (полные обороты вокруг точки подвеса).
Естественным фазовым пространством служит не плоскость $(p, q)$, а цилиндр $(q(\bmod 2 \pi), p)$. Таким образом, простой маятник – глобальная гамильтонова система.
