Пример 3.1. Занимаясь теорией движения планет, Лагранж [1] пришел к следующей задаче: вычислить (если он существует) предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \operatorname{Arg} \sum_{k=1}^{3} a_{k} e^{i \omega_{k} t},
\]

где $a_{k}>0, a_{k}$ и $\omega_{k}$ – действительные константы, а $\operatorname{Arg} z$ означает «аргумент комплексного числа $z$ ».
Пример 3.2. Свяжем с последовательностью $\left\{2^{n} \mid n=1,2, \ldots\right\}$ последовательность первых цифр десятичной записи ее членов:
\[
1,2,4,8,1,3,6, \ldots
\]

Пусть $\tau(7, N)$ – число, показывающее, сколько раз цифра 7 фигурирует среди $N$ первых членов построенной последовательности. Требуется вычислить предел (если он существует)
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\tau(7, N)}{N}=p_{7} .
\]

Пример 3.3. Пусть $D$ – область риманова пространства, $\gamma(t)$ – геодезическая. Чему равно среднее время, которое $\gamma(t)$ проводит в $D$ ? Другими словами, пусть
\[
\tau(T)=\operatorname{мера}\{t \mid 0 \leqslant t \leqslant T, \quad \gamma(t) \in D\}
\]

и требуется вычислить предел (если он существует)
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\tau(T)}{T} .
\]

Три предыдущие задачи являются частными случаями более общей задачи:

Пусть $f$ – комплекснозначная, $\mu$-измеримая функция, определенная на пространстве $M$ динамической системы $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$. Требуется вычислить предел (если он существует)
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(\varphi_{t} m\right) d t, \quad \text { где } m \in M .
\]

В примере (3.3) $f$ является характеристической функцией $T_{1} D$. Само собой разумеется, что существуют и другие задачи вычисления средних.
Пример 3.4. Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – динамическая система, $A$ и $B$ – два измеримых множества многообразия $M$. Требуется вычислить предел (если он существует)
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \mu\left[\varphi_{t} A \cap B\right]
\]
(см. рис. 1.17 и 2.4).
Предполагается, что для «достаточно стохастических» систем этот предел равен $\mu(A) \cdot \mu(B)$.