Идеи и методы, изложенные в предыдущих параграфах, применимы к проблемам классической механики, например, к модели газа Больцмана-Гиббса. В этой модели газ представляет собой твердые шары в ящике с твердыми стенами, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда. Предполагается, что столкновения шаров между собой, равно как и шаров с перегородками и стенками абсолютно упруги.

Эргодичность такой системы ${ }^{16}$ доказана для поверхностей уровней энергии $T=$ const $
eq 0$.

Источником эргодичности таких систем служат столкновения. Рассмотрим простейший случай двух идеальных круглых частиц на поверхности тора $\mathbb{T}^{2}$, снабженного евклидовой метрикой. Упростим задачу еще больше, предположив, что одна из частиц неподвижна, а другая выродилась в точку. Задача сводится к исследованию движения одной частицы «на биллиарде в форме тора» (см. рис. 18.1) с упругими столкновениями со стенками неподвижной окружности согласно закону: угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$.
Рис. 18.1
В то же время рассмотрим эллиптический биллиард (рис. 18.2).

Эллипс можно рассматривать как сплюснутый эллипсоид, по которому точка движется, описывая геодезическую. Отражение соответствует переходу с одной стороны такого эллипсоида на другую. Точно так же наш торический биллиард можно рассматривать как двусторонний тор с одной дыркой (окружностью). Точка по такому биллиарду движется по геодезической, а отражение соответствует переходу с одной стороны тора на другую.

Но если двусторонний эллипс есть сплюснутый эллипсоид, то двусторонний тор с дыркой есть сплюснутая поверхность рода 2. Таким образом, движение по нашему биллиарду есть предельный случай геодезического потока на поверхности рода 2.
Рис. 18.2
Эллипсоид обладает положительной кривизной, интеграл от которой равен $4 \pi$ (формула Гаусса-Бонне). При сплющивании эллипсоида в эллипс, положительная кривизна сосредотачивается на границе эллипса. Для поверхностей рода 2 интеграл от кривизны равен $-4 \pi$. Следовательно, торический биллиард можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны: вся кривизна сосредоточена на упругой окружности.

Разумеется, приведенное выше рассуждение (Арнольд [4]) не является доказательством эргодичности; то же относится и к случаю, который мы рассмотрели. Однако, используя методы и характерные понятия У-систем (асимптотические орбиты, растягивающиеся и сжимающиеся расслоения), Синай [4], [5] сумел доказать, что модель Больцмана-Гиббса эргодична на каждом подмногообразии $T=$ const $
eq 0$ и, более того, является $K$-системой.

Доказательства этих результатов занимают несколько страниц и используют теорию обобщенных У-систем, расслоения которых разрывны. Заметим лишь, что общий случай сводится к задаче о биллиарде в конфигурационном пространстве.