Пример, рассмотренный нами в $\S \S 19$ и 20 , представляет собой частный случай общей ситуации, которая встречается для всех систем, близких к так называемым «интегрируемым системам».

А) Интегрируемые системы 21.1

Рассматривая интегрируемые задачи в классической механике ${ }^{11}$, мы обнаруживаем, что для каждой из них ограниченные траектории либо периодические, либо квазипериодические. Иначе говоря, фазовое пространство расслоено на инвариантные торы, несущие квазипериодические движения.
Пример 21.2. Пусть фазовое пространство $\Omega=\mathbb{T}^{n} \times B^{n}$ есть прямое произведение ограниченной области $B^{n}$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$ и тора $\mathbb{T}^{n}, p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ – координаты на $B^{n}, q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ $(\bmod 2 \pi)$ – координаты на $\mathbb{T}^{n}$. Система гамильтоновых уравнений с гамильтонианом $H=H_{0}(p)$
\[
\dot{p}=0, \quad \dot{q}=\omega_{0}(p), \quad \text { где } \quad \omega_{0}(p)=\frac{d H_{0}}{d p},
\]

описывает квазипериодическое движение с частотами $\omega(p)$ на инвариантных торах $p=$ const. Частоты изменяются от тора к тору; если
\[
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}=\frac{\partial \omega_{0}}{\partial I}
eq 0,
\]

то в каждой окрестности тора $p=$ const существуют инвариантные торы, на которых частоты независимы, а орбиты всюду плотны ${ }^{12}$. Существуют также другие торы с соизмеримыми частотами; такие торы «исключительны» в том смысле, что они образуют множество меры нуль. Координаты $(p, q)$ на $B^{n} \times \mathbb{T}^{n}$ называются координатами «действие-угол».

Можно доказать ${ }^{13}$, что во всех «интегрируемых» системах фазовое пространство разделено гиперповерхностями-сепаратрисами на инвариантные области, каждая из которых расслоена на инвариантные

$n$-мерные многообразия. Если область ограничена, то эти многообразия являются торами, несущими квазипериодические движения. Для такой системы могут быть введены переменные действие-угол, а система может быть записана в виде (21.3).

В) Системы, близкие к интегрируемым 21.4
Рассмотрим теперь возмущенную функцию Гамильтона:
\[
H=H_{0}(p)+H_{1}(p, q), \quad H_{1}(p, q+2 \pi)=H_{1}(p, q) \ll 1,
\]

где «возмущение» $H_{1}$ «мало». Соответствующие гамильтоновы уравнения имеют вид:
\[
\dot{p}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial q}, \quad \dot{q}=\omega_{0}(p)+\frac{\partial H_{1}}{\partial p} .
\]
А. Н. Колмогоров [6] доказал, что для большинства начальных условий движение остается квазипериодическим (см. теорему 21.7). Отсюда следует, что системы (21.5) не эргодичны на поверхности $H=$ const и что среди эргодических компонент имеются компоненты с дискретным спектром, дополнение к которым имеет настолько малую лебеговскую меру, насколько мало возмущение $H_{1}$.

Предположим, что функция $H(p)$ аналитична в комплексной окрестности $[\Omega]$ фазового пространства $\Omega(\operatorname{Re} p, \operatorname{Re} q \in \Omega,|\operatorname{Im} p|<\rho$, $|\operatorname{Im} q|<\rho$ ), а также что невозмущенная система невырождена:
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial \omega_{0}}{\partial p}\right|=\operatorname{det}\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p^{2}}\right|
eq 0 .
\]

Выберем вектор несоизмеримых ${ }^{14}$ частот $\omega=\omega^{*}$. Пусть $T_{0}\left(\omega^{*}\right)-$ инвариантный тор невозмущенной системы (21.3), имеющий уравнение $p=p^{*}$, где $\omega_{0}\left(p^{*}\right)=\omega^{*}$. Тогда система (21.3) имеет на торе $T_{0}\left(\omega^{*}\right)$ частоты $\omega^{*}$.
Теорема 21.7. Если возмущение $H_{1}$ достаточно мало, тогда при почти любом ${ }^{15} \omega^{*}$ существует инвариантный тор $T\left(\omega^{*}\right)$ возмущенной системы (21.5), и тор $T\left(\omega^{*}\right)$ близок к $T_{0}\left(\omega^{*}\right)$.

Более точно: при любом $\alpha>0$ существует $\varepsilon>0$ и отображение $p=p(Q), q=q(Q)$ абстрактного тора $\mathbb{T}=\{Q(\bmod 2 \pi)\}$ в $T\left(\omega^{*}\right)$ такое, что в силу гамильтоновых уравнений (21.5)
\[
\dot{Q}=\omega^{*}
\]
$u$
\[
\left|p(Q)-p^{*}\right|<\varepsilon, \quad|q(Q)-Q|<\varepsilon
\]

при условии, что в $[\Omega]$
\[
\left|H_{1}\right|<\varepsilon=\varepsilon\left(\alpha, \omega^{*}, H_{0}, \Omega, \rho\right), \quad \varepsilon>0 .
\]

Кроме того, торы $T(\omega)^{*}$ образуют множество положительной меры; мера дополнения к этому множеству стремится к нулю вместе с $\left|H_{1}\right|$. Доказательство теоремы 21.7 можно найти в работе Арнольда [5].

Поведение траекторий в этом дополнении до сих пор недостаточно изучено. Для систем с двумя степенями свободы $(n=2)$ фазовое пространство $\Omega$ четырехмерно. Инвариантная гиперповерхность $H=\mathrm{const}$, имеющая размерность, равную 3 , разделена на инвариантные торы возмущенной системы. Дополнительные области образуют торические кольца между инвариантными торами (см. рис. 19.21). При $n>2$ инвариантные $n$-мерные торы не разделяют гиперповерхность $H$ const размерности $2 n-1$, а траектории, не лежащие на торах $T\left(\omega^{*}\right)$, могут продолжаться весьма далеко вдоль поверхности $H=h$ (см. §23).

С) Приложения и обобщения 21.8

Теорема 21.7 применима к движению свободной точки по геодезической на поверхностях, близких к поверхностям вращения или эллипсоидам. Эта теорема позволяет доказать устойчивость «планетоида» в ограниченной плоской круговой задаче трех тел ${ }^{16}$. Из нее можно также вывести устойчивость быстрых вращений тяжелого несимметричного твердого тела ${ }^{17}$.

Но эта теорема неприменима в том случае, если возмущенная система несет больше частот, чем невозмущенная (вырожденный случай), поскольку при этом не выполняется условие (21.6):
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p^{2}} \equiv 0 .
\]

Случай «предельного вырождения», который встречается в теории колебаний (точки равновесия, периодические движения) также требует особого рассмотрения. Укажем несколько результатов в этом направлении, обобщающих теорему 21.7. В. И. Арнольд [7] доказал устойчивость положений равновесия и периодических движений систем с двумя степенями свободы для общего эллиптического случая. В качестве следствия А.М.Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел (плоской и круговой).

Образование новых частот после возмущения вырожденных систем исследовано в работах В.И.Арнольда [8], [9], [10]. В качестве следствия доказана вечная адиабатическая инвариантность действия при $-\infty<t<\infty$ в нелинейных системах с одной степенью свободы, параметры которых изменяются периодически, а также что «магнитная ловушка» с осесимметричным магнитным полем может бесконечно долго удерживать заряженные частицы.

Наконец, в задаче $n$ тел получено множество квазипериодических движений положительной меры для случая, когда массы $n-1$ тел достаточно малы по сравнению с массой «центрального тела». Эти квазипериодические движения имеют «планетарный» характер: эксцентриситеты и наклонения кеплеровских (оскулирующих) эллипсов малы, и длины больших всегда остаются близкими к своим начальным значениям (см. В. И. Арнольд [4]).

С другой стороны, Ю.Мозер предложил обобщение теоремы 21.7. Мозер доказал, что требование об аналитичности в теореме 21.7 не обязательно: достаточно предположить существование конечного числа производных. Например, для системы с двумя степенями свободы достаточно, чтобы гамильтониан $H$ был дифференцируем 333 раза!

D) Инвариантные торы канонических отображений 21.9

Теорему 21.7 можно сформулировать иначе, если воспользоваться «поверхностями сечения» Пуанкаре-Биркгофа. Предположим, что в (23.1) первая компонента вектора $\omega$ отлична от нуля: $\omega_{1}
eq 0$. Рассмотрим подмногообразие $\Sigma^{2 n-2}$ фазового пространства $\Omega^{2} n$, заданное уравнениями
\[
q_{1}=0, \quad H=h=\text { const. }
\]

Пусть $x$ – точка подмногообразия $\Sigma^{2 n-2}, x(t)$ – траектория гамильтоновой системы (21.5), выходящая из $x$. Обозначим через $\mathbf{A} x$

первую точку пересечения орбиты $x(t)$ с $\Sigma^{2 n-2}$ при возрастании $t$ от нуля (см. рис. 19.21). Отображение $\mathbf{A}: \Sigma^{2 n-2} \rightarrow \Sigma^{2 n-2}$ вполне определено в окрестности тора размерности $n-1$, заданного уравнениями $p=\mathrm{const}, q=0$ при $\omega_{1}(p)
eq 0$ и при достаточно малом возмущении $H_{1}$. Из того, что
\[
\frac{\partial H}{\partial I_{1}}=\omega_{1}
eq 0,
\]

следует, что в этой окрестности переменные $p_{2}, \ldots, p_{n} ; q_{2}, \ldots, q_{n}$ $(\bmod 2 \pi)$ являются координатами действие-угол. Отображение $\mathbf{A}-$ каноническое (см. приложение 31). Рассмотрим теперь невозмущенный случай $\left(H_{1}=0\right)$. В силу (21.3) отображение $\mathbf{A}$ можно представить в виде
\[
A: p, q \rightarrow p, q+\omega(p) ; \quad \omega_{k}(p)=2 \pi \frac{\omega_{k}}{\omega_{1}}, \quad(k=2, \ldots, n) .
\]

Иначе говоря, каждый тор $p=$ const инвариантен и при отображении $A$ поворачивается на угол $\omega(p)$.

Если возмущение $H_{1}$ достаточно мало, то соответствующее каноническое отображение $\mathbf{A}$ поверхности $\Sigma^{2 n-2}$ близко к (21.10). Ясно, что ( $n-1$ )-мерные инвариантные торы отображения $\mathbf{A}$ соответствуют $n$-мерным инвариантным торам системы (21.5). Аналогом теоремы (21.7) для таких отображений является приводимая ниже теорема 21.11. Пусть снова $\omega-$ фазовое пространство $p, q$ :
\[
\Omega=\mathbb{T}^{n} \times B^{n}, \quad B^{n}=\{p\}, \quad \mathbb{T}^{n}=\{q(\bmod 2 \pi)\} .
\]

Предположим, что В: $p, q \rightarrow p^{\prime}(p, q), q^{\prime}(p, q)$ – глобальное каноническое отображение, т.е.
\[
\oint_{\gamma} p d q=\oint_{\mathbf{B} \gamma} p^{\prime} d q^{\prime}
\]

для любой замкнутой кривой $\gamma$ в $\Omega$ (см. приложение 33). Предположим также, что функции $p^{\prime}(p, q), q^{\prime}(p, q)-q$ аналитические в комплексной окрестности $[\Omega]$ фазового пространства $\Omega$ :
\[
\operatorname{Re}(p), \operatorname{Re}(q) \in \Omega ; \quad|\operatorname{Im} p|,|\operatorname{Im} q|<\rho .
\]

Пусть $\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega(p)$ – каноническое отображение, заданное функцией $\omega(p)$, аналитической в $[\Omega]$ и $T_{0}\left(\omega^{*}\right)$ – тор $\left\{p=p^{*}\right.$, $\left.\omega\left(p^{*}\right)=\omega^{*}\right\}$, инвариантный относительно $\mathbf{A}$.

Теорема 21.11. Если отображение В достаточно близко к тождественному, то почти при любом ${ }^{18} \omega^{*}$ существует тор $T\left(\omega^{*}\right)$, инвариантный относительно ВА и близкии к $T_{0}\left(\omega^{*}\right)$.

Более точно, при любом $\alpha>0$ существует $\varepsilon>0$ и отображение $\mathbf{D}: \mathbf{T} \rightarrow \omega, \mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q}), \mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q})$ абстрактного тора $T=\{Q(\bmod 2 \pi)\}$ в $\Omega$ такое, что
\[
\mathbf{D}\left(Q+\omega^{*}\right)=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{D}(Q),
\]

И
\[
\left|p(Q)-p^{*}\right|<\alpha, \quad|q(Q)-Q|<\alpha,
\]

если в $[\Omega]$ выполняется неравенство
\[
\left|p^{\prime}-p\right|+\left|q^{\prime}-q\right|<\varepsilon=\varepsilon\left(\alpha, \omega^{*}, \mathbf{A}, \Omega, \rho\right)>0 .
\]

Кроме того, торы $T\left(\omega^{*}\right)$ образуют множество положительной меры, дополнение к которому имеет меру, стремящуюся к нулю вместе с $\left|p^{\prime}-p\right|+\left|q^{\prime}-q\right|$. Теорема 19.10 непосредственно следует из теоремы 21.11 при $n=1$.

Теорема 21.11 известна с 1954 года, хотя ее доказательство никогда не было опубликовано. Ю. Мозер [1] дал ее доказательство для случая отображений плоскости ( $n=1$ ). В этом доказательстве используется топология $\mathbb{R}^{2}$. Доказательство теоремы для произвольного $n$ см. в приложении 34: топологическая часть сводится к методу производящих функций глобальных канонических отображений (см. приложение 33).

Сравнение теоремы 21.7 с 21.11 и 21.12

Неизвестно, можно ли построить любое каноническое аналитическое преобразование, близкое к $\mathbf{A}$, используя сечение подходящей гамильтоновой системы. Следовательно, теорему 21.11 невозможно вывести из теоремы 21.7.

Точно так же, если ограничиться гамильтоновой системой (21.5), то теоремы 21.7 и 21.11 не приводят к эквивалентным результатам. Действительно, условия невырожденности теорем 21.7 и 21.11
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial \omega}{\partial p}\right|
ot \equiv 0, \quad \operatorname{det}\left|\frac{\partial \omega}{\partial p}\right|
ot \equiv 0
\]

представимы в терминах невозмущенной функции Гамильтона $H_{0}$ в виде
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p^{2}}\right|
ot \equiv 0, \quad \operatorname{det}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p^{2}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial p} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial p} & 0
\end{array}\right|
ot \equiv 0 .
\]

Ясно, что эти последние два условия независимы. Каждое из них достаточно для существования инвариантных торов. Кроме того, второе условие гарантирует наличие инвариантных торов на любом уровне энергии, что влечет за собой устойчивость (см. рис. 19.21) в случае двух степеней свободы ( $n=2$ в теореме 21.7, $n=1$ в теореме 21.11).

Кроме того, в приложениях оба условия (21.13) либо одновременно выполняются, либо ни одно из них не справедливо.