Уравнения движения 19.1
Уравнения движения маятника имеют вид
\[
\dot{q}=p, \quad \dot{p}=-\omega^{2} \sin q,
\]

где $\omega$ – «собственная частота», которая зависит от длины маятника. Качели представляют собой маятник, длина которого $l$ периодически изменяется (под действием человека, который находится на качелях, см. рис. 19.3) Уравнения движения качелей имеют вид
\[
\dot{q}=p, \quad \dot{p}=-\omega^{2}(t) \sin q,
\]

где $\omega(t+\tau) \equiv \omega(t)$.

Систему (19.2) мы исследуем в приложении 5 , используя фазовую плоскость. Уравнения (19.4) явно содержат время $t$. Следовательно, речь идет об исследовании векторного поля в трехмерном пространстве $p, q, t$ (см. рис. 19.5).

Отображение $T 19.6$

Начальные условия $p(0)=p_{0}, q(0)=q_{0}$ определяют траекторию движения $p=p(t)$, $q=q(t)$. Принимая во внимание периодичность уравнений (19.4) по $t$, можно отождествить поверхности $t=0$ и $t=\tau$ и рассматривать уравнения (19.4) в пространстве $\mathbb{R}^{1} \times \mathbb{S}^{1} \times \mathbb{S}^{1}(p, q$ $(\bmod 2 \pi), t(\bmod \tau))$. В результате мы получаем отображение $T$ поверхности $\Sigma(t=0)$ в себя:
\[
T\left(p_{0}, q_{0}\right)=(p(\tau), q(\tau)) .
\]

Ясно, что
\[
(p(n \tau), q(n \tau))=T^{n}\left(p_{0}, q_{0}\right) .
\]

Рис. 19.3

Следовательно, изучение $p(t), q(t)$ при $t \rightarrow \infty$ сводится к исследованию итераций $T^{n}, n \in \mathbb{Z}$. Уравнения (19.4) – канонические, поэтому отображение также $T$ канонично. Иначе говоря, $T$ сохраняет площадь $d p \wedge d q$.
Рис. 19.5
Положение равновесия $p=0, q=k \pi(k=0,1)$ является решением уравнений (19.4). Следовательно, точки $p=0, q=k \pi$ – неподвижные точки отображения $T$.

Интегрируемый случай 19.7

Чтобы лучше понять структуру отображения $T$, рассмотрим прежде всего «интегрируемый случай» – $\omega=$ const. В этом случае система консервативна, поэтому энергия является интегралом. Иначе говоря, кривые на поверхности $\Sigma$, заданные уравнением
\[
\Gamma: \frac{1}{2} p^{2}-\omega^{2} \cos q=n
\]
(см. рис. П5.1, приложения 5) – инвариантны при отображении $T$. Рассмотрим часть поверхности $\Sigma$, заключенную внутри сепаратрис $\left(h<\omega^{2}\right)$. Чтобы исследовать отображение $T$, используем координаты действие-угол $I, \varphi$. Можно доказать (см. приложение 26), что существует каноническое преобразование $\varphi: p, q \rightarrow I$ такое, что уравнение $I=$ const определяет инвариантную кривую $\Gamma=\Gamma_{I}$. Координата $\varphi(\bmod 2 \pi)$ есть угловая координата на $\Gamma_{I}$, и в системе координат $I, \varphi$ отображение $T$ имеет вид:
\[
T: I, \varphi \rightarrow I, \varphi+\lambda(I) .
\]

Иначе говоря, каждая кривая $\Gamma_{I}$ поворачивается на угол $\lambda(I)$, который изменяется от одной кривой к другой, но остается постоянным вдоль каждой кривой (если $\varphi$ выбрать за параметр). Нетрудно видеть, что для кривых, близких к сепаратрисе $\frac{1}{2} p^{2}-\omega^{2} \cos q=\omega^{2}, \lim \lambda(I)=0$, а для кривых, близких к точке $(0,0), \lim \lambda(I)=\omega \tau .{ }^{2}$ Отсюда следует, что одна часть кривых $\Gamma_{I}$ поворачивается на угол $\lambda(I)$, соизмеримый с $2 \pi$, а другая часть кривых поворачивается на угол, несоизмеримый с $2 \pi$. Рассмотрим итерации отображения $T$ точки $x=(p, q)$, принадлежащей кривой $\Gamma$ такой, что $\lambda=2 \pi \frac{m}{n}$. Мы, очевидно, имеем $T^{n} x=x$. Следовательно, каждая точка кривой $Г$ является неподвижной точкой отображения $T^{n}$, и траектория точки $x$ состоит из конечного числа точек (см. рис. 19.8). Если угол $\lambda(I)$, соответствующий кривой $\Gamma_{I}$, несоизмерим с $2 \pi$, то точки $T^{n} x$ образуют множество всюду плотное на кривой $\Gamma_{I}$ (см. приложение 1). Наконец, заметим, что положение равновесия $p=q=0$ устойчиво: если величина $\left|x_{0}\right|=\sqrt{p_{0}^{2}+q_{0}^{2}}$ достаточно мала, то величина $\left|T^{n} x_{0}\right|$ остается малой для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Неинтегрируемый случай 19.9

Пусть теперь $\omega$ – периодическая непостоянная функция. Дополнительно предположим, что $\omega(t)$ остается достаточно близкой к $\omega_{0}$, например:
\[
\omega^{2}=\omega_{\varepsilon}^{2}(t)=\omega_{0}^{2}(1+\varepsilon \cos
u t), \quad 0<\varepsilon \ll 1,
u=\frac{2 \pi}{\tau} .
\]

Отображение $T_{\varepsilon}$, соответствующее функции $\omega_{\varepsilon}$, близко к рассмотренному выше отображению $T$. Это отображение сохраняет площадь $d p \wedge d q$ и точку $(0,0)$, но не сохраняет ни энергию, ни кривые $\Gamma_{I}$. Основную цель теории возмущений составляет исследование поведения итераций $T_{\varepsilon}^{n}$ при $n \rightarrow \infty$ и $\varepsilon \ll 1$. Существуют два способа рассмотрения проблемы:

1) $\varepsilon \ll 1,-\infty<n<\infty$ (теория устойчивости);
2) $\varepsilon \ll 1,|n|<\varepsilon^{-k}$ (асимптотическая теория $k$-го приближения).

Основной результат теории устойчивости восходит к А.Н.Колмогорову (см. §21). Для нашего примера он утверждает следующее:

Теорема 19.10. Если в достаточно мало, то отображение $T_{\varepsilon}$ обладает инвариантными аналитическими кривыми $\Gamma_{\varepsilon}$, близкими $к$ инвариантным кривым Г отображения Т. Кроме того, при достаточно малом $\varepsilon$ эти кривые $\Gamma_{\varepsilon}$ заполняют область внутри сепаратрис

$\left(\frac{1}{2} p^{2}-\omega_{0}^{2} \cos q \leqslant \omega_{0}^{2}\right)$, исключая множество меры Лебега, малой вместе $c \varepsilon$.

Иначе говоря, при достаточно малом $\varepsilon$ инвариантные кривые $\Gamma_{\varepsilon}$, для которых угол $\lambda(I)$ «достаточно несоизмерим» с $2 \pi$, не исчезают, а лишь слегка деформируются. Образы $T_{\varepsilon}^{n} x$ точек $x \in \Gamma_{\varepsilon}$ лежат на кривых $\Gamma_{\varepsilon}$.

Из теоремы 19.20 также следует, что движения, соответствующие начальным условиям, которые не лежат на кривых $\Gamma_{\varepsilon}$, а расположены между этими кривыми, устойчивы. Действительно, кривая $\Gamma_{\varepsilon}$, инвариантная относительно $T_{\varepsilon}$, представляет собой в силу уравнений (19.4) инвариантный тор $^{3}$ в пространстве $p, q, t(q(\bmod 2 \pi)$, $t(\bmod \tau)$ ). Следовательно, интегральная кривая уравнений (19.4), выходящая из точки, расположенной между двумя инвариантными торами, никогда не может покинуть слой, ограниченный двумя такими торами (см. рис ${ }^{4} .19 .21$ ).
Рис. 19.21

Теорема 19.20 является непосредственным следствием из теоремы 21.11 ( $\S 21$ ), доказательство которой приведено в приложении 34.