Пусть $(X, p)$ и $(Y, q)$ – два пространства с мерами, соответственно, $p$ и $q,(M, \mu)$ – прямое произведение $M=X \times Y$, снабженное мерой $\mu=p \cdot q$.

Предположим, что $S: X \rightarrow Y$ – автоморфизм и каждому элементу $x \in X$ поставлен в соответствие автоморфизм $T_{x}: Y \rightarrow Y$ такой, что отображение $(x, y) \rightarrow T_{x} y$ измеримо при любых $x \in X, y \in Y$. Тогда отображение $\varphi$, определяемое соотношением
\[
\varphi(x, y)=\left(S x, T_{x} y\right),
\]

измеримо и оставляет меру $\mu$ инвариантной.
Действительно, по теореме Фубини, для любой измеримой функции $F$
\[
\begin{aligned}
\mu\left(\varphi^{-1} F\right) & =\int_{M} \mathscr{X}_{F}(\varphi m) d \mu=\int_{X}\left(\int_{Y} \mathscr{X}_{F}\left(S x, T_{x} y\right) d q\right) d p= \\
& =\int_{X}\left(\int_{Y} \mathscr{X}_{F}(S x, y) d q\right) d p=\int_{Y}\left(\int_{X} \mathscr{X}_{F}(S x, y) d p\right) d q= \\
& =\int_{Y}\left(\int_{X} \mathscr{X}_{F}(x, y) d p\right) d q=\mu(F),
\end{aligned}
\]

где $\mathscr{X}_{F}$ – характеристическая функция $F$.
Динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ называется косым произведением динамических систем $(X, p, S) u\left(Y, q, T_{x}\right)$.

Пример П15.1. Если $T_{x}=T$ – постоянная функция, то $\varphi=S X T$, и косое произведение есть не что иное, как произведение динамических систем $(X, p, S)$ и $(Y, q, T)$.

Пример П15.2. Выберем в качестве $S$ эргодический автоморфизм измеримого пространства $(X, p)$, в качестве $Y$ окружность $S^{1}=$ $=\{x(\bmod 1)\}$. Если $\alpha(x)$ – измеримая функция, определенная на $X$, со значениями в $Y$, то
\[
\varphi(x, y)=(S x, \alpha(x)+y(\bmod 1)) .
\]

Это – косое произведение, ассоциированное с функцией $\alpha$.
Конкретизируем рассматриваемую динамическую систему, выбрав в качестве $X=\{x(\bmod 1)\}$, а в качестве $S-$ эргодическое преобразование $x \rightarrow x+\beta(\bmod 1)$. В качестве функции $\alpha$ выберем
\[
\alpha_{n}(x)=n x \quad(\bmod 1), \quad n \in \mathbb{Z}^{+} .
\]

Следовательно, с каждым положительным целым $n$ связано некоторое косое произведение: Анзаи (Anzai [1]) доказал, что динамические системы $\left(M, \mu, \varphi_{n}\right.$ ), определенные указанным выше образом, принадлежат к одному и тому же спектральному типу, не будучи изоморфными ${ }^{1}$.