Пусть $(X,p)$ и $(Y,q)$ — два пространства с мерами, соответственно, $p$ и $q,(M,\mu )$ — прямое произведение $M=X\times Y$, снабженное мерой $\mu =p\cdot q$.

Предположим, что $S:X\to Y$ — автоморфизм и каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие автоморфизм $T_x:Y\to Y$ такой, что отображение $(x,y)\to T_{x}y$ измеримо при любых $x\in X,y\in Y$. Тогда отображение $\phi$, определяемое соотношением
$$\phi (x,y)=(Sx,T_{x}y),$$

измеримо и оставляет меру $\mu$ инвариантной.
Действительно, по теореме Фубини, для любой измеримой функции $F$
$$\begin{array}{rl}\mu \left({\phi }^{-1}F\right)& ={\int }_M{\mathcal{X}}_F(\phi m)d\mu ={\int }_X\left({\int }_Y{\mathcal{X}}_F(Sx,T_{x}y)dq\right)dp=\\ & ={\int }_X({\int }_Y{\mathcal{X}}_F(Sx,y)dq)dp={\int }_Y({\int }_X{\mathcal{X}}_F(Sx,y)dp)dq=\\ & ={\int }_Y({\int }_X{\mathcal{X}}_F(x,y)dp)dq=\mu (F),\end{array}$$

где ${\mathcal{X}}_F$ — характеристическая функция $F$.
Динамическая система $(M,\mu ,\phi )$ называется косым произведением динамических систем $(X,p,S)u(Y,q,T_x)$.

Пример П15.1. Если $T_x=T$ — постоянная функция, то $\phi =SXT$, и косое произведение есть не что иное, как произведение динамических систем $(X,p,S)$ и $(Y,q,T)$.

Пример П15.2. Выберем в качестве $S$ эргодический автоморфизм измеримого пространства $(X,p)$, в качестве $Y$ окружность $S^1=$ $=\{x(mod1)\}$. Если $\alpha (x)$ — измеримая функция, определенная на $X$, со значениями в $Y$, то
$$\phi (x,y)=(Sx,\alpha (x)+y(mod1)).$$

Это — косое произведение, ассоциированное с функцией $\alpha$.
Конкретизируем рассматриваемую динамическую систему, выбрав в качестве $X=\{x(mod1)\}$, а в качестве $S-$ эргодическое преобразование $x\to x+\beta (mod1)$. В качестве функции $\alpha$ выберем
$${\alpha }_n(x)=nx(mod1),n\in {\mathbb{Z}}^{+}.$$

Следовательно, с каждым положительным целым $n$ связано некоторое косое произведение: Анзаи (Anzai [1]) доказал, что динамические системы $(M,\mu ,{\phi }_n$ ), определенные указанным выше образом, принадлежат к одному и тому же спектральному типу, не будучи изоморфными ${}^1$.