Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть и — два пространства с мерами, соответственно, и — прямое произведение , снабженное мерой .
Предположим, что — автоморфизм и каждому элементу поставлен в соответствие автоморфизм такой, что отображение измеримо при любых . Тогда отображение , определяемое соотношением
измеримо и оставляет меру инвариантной.
Действительно, по теореме Фубини, для любой измеримой функции
где — характеристическая функция .
Динамическая система называется косым произведением динамических систем .
Пример П15.1. Если — постоянная функция, то , и косое произведение есть не что иное, как произведение динамических систем и .
Пример П15.2. Выберем в качестве эргодический автоморфизм измеримого пространства , в качестве окружность . Если — измеримая функция, определенная на , со значениями в , то
Это — косое произведение, ассоциированное с функцией .
Конкретизируем рассматриваемую динамическую систему, выбрав в качестве , а в качестве эргодическое преобразование . В качестве функции выберем
Следовательно, с каждым положительным целым связано некоторое косое произведение: Анзаи (Anzai [1]) доказал, что динамические системы ), определенные указанным выше образом, принадлежат к одному и тому же спектральному типу, не будучи изоморфными .