§ 10. Равновесие жидкости в других силовых полях.

В § 6-9 мы предполагали, что жидкость или газ находится в однородном поле тяжести, т. е. в таком поле, в котором ускорение свободного падения везде одинаково по величине и направлению. Это предположение достаточно хорошо оправдывается в пределах небольшой области и поэтому вполне допустимо для большинства приложений. Но если рассматриваются большие области, линейные размеры которых нельзя считать малыми по сравнению с радиусом Земли, то необходимо учитывать, что ускорение свободного падения не остается постоянным по величине и направлению во всей области. Другим примером, когда поле сил нельзя считать однородным, является равномерное вращение жидкости вместе с заключающим ее сосудом. В этом случае жидкость покоится относительно сосуда, но для того, чтобы рассматривать задачу как статическую, необходимо в каждой точке занимаемого жидкостью пространства прибавить к ускорению свободного падения ускорение, соответствующее центробежной силе. Поэтому рассмотрим в общей форме вопрос о равновесии однородной или неоднородной жидкости в произвольном силовом поле, в котором сила на единицу массы, т. е. ускорение, изменяется от места к месту как по величине, так и по направлению.

Выделим в жидкости маленькую призму с осью, перпендикулярной к направлению силы, и рассмотрим условие ее равновесия относительно перемещений, направленных параллельно оси. При помощи таких же рассуждений, как и в § 6, мы легко установим, что в любом направлении, перпендикулярном к направлению рассматриваемой силовой линии, давление не может изменяться. Далее из рассмотрения равновесия маленькой призмы с осью, параллельной направлению силы, мы найдем, что давление в направлении силы должно возрастать на величину

где есть высота призмы, напряженность силового поля. Если взять всю совокупность направлений, перпендикулярных к силовой линии в какой-нибудь ее точке, то она выделит около рассматриваемой точки элементарную площадку, нормальную к силовой линии. Из первого нашего заключения следует, что на каждой такой площадке давление имеет постоянное значение. В том случае, когда такие площадки, примыкающие друг к другу, образуют поверхность конечных размеров, т. е. когда силовое поле обладает так называемыми ортогональными поверхностями, из предыдущего следует, что давление имеет

постоянное значение во всех точках каждой ортогональной поверхности. Если же силовое поле не имеет ортогональных поверхностей, то равновесие жидкости в нем невозможно.

Предположим, что силовое поле обладает ортогональными поверхностями, и рассмотрим две такие поверхности, давление на которых пусть равно (рис. 18).

Рис. 18. Неоднородное силовое поле

Выберем на первой ортогональной поверхности две точки 1 и 2, через которые проходят силовые линии Пусть в точках 1 и 2 плотность равна Согласно формуле (14) мы имеем:

Если мы имеем однородную жидкость то плотность постоянна во всей жидкости и из обоих равенств следует:

Если же мы имеем однородный газ то плотность есть функция давления но так как на ортогональной поверхности то необходимо должно быть, что на этой поверхности поэтому мы опять получим, что

Произведение есть не что иное, как работа, совершаемая силой поля при переходе от одной ортогональной поверхности к другой. Согласно полученному нами результату эта работа имеет одинаковое значение в любом месте между обеими поверхностями уровня. Это показывает,

что рассматриваемое нами силовое поле обладает потенциалом, следовательно, ортогональные поверхности являются поверхностями равного потенциала. Обозначив потенциал в какой-нибудь точке А через мы будем иметь:

Знак минус взят потому, что в уравнении (14) мы приняли положительным в направлении Заменяя в уравнении (14) его значением из уравнения (15), мы получим:

или

откуда после интегрирования следует, что

В обоих рассматриваемых случаях (однородная жидкость и однородный газ) правую часть уравнения (17) можно вычислить, и мы получим давление непосредственно как функцию потенциала. Подводя итог полученным результатам, мы можем сказать:

Однородная жидкость или однородный газ может находиться в равновесии только в таком силовом поле, которое обладает потенциалом. Поверхности равного потенциала, ортогональные к силовым линиям поля, одновременно являются поверхностями равного давления. Давление возрастает в том направлении, в котором действует сила поля, причем увеличение давления равно

В неоднородной жидкости возможен такой случай, когда но зато плотность распределена так, что везде имеет место равенство

Однако легко видеть, что такое равновесие является неустойчивым. В самом деле, достаточно небольшого перемещения жидкости вдоль ортогональной поверхности (такое перемещение не требует затраты работы), чтобы сейчас же изменить распределение плотности, и следовательно, нарушить равновесие. Для устойчивого равновесия неоднородной жидкости по-прежнему необходимо, чтоб т.е.

жидкость должна находиться в силовом поле, имеющем потенциал. Но если то для соблюдения равновесия требуется, чтобы соблюдалось также равенство Следовательно, неоднородная жидкость может находиться в устойчивом равновесии только в силовом поле, имеющем потенциал. Поверхности равного потенциала являются одновременно поверхностями равного давления и равной плотности.

Таким образом, равенства (16) и (17) применимы и к неоднородной жидкости. Условия равновесия остаются такими же, какими они были выведены в § 6 и 7 для однородного поля тяжести.

Почти все силовые поля, встречающиеся в физике, за исключением магнитных полей, вызванных электрическим током, имеют потенциал, поэтому приведенное выше условие о существовании потенциала практически не вносит никакого ограничения. Но другое условие — постоянство плотности на каждой поверхности равного потенциала — практически весьма важно. Оно может но соблюдаться, например, в том случае, когда жидкость или газ в каком-нибудь месте нагревается. Это приводит к уменьшению плотности в этом месте, вследствие чего равновесие становится невозможным, так как нагретая жидкость приходит в движение и увлекает за собой соседние части жидкости. Только после того, как наиболее нагретые части жидкости расположатся выше других частей, устанавливается состояние покоя.

Рис. 19. Жидкость во вращающемся сосуде

Свободная поверхность жидкости или поверхность раздела двух между собой несмешивающихся жидкостей разной плотности всегда совпадает с поверхностью равного потенциала. Поэтому поверхности равного потенциала называются также поверхностями уровня. В геодезии поверхность моря является основной поверхностью уровня; относительно этой поверхности производится отсчет всех высот.

Поясним применение установленных выше законов на простом примере. Рассмотрим равновесие весомой однородной жидкости, покоящейся относительно сосуда, равномерно вращающегося вокруг вертикальной оси (рис. 19). Прежде всего найдем потенциал силового поля. Он, очевидно, складывается из двух потенциалов: потенциала поля тяжести и потенциала поля центробежной силы.

Возьмем цилиндрические координаты причем ось z направим вертикально вверх. Тогда потенциал поля тяжести будет равен

где есть ускорение свободного падения, произвольное начальное значение потенциала. Потенциал поля центробежной силы определяется ускорением где есть угловая скорость вращения, общая для сосуда и жидкости. Подставляя это значение ускорения в соотношение (15) и интегрируя в направлении ускорения, т.е. в направлении мы найдем потенциал поля центробежной силы:

Следовательно, полный потенциал равен

Поверхности равного потенциала мы получим, полагая и

Таким образом, свободная поверхность и все поверхности равного давления представляют собой параболоиды вращения с общим параметром

Интегрируя соотношение

мы найдем давление в любой точке жидкости как функцию потенциала

где есть давление на свободной поверхности Подставляя в равенство (19) вместо его выражение из равенства (18) и заменяя через , мы получим: