§ 13. Сопротивление жидкостей движущимся в них телам.

а) Предварительные общие замечания о формуле сопротивления. Уже Ньютон вывел заключение, что сопротивление, которое жидкость оказывает движущемуся в ней телу вследствие своей инерции, должно быть пропорционально площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, плотности жидкости и квадрату скорости . В правильности этого результата можно убедиться путем простого рассуждения. Тело при своем движении должно каждую секунду вытеснять со своего пути массу жидкости

при этом оно сообщает каждой частице жидкости скорость, которую можно считать пропорциональной скорости тела. Сопротивление равно количеству движения, сообщаемому жидкости в течение одной секунды, следовательно, оно пропорционально величине

Ньютон представлял себе, что среда, в которой движется тело, состоит из свободно «парящих», неподвижных частиц, которые при столкновении с телом отражаются от него по законам упругого удара, что и приводит к возникновению сопротивления. Однако теперь мы знаем, что такая теория неверна. Согласно современной теории сопротивления, называемой часто гидродинамической, сопротивление жидкости движущемуся в ней телу является результатом разностей давлений и касательных напряжений, возникающих при обтекании тела. Принципиальная разница между новой и старой теориями состоит в следующем: старая теория учитывает только форму той части поверхности тела, которая обращена в сторону движения, между тем как новая теория показывает, что причиной сопротивления являются главным образом процессы, происходящие позади движущегося тела, и что поэтому форма кормовой части тела имеет очень большое влияние на величину сопротивления. Необходимо также подчеркнуть, что, согласно старой теории,

Рис. 140. Двугранник

сопротивление какого-нибудь тела следует определять суммированием по всем элементам поверхности (на основе закона, полученного для плоской пластинки), в то время как из современной гидродинамической теории сразу видно, что это недопустимо. Для пояснения приведем следующий простой пример. Обтекание двугранника (рис. 140) происходит, очевидно, совершенно по-иному, чем обтекание двух пластинок, наклоненных друг к другу под таким же углом, но удаленных друг от друга. В самом деле, во втором случае жидкость протекает между пластинками, в первом же случае она этого не может делать. Согласно измерениям Эйфеля сопротивление двугранника, образованного из двух квадратных пластинок, поставленных под углом в 30° к направлению потока, составляет только около 60% от сопротивления обеих пластинок, установленных в жидкости отдельно друг от друга и под тем же углом к потоку. Согласно же старой теории сопротивление в обоих случаях должно было бы быть одинаковым. Другим наглядным примером является следующий. Как показали измерения Эйфеля, подтвержденные затем в Геттингенской аэродинамической лаборатории, круглый диск, круглый цилиндр с таким же диаметром и высотой, равной диаметру, и, наконец, круглый цилиндр опять с таким же диаметром, но высотой, равной полутора диаметрам, движущиеся все в направлении, перпендикулярном к плоскости круга, имеют коэффициенты сопротивления, равные соответственно 1,12; 1,10 и 0,80. Меньшее сопротивление более длинного цилиндра можно объяснить только тем, что при его обтекании вихревая система получается вследствие лучшего прилегания потока к боковой поверхности менее мощной, чем при обтекании более короткого цилиндра, и поэтому подсасывающее действие на заднем основании получается также значительно меньшим.

Относительно общей формы закона сопротивления, которым должны обладать тела определенного вида, с современной, гидродинамической точки зрения можно заранее сказать только следующее: это сопротивление вызывается разностью давлений и напряжениями трения, причем влияние разности давлений в общем случае преобладает. Эта разность может быть принята пропорциональной динамическому давлению соответствующему скорости [см. § 5, п. с) предыдущей главы], следовательно, сопротивление пропорционально

произведению разности давлений и площади, на которую эта разность давлений действует, т. е.

Динамическое давление, измеряемое при помощи специальных трубок (см. § 8 предыдущей главы), обозначается либо через либо через мы будем пользоваться последним обозначением. Так как скорость определяется обычно путем измерения динамического давления, то в экспериментальных исследованиях основной величиной является именно это давление, а не скорость. Для наглядности очень удобно представлять сопротивление как действие давления на площадь:

Поэтому, вместо того чтобы подсчитывать сопротивление, как это делали раньше, по формуле.

в настоящее время в большинстве стран принято пользоваться формулой

Следовательно, новые коэффициенты сопротивления в два раза больше старых. Они обозначаются обычно буквой с, в случае необходимости — с индексами для составляющих сопротивления.

Что касается величины коэффициента сопротивления, то соображения о механическом подобии позволяют сказать следующее. До тех пор, пока сравниваются только геометрически и механически подобные случаи, при которых число Рейнольдса есть какая-нибудь характерная длина) сохраняет постоянное значение, отношение разностей давлений к напряжениям трения остается постоянным; поэтому касательные напряжения изменяются в сравниваемых случаях пропорционально разностям давлений, которые, в свою очередь, могут быть приняты пропорциональными динамическому давлению. Таким образом, приведенная выше форма закона сопротивления, т.е.

является в рассматриваемом случае вполне точным законом. Конечно, коэффициент сопротивления с сохраняет свое значение только до тех

пор, пока остается неизменным число Рейнольдса. При изменении же числа Рейнольдса коэффициент сопротивления в общем случае изменяется, следовательно, он является функцией числа Рейнольдса:

Если в каком-нибудь определенном случае можно предполагать, что трение не оказывает заметного действия, то согласно сказанному имеет место практически точная пропорциональность сопротивления величине для всех возможных условий, т.е. функция является постоянной. Примером такого случая может служить движение пластинки в направлении, перпендикулярном к ее плоскости, а также других подобного рода тел с острыми краями. Для круглых пластинок коэффициент сопротивления с равен приблизительно 1,12.

Напротив, если при движении тела в жидкости трение играет основную роль, как, например, при движении пластинок в своей плоскости, то следует ожидать значительного отклонения от указанной выше пропорциональности (см. § 15). При очень небольших скоростях, когда мало по сравнению с единицей, приходится учитывать только влияние вязкости. В этом случае имеет место уже упомянутый в § 3 закон Стокса (сопротивление пропорционально скорости Закону Стокса также можно придать форму уравнения (78), если ввести коэффициент сопротивления с, пропорциональный К

Ь) Разложение сопротивления. Сопротивление тела, движущегося в жидкости, всегда можно разложить на две части: на сопротивление, обусловленное разностью давлений, и на сопротивление, обусловленное трением. Будем называть для краткости эти сопротивления сопротивлением давления и сопротивлением трения.

Разложим силу, с которой жидкость действует на каждый элемент поверхности движущегося тела, на нормальную и касательную составляющие, т.е. на силу давления и на силу трения.

Результирующая всех сил давления и будет сопротивлением давления, а результирующая всех сил трения — сопротивлением трения. (В случае шероховатой поверхности разложение следует производить — из практических соображений — относительно фиктивной гладкой поверхности, в целом правильно передающей форму шероховатой поверхности; это приводит к тому, что сопротивление давления, действующее на отдельные выступы шероховатости, включается в состав сопротивления трения.) Разделение полного сопротивления на сопротивление

давления и на сопротивление трения экспериментально производится следующим образом. На поверхности тела просверливаются отверстия и через них измеряются давления, действующие на соответствующие элементы поверхности. Затем суммированием вычисляется результирующая всех сил давления, т. е. сопротивление давления. Если полное сопротивление тела каким-нибудь способом измерено (см. § 22, п. с)), то, вычитая из него только что вычисленное сопротивление давления, мы найдем сопротивление трения. О непосредственном измерении сопротивления трения см. § 22, п. с). В прежние годы предполагали, что только сопротивление давления сильно зависит от формы тела; о сопротивлении же трения думали, что оно в основном зависит от величины поверхности тела и очень мало зависит от формы тела. В связи с этим тогда разделяли полное сопротивление на сопротивление формы и на сопротивление поверхности. Однако новые опыты показали, что сопротивление трения также довольно заметно зависит от формы тела, и поэтому разделение полного сопротивления на только что указанные две части нельзя считать правильным.

При движении тела на свободной поверхности жидкости возникает особый вид сопротивления давления — так называемое волновое сопротивление, причиной которого является система волн, вызванная движением тела. Так как волновое движение происходит под действием силы тяжести (капиллярные силы мы не учитываем), то теперь имеет место закон подобия иной, чем при движении, в котором основную роль играет трение. Из скорости длины I и ускорения силы тяжести можно составить только одно безразмерное число Системы волн, образующиеся при движении двух геометрических подобных тел, например, корабля в натуральном размере и его уменьшенной модели, будут геометрически подобны только в том случае, если число в обоих движениях имеет одинаковое значение, следовательно, если скорости обоих движений относятся как корни квадратные из длин корабля в натуре и модели. Этот закон подобия называется законом Фруда, а число у — числом Фруда.

Небольшие изменения формы корабля и его скорости очень сильно отражаются на волновом сопротивлении; при удлинении корпуса корабля оно может и увеличиться, и уменьшиться, смотря по тому, будет ли кормовая волна, интерферирующая с системой носовых волн, усиливать или ослаблять эту систему. Сопротивление увеличивается, если корма попадает в одну из впадин носовой системы волн, и, наоборот,

уменьшается, если корма попадает на один из гребней носовой системы волн. На мелкой воде система волн, вызываемых движением корабля, может претерпевать весьма значительные изменения. Волновое сопротивление очень сильно увеличивается, когда корабль движется со скоростью, равной критической скорости движения вала для данной глубины (см. § 15 предыдущей главы). При скоростях движения корабля, больших критической, волновое сопротивление опять делается меньше.

Работа, производимая кораблем для преодоления волнового сопротивления, преобразуется в кинетическую энергию волн, возникающих при движении корабля. Другая часть сопротивления давления, соответствующая обычному сопротивлению давления тела, окруженного жидкостью со всех сторон, вместе с сопротивлением трения имеет своим эквивалентом количество движения вихрей, образующихся в кильватерном потоке; поэтому указанная вторая часть сопротивления давления часто называется кильватерным сопротивлением. Работа, затрачиваемая на преодоление кильватерного сопротивления, преобразуется частично в теплоту, а частично в кинетическую энергию кильватерных вихрей, которая затем постепенно также преобразуется в теплоту.

Сопротивление трения и кильватерное сопротивление следуют закону подобия Рейнольдса (если не принимать во внимание возмущений, вносимых волнами); волновое же сопротивление следует закону Фруда. Создать условия при испытании модели корабля, удовлетворяющие одновременно этим двум законам, невозможно. Так как для кораблей основную роль играет волновое сопротивление, то при испытании моделей кораблей соблюдают закон Фруда, зависимость же других сопротивлений от масштаба модели учитывают путем внесения поправок, устанавливаемых опытным путем.

Кинетическая энергия, в которую преобразуется работа, затрачиваемая на преодоление волнового сопротивления, еще долгое время сохраняется после прохождения корабля в оставшейся за ним системе волн. То же самое происходит и при движении крыла самолета. Как мы знаем из § 7 предыдущей главы, крыло самолета оставляет позади себя мощное и очень правильное вихревое движение. И в этом случае сопротивление давления можно разложить на две части. Работа, производимая для преодоления одной из этих частей, преобразуется в кинетическую энергию вихревого движения, распределенного во всей жидкости. Работа же, производимая для преодоления второй части

сопротивления давления, вместе с работой, производимой для преодоления сопротивления трения, преобразуется частично в теплоту, а частично в кинетическую энергию вихрей кильватерного потока. Поэтому соответствующая часть сопротивления давления называется также кильватерным сопротивлением. Его можно вычислить, применяя теорему о количество движения к кильватерному потоку (см. § 14, п. с)).

с) Движущееся тело и движущаяся жидкость. Весьма важным является следующий вопрос: какая численная связь существует между сопротивлением, которое встречает тело при своим движении в покоящейся жидкости, и силой, с которой движущаяся жидкость действует на покоящееся тело. Если жидкость движется во всех своих частях совершенно равномерно, то на основании принципа относительности классической механики между обоими указанными случаями не может быть никакой разницы. В самом деле, характер механических явлений не зависит от скорости движений системы отсчета, в которой наблюдаются изучаемые явления; поэтому, налагая на систему, связанную с движущимся телом, скорость, равную, но противоположную скорости тела, т. е. останавливая тело и сообщая движение жидкости, мы не изменили механических закономерностей. Однако, если движение жидкости не является совершенно равномерным во всех ее частях, как это имеет место при турбулентном течении, то разница между обоими указанными случаями все же получается. Как правило, во втором случае, т.е. при обтекании неподвижного тела, сопротивление больше, чем при движении тела в покоящейся жидкости, но бывают и исключения (обтекание шара в критической области, см. § 15). Так как в природных условиях движение жидкостей, в том числе и воздуха, при больших протяжениях пространства, в котором происходит движение, всегда турбулентное, то всегда будет получаться разница между сопротивлением движущегося тела и сопротивлением неподвижного тела.

Экспериментальное определение сопротивления тел, движущихся в воздухе, удобнее производить на неподвижных моделях, обтекаемых потоком воздуха. Для этой цели устраиваются специальные аэродинамические трубы (см. §22). Для того чтобы результаты, полученные в таких трубах, можно было с уверенностью переносить на движущиеся тела, необходимо принимать тщательные меры для обеспечения возможно большей равномерности воздушного потока. О турбулентности в аэродинамических трубах см. также § 5, п. g).

В заключение остановимся на одном интересном явлении, которое, строго говоря, не имеет прямого отношения к только что сказанному. Наблюдения показывают, что баржа, плывущая по реке, всегда опережает течение,

притом настолько, что ею возможно управлять при помощи руля. Объясняется это следующим образом. Движущей силой является, очевидно, сила тяжести, точнее, ее составляющая соответствующая уклону реки, т. е. баржа как бы находится на наклонной плоскости. Баржа, будучи частично погружена в воду, вытесняет некоторый объем воды, вес которого равен Если бы баржи не было, то масса этого объема двигалась бы под действием той же силы но при этом испытывала бы очень большое сопротивление вследствие турбулентного перемешивания с окружающей жидкостью. Жесткая же форма баржи исключает возможность такого перемешивания; вместо него образуется только турбулентный пограничный слой со значительно меньшим сопротивлением. Это и приводит к тому, что баржа опережает течение.