§ 11. Движение жидкости около вращающегося диска. Формулы для сопротивления.

Пусть диск диаметром вращается в покоящейся жидкости вокруг оси, перпендикулярной к своей плоскости и проходящей через центр диска. Частицы жидкости, прилегающие к диску, увлекаются им вследствие трения, приводятся в круговое движение и затем вследствие инерции отбрасываются наружу — к краю диска. Вместо отброшенных частиц жидкости к диску притекают другие частицы и опять отбрасываются наружу. В результате после небольшого промежутка времени, в течение которого происходит разгон течения, возникает установившийся поток, оказывающий большее сопротивление вращению диска. Если вращение диска происходит не в неограниченном пространстве, наполненном жидкостью, а в камере,

концентричной с диском, то масса жидкости, приведенная в круговое движение и отброшенная от диска, сейчас же вновь притекает к диску, потеряв, однако, предварительно некоторую часть сообщенной ей циркуляции вследствие трения о стенки камеры.

Если движение жидкости ламинарное, то определение момента сопротивления, возникающего при вращении диска, возможно выполнить теоретическим путем. Прежде чем перейти к изложению полученных результатов, остановимся на простом приближенном рассмотрении поставленной задачи. Пусть направление, в котором вдоль диска скользит поток и которое параллельно касательному напряжению на стенке образует с направлением кругового движения угол Радиальная составляющая касательного напряжения, равная должна уравновешиваться с центробежной силой отбрасываемого пластинкой потока, следовательно, она пропорциональна где есть толщина увлекаемого слоя жидкости. С другой стороны, трансверсальная составляющая касательного напряжения, равная пропорциональна Исключая из соотношений

касательное напряжение и принимая, что угол у не зависит от радиуса, что подтверждается наблюдениями, мы получим:

следовательно, толщина увлекаемого диском слоя одинакова на всех радиусах. Впрочем, этот результат можно было предвидеть на основании соображений о размерностях, изложенных в § 3 гл. III при оценке толщины пограничного слоя. Там мы получили для этой толщины оценку

которая совпадает с оценкой (47), поскольку в нашем случае характерное для явления время Если бы в наших рассуждениях мы исходили из факта существования соотношения (48), то из соотношений (46) мы получили бы, что Подставляя значение из соотношения (47) в любое из соотношений (46), мы получим:

Момент сопротивления вращению пропорционален произведению касательного напряжения, площади и плеча, следовательно,

Задача о вращении диска в покоящейся жидкости решена Кохраном. Пусть и есть касательная составляющая скорости жидкости, радиальная составляющая и составляющая, перпендикулярная к диску. Очевидно, что составляющие пропорциональны Множитель пропорциональности есть функция от

есть расстояние от диска. В таком случае составляющая вследствие неразрывности потока пропорциональна Следовательно,

Графики трех функций изображены на рис. 292. Из этого рисунка мы видим, что расстояние z от диска, на котором окружная скорость потока понижается до половины окружной скорости диска, равно

Угол, образуемый относительными линиями тока в плоскости диска с направлением окружной скорости диска, определяется из соотношения

следовательно,

Рис. 292. Вращающийся диск в покоящейся жидкости

Для момента сил трения диска диаметра вращающегося с окружной скоростью вычисления дают значение:

Подставив в эту формулу

мы увидим, что она по своей структуре совпадает с формулой (49).

Бёдевадт рассмотрел случай неподвижного диска, помещенного в жидкость, вращающуюся с угловой скоростью

Графики соответствующих функций изображены на рис. 293. Теперь вторичный поток такого же рода, какой был уже описан в § 8 гл. III, направлен к центру диска. Составляющая его скорости, параллельная оси диска, направлена от диска; ее предельное значение равно

(Заметим, что в данном случае вторичный поток является типичной формой циклона, в то время как при вращении диска в неподвижной

Рис. 293. Вращающаяся жидкость на покоящемся основании

жидкости вторичный поток подобен антициклону.) Тангенс угла, образуемого линиями тока непосредственно около диска с направлением окружной скорости, равен следовательно, Мы видим, что угол больше, а угол меньше угла полученного Экманом (рис. 289). Это несовпадение объясняется кривизной линий тока. Выяснению картины движения при разгоне от состояния покоя до состояния установившегося течения посвящена работа Тириота.

Перейдем к случаю турбулентного движения в пограничном слое около вращающегося диска. Если турбулентность возникает достаточно близко от центра диска, то в соответствии с уравнением (31) гл. III (стр. 162) для трансверсальной составляющей касательного напряжения мы получим:

Радиальная составляющая касательного ускорения, как и при ламинарном движении, будет

Исключая из соотношений (51) и и принимая, что мы получим:

Полагая опять

и подставляя сюда значение а также окружную скорость диска мы найдем, что момент сопротивления равен

Карман путем приближенного расчета нашел для «числа» в формуле (53) значение, равное 0,021. Согласно опытам Шмидта и Кемпфа, при развившемся турбулентном течении это число равно 0,025. Переход от ламинарного состояния к турбулентному происходит так же, как при обтекании пластинок (см. кривую 3 на рис. 152).

Если диск вращается в цилиндрической камере, то, как уже было сказано, во вращение приводится вся жидкость, и поэтому относительная скорость диска и жидкости получается меньше, чем в неограниченном пространстве; следовательно, будет меньше и момент сопротивления. Согласно измерениям Шульц-Грунова, для «число» в формуле (53) равно 0,0089 и практически не зависит от расстояния между плоскими стенками камеры и диска, если только это расстояние не очень мало. На обеих сторонах диска образуются пограничные слои, в которых жидкость движется от центра к периферии, а на обеих крышках камеры — два других пограничных слоя, в которых жидкость движется от периферии к центру. В промежутках между пограничными слоями находится слой пассивной жидкости, довольно равномерно вращающейся и медленно перетекающей от крышек к диску. Наблюдения Шульц-Грунова показали, что для значений между имеет место ламинарное течение, причем момент сопротивления равен

Для узких камер и малых значений момент сопротивления можно вычислить теоретически; он равен

где есть расстояние между диском и крышкой. Опыты хорошо подтверждают эту формулу.