§ 5. Особенности турбулентного движения.

Длина пути перемешивания I в разных местах турбулентного потока вообще неодинаковая. До настоящего времени не имеется теории, которая позволяла бы вычислить эту длину в любом случае. Однако в некоторых особых случаях можно найти для нее приближенную оценку, причем получающиеся результаты хорошо подтверждаются наблюдениями. К числу таких случаев принадлежат, во-первых, движения, при которых действительные касательные напряжения, возникающие вследствие вязкости, пренебрежимо малы по сравнению с дополнительными касательными напряжениями, зависящими от турбулентности, и, во-вторых, движения, при которых можно не учитывать влияния вязкости на длину Последний случай равносилен предположению, что турбулентность возможна в жидкости, лишенной трения. При больших числах Рейнольдса такое предположение является вполне оправданным.

а) Когда струя, для которой число Рейнольдса достаточно велико, смешивается с окружающей неподвижной жидкостью, можно с большой правдоподобностью считать, что длина пути перемешивания в каждом поперечном сечении струи пропорциональна ширине струи в этом сечении, т. е.

Под можно понимать, например, радиус основания параболического или параболоидального сегмента, изображающего распределение скоростей в рассматриваемом сечении и притом такого, что определяемые им максимальная скорость и расход жидкости совпадают с соответствующими значениями для действительного потока. Такое условие необходимо, так как действительный поток переходит диффузно без заметной границы во внешнюю жидкость. Соответствующие вычисления дают для коэффициента а значение, близкое к 0,125.

Наблюдения показывают, что такая свободная струя, вытекающая через отверстие в стенке в достаточно большое пространство, наполненное неподвижной жидкостью, расширяется так, что за исключением ближайшей окрестности отверстия ширина струи увеличивается весьма точно пропорционально расстоянию от отверстия. Скорость струи при ее расширении уменьшается по мере удаления от отверстия, но давление во всей струе остается приблизительно таким же, как и в окружающем ее пространстве. Следовательно, уменьшение скорости с удалением от отверстия обусловливается исключительно вязкими напряжениями, причем закон уменьшения отнюдь не таков, что соблюдается равенство расхода во всех поперечных сечениях струи. Такого равенства и не может быть, так как по мере расширения струи она вовлекает в себя все новые и новые массы неподвижной жидкости. Но зато вследствие постоянного давления количество движения струи, равное

остается постоянным (ср. с § 13 предыдущей главы). Обозначая максимальную скорость в поперечном сечении струи через мы можем написать:

откуда следует, что скорость изменяется пропорционально а так как ширина струи пропорциональна расстоянию х от отверстия, то

Картина течения изображена на рис. 96.

Рис. 96. Центральные линии тока расширяющейся струи воздуха

Такая связь между и очень хорошо согласуется с формулой (22), выведенной в предыдущем параграфе для дополнительного касательного напряжения. В самом деле, исходя из этой формулы, можно не только вывести найденную связь между но и вычислить распределение скоростей, причем остается произвольной только постоянная а или какая-нибудь другая, аналогичная постоянной а. Такого рода вычисление было выполнено Толмином. Таким образом, описанное выше поведение расширяющейся струи служит доказательством допустимости применения формулы (22). Не приводя вычислений Толмина, покажем, как можно получить из формулы (22) связь между путем приближенных оценок.

Как и выше, примем, что Из теоремы о количестве движения мы имеем:

Полагая приближенно, что

и подставляя это значение в формулу (22), мы получим среднее значение дополнительного касательного напряжения по поперечному сечению струи:

Сила на единицу объема равна, согласно равенству (6), Напряжение изменяется от нуля в середине струи до максимума на некотором расстоянии от середины, а затем уменьшается вновь до нуля, следовательно, производная сначала отрицательна, а затем положительна. В первой области происходит замедление главного течения, а во второй области — ускорение увлекаемого струей внешнего воздуха. Для центральной части потока можно принять, что

Следовательно, применяя к единице объема этого потока уравнение: масса, умноженная на ускорение, равна силе, мы получим:

В левой части этого уравнения мы можем заменить к на тогда мы получим

Подставляя сюда

(на основании теоремы о количестве движения) и

мы найдем:

следовательно,

что хорошо согласуется с экспериментальными результатами, согласно которым

Рис. 97. Размыв края струи

Другим не менее важным случаем, когда можно дать оценку для длины пути перемешивания, является размыв края параллельной струи (рис. 97). В этом случае По-прежнему полагая, что мы получим для среднего касательного напряжения значение

Потеря количества движения струи (на единицу толщины потока в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка) пропорциональна а соответствующее сопротивление (также на единицу толщины потока в том же направлении) пропорционально Следовательно, как и в предыдущем случае,

Если струя не выбрасывается, а, наоборот, всасывается из пространства, в котором жидкость неподвижна, то вместо потери количества движения будет иметь место равное по величине приращение количества движения. Практически важно знать наклон края невозмущенной части струи к границе возмущенной области; его можно принять равным

При движении жидкости вдоль стенки длина пути перемешивания при приближении к стенке должна стремиться к нулю; это следует непосредственно из самого определения понятия длины пути перемешивания. Отсюда вытекает, что величина внутри потока очень мала, но вблизи стенки принимает большие значения. На рис. 98 показано распределение скоростей при турбулентном течении, а на рис. 99 — для сравнения — при ламинарном течении.

Рис. 98. Распределение скоростей по поперечному сечению трубы при турбулентном течении

Рис. 99. Распределение скоростей по поперечному сечению трубы при ламинарном течении

Ближайший к стенке слой жидкости прилипает к ней также при турбулентном течении; поэтому вблизи нее сначала образуется тонкий слой, в котором жидкость движется ламинарно, причем так, что при гладких стенках имеет место равенство

где есть касательное напряжение на стенке. При более высоких числах Рейнольдса, когда внутри жидкости происходит интенсивное перемешивание, касательное напряжение получается весьма большим, вследствие чего возрастание величины происходит необычайно быстро и, следовательно, ламинарный пограничный слой получается очень тонким. Поэтому при наблюдении турбулентных течений на первый взгляд кажется, что конечная скорость течения имеет место уже на самой стенке.

Для теоретического исследования соотношений, существующих при турбулентном движении вдоль стенки, проще всего принять, что во всем потоке касательное напряжение имеет постоянное значение.

Если оно положительно, то положительна также величина поэтому в формуле (22) можно отбросить черточки, обозначающие абсолютное значение. Тогда полное касательное напряжение, получающееся от сложения среднего вязкого напряжения и дополнительного касательного напряжения, возникающего вследствие турбулентности, будет равно

Первый член играет роль только на очень малых расстояниях от стенки, на более же далеких расстояниях преобладающую роль играет второй член. Однако при сколько-нибудь значительных числах Рейнольдса второй член во много раз больше первого также вблизи стенки; в этом случае, как уже упоминалось, первым членом можно пренебречь. Отбрасывая его и извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (24), мы получим:

Из структуры правой части этого уравнения сразу видно, что величина имеет размерность скорости. Поэтому для сокращения записи

будем обозначать ее одной буквой и называть динамической скоростью. Согласно сказанному в § 4, динамическая скорость имеет порядок величины турбулентных пульсаций (точнее, ). При сделанном выше предположении о постоянстве величина также является постоянной.

Пусть рассматриваемый поток ограничен двумя гладкими стенками, из которых одна совпадает с плоскостью и безгранично простирается в обе стороны оси х, а вторая находится на таком расстоянии от первой, что совершенно не влияет на состояние течения вблизи нее, следовательно, вторую стенку можно считать удаленной от первой на бесконечное расстояние. Тогда скорость будет зависеть только от у, поэтому вместо можно писать кроме того, мы не будем ставить черты над и, так как в дальнейшем о пульсациях не будет речи.

Теперь нам необходимо сделать правильное, с точки зрения размерности, предположение о зависимости длины пути перемешивания I от факторов, определяющих поток. Допустим, что вязкость не оказывает никакого влияния на величину I (это подтверждается результатами наблюдений); тогда единственной правильной, с точки зрения теории размерностей, формулой для I будет

где х есть безразмерное число. Для рассматриваемой задачи о турбулентном движении это число является существенной (универсальной) постоянной. Подставляя в уравнение (25), мы получим:

откуда, принимая во внимание, что и интегрируя, найдем:

При больших числах Рейнольдса такой закон изменения скорости хорошо согласуется с наблюдениями, которые для числа х дают значение 0,417. Правда, при формула (26) дает для и значение — вместо действительного значения 0, однако это вполне понятно, так как в наших приближенных вычислениях мы пренебрегли членом в уравнении (24), в то время как именно этот член играет преобладающую роль вблизи стенок. Если бы мы сохранили в наших вычислениях

этот член, то, составляя выражение для длины пути перемешивания I, мы должны были бы включить в нее еще второе слагаемое — длину

Постоянную интегрирования С удобнее заменить другой постоянной, учтя при этом то обстоятельство, что в непосредственной близости от стенок играет роль вязкость. Очевидно, что выражение в скобках в правой части формулы (26) должно быть безразмерным числом, и это число не должно зависеть от применяемой системы единиц. Для того чтобы придать этому выражению безразмерный вид, необходимо вычесть из логарифм упомянутой выше длины следовательно, необходимо принять, что

Тогда число будет второй универсальной постоянной. Подставляя найденное значение С в формулу (26), мы получим:

Так как скорость быстрее всего изменяется в непосредственной близости от стенок, то, подставляя в формулу (27)

мы сделаем ее пригодной для приближенных вычислении также в тех случаях, например, при движении в трубах, когда касательное напряжение изменяется вместе с расстоянием у от стенки. Как показывают измерения, получающиеся результаты довольно хорошо совпадают с действительными значениями скорости.

Если в этих случаях откладывать измеренные значения как ординаты, а значения как абсциссы, то все полученные точки расположатся вдоль или вблизи некоторой прямой. Составляя уравнение этой прямой, можно определить значения Никурадзе, обработав таким путем свои измерения, выполненные в прямых трубах

с гладкими стенками, получил для значения:

Следовательно, если перейти от натурального логарифма к десятичному то получится следующая практическая формула:

Если использовать результаты измерений только для точек, близких к стенкам, то это даст приближенную формулу для идеального случая, когда В этом случае измерения дают для х, как уже упоминалось выше, значение 0,417, а для значение 5,84, и практическая формула для вычисления скорости и принимает вид:

с) При небольших значениях отношения длины у к длине влияние вязкости на распределение скоростей проявляется, во-первых, непосредственно, поскольку она входит в первое слагаемое уравнения (24), а во-вторых, косвенно, поскольку длина пути перемешивания I зависит от вязкости. Так как при допущении, что единственными безразмерными комбинациями всех остальных величин, от которых зависит распределение скоростей, являются и то очевидно, что совместное влияние обоих указанных обстоятельств должно выражаться в том, что при отношение есть универсальная функция от Оказывается, что именно такая зависимость между и существует в действительности. В непосредственной близости от стенки образуется, как уже упоминалось, ламинарный пограничный слой, в котором

Так как то отсюда следует, что

Для турбулентной области, соответствующей значениям равным приблизительно от 40 до 600, получается степенная зависимость

Следовательно, скорость и пропорциональна корню седьмой степени из у, что для движения в трубах хорошо подтверждается примерно до чисел Рейнольдса При больших числах Рейнольдса скорость и приближенно пропорциональна сначала корню 8, а затем корням 9 и 10-й степени из Однако следует иметь в виду, что эти зависимости являются лишь приближенными выражениями более точной зависимости (29).

Рис. 100. Универсальный закон распределения скоростей

Результат экспериментального определения универсального распределения скоростей для изображен на рис. 100. Числа, отмеченные вдоль оси абсцисс, относятся только к кривой 1; для кривых 2 и 3 эти числа следует умножить соответственно на 10 и 100. Кривые 2 и 3 можно рассматривать также как такие распределения скоростей, которые соответствуют вязкости, в 10 и 100 раз меньшей, чем для кривой 1, но при условии одинакового касательного напряжения на стенке. Если на оси абсцисс откладывать вместо значений их логарифмы, то универсальное распределение скоростей для области, охваченной экспериментом, примет вид, изображенный сплошной кривой на рис. 101. Мы видим, что, начиная примерно эта кривая превращается в прямую линию, которую можно

Рис. 101. Универсальный закон распределения скоростей при логарифмическом масштабе вдоль оси х

экстраполировать до сколь угодно больших значений Штриховая кривая 1 на рис. 101 изображает закон ламинарного движения

кривая 2 — закон движения согласно уравнению (29), а кривые 3 и 4 — законы движения согласно уравнениям (28) и (30).

Заметим, что уравнения (28), (29) и (30) можно решить относительно и таким путем определить для заданных значений касательное напряжение на стенке. Например, из уравнения (30) мы получим:

К такому же соотношению приводит эмпирический закон, найденный Блазиусом для потери давления в гладких трубах [см. уравнение (66) в § 11].

Исторически уравнения были получены в иной последовательности, чем это сделали мы, из методических соображений, в приведенном

выше изложении. Прежде всего был найден закон Блазиуса, из которого было выведено уравнение (31). Из этого уравнения для было получено соотношение, согласно которому и пропорционально Следующим шагом, который привел к нашему уравнению (27), было исследование Кармана. В этом исследовании Карман, исходя из соображений о подобии, постулирует, что в потоках с числом Рейнольдса, настолько большим, что можно пренебрегать влиянием вязкости, процессы турбулентного перемешивания происходят везде так, что отличаются друг от друга только масштабом длины и масштабом времени (при таком допущении масштаб длины идентичен, с точностью до некоторого множителя, нашей длине пути перемешивания, а масштаб времени — пропорционален величине Затем из уравнений Эйлера Карман выводит соотношение

которое позволяет ему решить численно ряд задач. Для случая рассмотренного выше в пункте по Карману

следовательно,

т. е. соотношение Кармана совпадает с нашим соотношением .

d) Соображения, которые привели нас к уравнению (26), применимы также к турбулентным потокам вдоль шероховатой стенки, причем получается только другое значение для постоянной интегрирования С. В этом случае к тем длинам, с которыми мы имели дело выше, присоединяется еще одна длина — средняя высота к бугорков шероховатости, так называемая абсолютная шероховатость, и поэтому возникает вопрос, какую роль играет по сравнению с этой длиной длина Очевидно, что сравнительная роль этих длин определяется отношением

которое можно рассматривать как число Рейнольдса для отдельного бугорка шероховатости. Если отношение достаточно велико, то тогда влияние длины незначительно по сравнению с влиянием длины к, и таким же путем, как в пункте Ь) при выводе уравнения (27), мы получим, что

следовательно,

или, заменяя натуральный логарифм десятичным,

При небольших значениях отношения величина является уже не постоянной, а функцией от которая для очень малых значений принимает вид:

в связи с чем уравнение (32) переходит в уравнение (27). Это означает, что трубы с слабой шероховатостью можно рассматривать как гидравлически гладкие.

Эти соотношения хорошо подтверждаются измерениями Никурадзе, произведенными над движением в трубах, стенки которых были оклеены песчинками различного диаметра. Для значений трубы вели себя как практически гладкие; для значений кинематическая вязкость не оказывала никакого влияния, следовательно, соблюдалось уравнение (32). Песок, применявшийся для склеивания стенок труб, просеивался через два сита с разной шириной отверстия. Принимая величину к равной ширине отверстий более грубого сита, Никурадзе получил для постоянной значение 8, 5. Из уравнения (32) следует, что для заданного значения — динамическая скорость пропорциональна и, следовательно, пропорционально (см. также § 11).

При шероховатости, встречающейся в обычных технических условиях, в отличие от шероховатости, созданной специально для лабораторных исследований, отдельные бугорки имеют очень различную высоту; кроме того,

форма этих бугорков очень различная, и поэтому обычно невозможно указать для абсолютной шероховатости к достаточно надежное значение. В таком случае можно путем измерения определить постоянную С в уравнении (26) и затем из соотношения

вычислить шероховатость эквивалентного песка. Опыты Пешке показали, что для естественного ветра над местностью, поросшей растительностью, имеющей высоту к, шероховатость эквивалентного песка равна Это означает, что если под к понимать высоту растительного покрова, то в уравнении (32) постоянную надо уменьшить приблизительно до значения 5,0.

В технических условиях шероховатость стенок, как уже было сказано, состоит обычно из бугорков очень различной высоты и формы. Вследствие этого предельное значение при котором такие стенки ведут себя как гидравлически гладкие, ниже, чем для стенок с равномерной шероховатостью; наоборот, предельное значение при котором исчезает влияние вязкости, выше, чем при равномерной шероховатости.

Некоторое сходство с шероховатостью стенок имеет так называемая волнистость, состоящая из отдельных пологих возвышений на поверхности стенок. Такие волнистые возвышения не вызывают отрыва потока от них (см. следующие параграфы), но, несмотря на это, все же значительно повышают сопротивление. Закономерности, имеющие место для течений вдоль волнистых стенок, сходны с закономерностями для течений вдоль гладких стенок; в частности, при умеренных числах Рейнольдса касательное напряжение вычисляется по формуле, аналогичной формуле (31), но с несколько большим численным коэффициентом.

е) Опыты показали, что в пограничном слое, образующемсяоколо пластинки, поставленной параллельно направлению потока (см. рис. 93), движение при достаточно больших числах Рейнольдса делается турбулентным. Для оценки толщины пограничного слоя можно

воспользоваться, как и при ламинарном пограничном слое, теоремой о количестве движения, но при этом следует исходить из закона турбулентного трения, выраженного уравнением (31). Соответствующие вычисления показывают, что толщина пограничного слоя пропорциональна

где х есть расстояние от переднего края пластинки, а сопротивление пропорционально

Последнее соотношение, как и исходное уравнение (31), применимо только для ограниченной области чисел Рейнольдса; при больших числах Рейнольдса оно должно быть заменено другими соотношениями (см. § 15). Если на передней части пластинки течение остается ламинарным, что имеет место при заостренном крае пластинки, то сопротивление получается несколько меньше, чем по указанной выше формуле, притом тем меньше, чем больше та часть пластинки, на которой течение остается ламинарным.

При входе в трубу потока жидкости с большим числом Рейнольдса возникают явления, сходные с теми, которые происходят при обтекании пластинки, установленной параллельно направлению потока. Если поток жидкости, втекающий в трубу, более или менее свободен от возмущений, то длина I отрезка трубы, на котором течение остается еще ламинарным, определяется из соотношения

или, в иной записи:

f) Рассмотрим поток, движение которого происходит в основном в горизонтальном направлении, и пусть в этом потоке плотность среды сильно уменьшается снизу вверх. Такое уменьшение плотности имеет место, например, в потоке воздуха, температура которого кверху увеличивается, или в потоке, образованном из слоя раствора сахара над слоем раствора соли. В потоке с таким распределением плотности турбулентное перемешивание приводит к тому, что более тяжелые

части жидкости поднимаются вверх, а более легкие, наоборот, опускаются вниз, следовательно, совершается определенная работа против силы тяжести. Очевидно, что эта работа производится за счет той части энергии главного движения, которая расходуется на поддержание турбулентности. Следствием этого является ослабление турбулентности потока, иногда даже полное ее затухание. В атмосфере рассмотренное распределение плотности наблюдается по вечерам, когда поверхность земли охлаждается быстрее воздуха. Поэтому, если днем был ветер, то к вечеру его турбулентность вследствие указанной выше причины ослабляется, в результате чего вблизи поверхности земли он почти затихает, оставаясь в то же время неизменным на высоте. Наоборот, нагревание почвы в дневное время, приводящее к противоположному распределению плотности, усиливает турбулентность.

Аналогичным образом центробежные силы, возникающие при движении жидкости по криволинейным траекториям, ослабляют турбулентность, если скорость от центра кривизны наружу увеличивается, и, наоборот, усиливают турбулентность, если скорость от центра кривизны наружу уменьшается. В таких потоках центробежные силы, разные по своей величине в разных точках потока, играют такую же роль, как разные по величине силы тяжести в потоках с неодинаковым распределением плотности.

Если жидкость находится между двумя коаксиальными цилиндрами, из которых наружный вращается, а внутренний неподвижен, то, согласно Куэтту, переход ламинарного течения в турбулентное происходит при такой критической окружной скорости и внешнего цилиндра, для которой число Рейнольдса при условии, что расстояние между стенками цилиндров мало по сравнению с случае более широкой щели между цилиндрами, начинает проявлять свое действие упомянутая выше стабилизация, и величина критической скорости сильно возрастает. Наоборот, если внутренний цилиндр вращается, а внешний неподвижен, то течение делается неустойчивым еще в стадии ламинарного движения; регулярно возникают вихри с осями, параллельными окружной скорости, вращающиеся попеременно вправо

и влево. Тэйлор теоретически определил условие возникновения этой неустойчивости; оно имеет следующий вид:

где есть среднее значение обоих радиусов Опыты подтвердили правильность этого условия.

На рис. 102 изображены полученные Вендтом профили скоростей турбулентного течения между стенками одного вращающегося и одного неподвижного цилиндра. Если вращается внешний цилиндр, то перенос количеств движения получается слабым; наоборот, этот перенос получается сильным, если вращается внутренний цилиндр.

Рис. 102. Распределение скоростей при турбулентном течении между стенками цилиндров, из которых один вращается, а другой неподвижен

В турбулентных пограничных слоях вдоль изогнутых стенок такого рода стабилизация и потеря устойчивости наблюдаются даже при сравнительно малой изогнутости стенок. На выпуклых стенках возникает ослабление, а на вогнутых, наоборот, усиление турбулентного перемешивания. В последнем случае еще при ламинарном течении могут возникать вихри, аналогичные описанным выше вихрям, возникающим между цилиндрами. Согласно вычислениям Гертлера, условие устойчивости имеет вид:

где есть толщина пограничного слоя.

g) В последнее время много внимания уделяется турбулентности в аэродинамических трубах, описание которых будет Дано ниже, в § 22 гл. III. Так как назначение аэродинамических труб состоит в том, чтобы воспроизводить условия равномерного движения тела в покоящемся воздухе, то турбулентность в них нежелательна. Однако полностью

избежать ее невозможно. Даже после того как поток воздуха в аэродинамической трубе проходит через выпрямляющую решетку, некоторая степень турбулентности в нем остается. Это вызывает турбулизацию пограничного слоя около обдуваемого тела, а вместе с тем и отрыв потока от тела (см. § 6 и 7).

Раньше мерой турбулентности потока воздуха в аэродинамической трубе служила степень падения сопротивления шара вследствие турбулизации пограничного слоя (см. § 15). Теперь разработаны более совершенные и надежные методы оценки турбулентности, основанные на численном измерении пульсации скорости при помощи термоанемометров (см. § 22, п. Ь). Эти измерения показали, что турбулентность в аэродинамической трубе, а также турбулентность, возникающая в открытом пространстве после прохождения потока через проволочную решетку, обладает на достаточно большом расстоянии от турбулизирующего объекта особенно простым свойством: она изотропна. Это означает, что пульсации скорости здесь одинаковы по величине по всем направлениям. Следовательно, изотропная турбулентность является простейшим случаем турбулентности, наиболее доступным для теоретического исследования статистическими методами.

Простейшей статистической величиной является средняя энергия пульсации, равная

Драйден установил, что в случае прохождения воздуха со скоростью через решетку с шириной отверстия эта средняя энергия равна

где t есть время, прошедшее после прохождения потока через решетку, а

т. е. представляет собой некоторый постоянный промежуток времени. Безразмерное «число» в последнем равенстве зависит от отношения где есть толщина проволоки.

Представление о пространственном распределении пульсации дает изучение корреляции между скоростями в соседних точках потока. При изотропной турбулентности существуют только две коррелятивные связи с не равными нулю коэффициентами, причем оба эти коэффициента являются функциями одного только расстояния Первая из этих связей с коэффициентом корреляции имеет место между составляющими скоростей в точках параллельными отрезку а вторая — с коэффициентом корреляции между составляющими скоростей в точках перпендикулярными к отрезку и параллельными между собой. Как показал Карман, между существует, вследствие неразрывности потока, соотношение

Зависимость коэффициентов корреляции от полученная как среднее ряда различных измерений, показана на рис. 103.

Имея зависимость от можно найти две характерные длины, из которых одна, равная

является мерой величины массы, движущейся как единое целое, следовательно, внутренне связана с длиной пути перемешивания. Вторая длина, обозначаемая по Тэйлору через А, характеризует размер наименьшего вихря, который содержится в турбулентном потоке и в котором энергия турбулентного движения преобразуется («диссипируется») в теплоту. В выражение для диссипации входят квадраты и произведения производных от и т. д. по По Тэйлору среднее значение диссипации равно

Рис. 103. Зависимость коэффициентов корреляции от

причем

Далее, Тэйлор получает:

или, если подставить вместо его приведенное выше значение и положить число

что и следовало ожидать на основании соображений о размерностях или на основании формулы (13) в § 3. Возрастание длины А удалось подтвердить кинематографической съемкой.

Формулы, выведенные в § 4, не применимы к изотропной, затухающей с течением времени, турбулентности, так как при такой турбулентности но тем не менее не равны нулю. Попытка вывода формул, аналогичных формулам § 4 и пригодных для изотропной турбулентности, была сделана Прандтлем.