§ 4. Теорема об энергии для сжимаемых потоков при наличии сопротивлений.

При движении газов сопротивление оказывает двоякое действие: во-первых, оно механически тормозит поток, а во-вторых, механическая энергия, затраченная на его преодоление, частично возвращается в поток в виде тепловой энергии. Таким образом, в потоках сжимаемой жидкости, в противоположность потокам несжимаемой жидкости, имеется возможность часть энергии, затраченной на преодоление сопротивления, вновь использовать при дальнейшем расширении.

Выделим в установившемся потоке газа некоторую область и вычислим изменение энергии массы газа, заключенной в этой области. Удобнее всего за такую область взять отрезок трубки тока (см. рис. 73 на стр. 114). Так как мы рассматриваем установившееся движение, то изменение состояния выделенной массы газа в течение промежутка времени заключается только в том, что через сечение А из трубки тока выходит элемент массы

а через сечение В входит элемент массы

причем вследствие неразрывности течения

При таком изменении содержимого трубки тока энергия струйки газа может измениться, очевидно, только на величину, равную притоку энергии извне за тот же промежуток времени Энергия элемента массы складывается из кинетической, потенциальной и тепловой энергии; последняя называется также внутренней энергией. Ее величину в единице массы обозначим через и, причем будем измерять ее не в единицах тепла, а в единицах работы, т.е. так же, как механическую энергию. Таким образом, если принять, что потенциальная энергия обусловливается исключительно полем тяготения, содержание энергии в массе будет равно

Приток энергии к массе, заключенной в выделенном отрезке трубки тока, складывается из работы сил давления на концевых поверхностях трубки и из возможного поступления тепла через боковую поверхность. Учитывать особо работу сил трения не следует, так как она сводится к преобразованию механической работы в тепловую энергию, следовательно, не влечет за собой изменения содержания энергии в выделенной области. Работа сил давления, действующих на площадь равна силе, умноженной на путь, т.е. равна

или, если ввести массу определяемую формулой (15),

где есть удельный объем газа. Аналогичным образом, для работы сил давления, действующих на площадь мы получим величину

Возможный приток тепла в трубку тока между сечениями обозначим через где есть количество тепла, полученное каждой единицей массы в трубке тока между и измеренное в единицах механической работы.

Таким образом, сформулированное выше предложение о балансе энергии в выделенной части трубки тока мы можем записать следующим образом:

откуда

Так как концевое сечение В трубки тока можно произвольна перемещать, то предыдущее уравнение можно переписать в виде:

Это уравнение применяется также в дифференциальной форме:

Величина очень часто встречается в термодинамике. Она называется теплосодержанием, или энтальпией и обычно обозначается одной буквой

Для идеальных газов имеют место формулы:

где суть удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, абсолютная температура, причем должны быть взяты в единицах работы, т. е. их обычные значения должны быть разделены на тепловой эквивалент работы.

Уравнение энергии (17) можно дополнить уравнением, вытекающим из первого принципа термодинамики. В применении к нашему случаю из этого принципа следует, что теплота, полученная любым элементом массы газа извне, вместе с теплотой, возникшей вследствие работы сил трения, увеличивают внутреннюю энергию элемента газа и кроме того, совершают работу расширения. Обозначив работу

сил трения, отнесенную к единице массы элемента газа в струйке газа, через мы можем, на основании только что сказанного, написать:

Сложив это уравнение с уравнением (18) и имея в виду, что

мы найдем:

Отсюда после интегрирования мы получим уравнение:

которое есть не что иное, как уравнение Бернулли, дополненное членом учитывающим отнесенную к единице массы работу сил трения на пути от начального поперечного сечения струйки газа до конечного сечения. Таким образом, мы получили уравнение Бернулли для потоков с наличием сопротивлений. Величину можно назвать высотой трения. В таком случае из уравнения (23) следует, что сумма высот: скоростной, геометрической, пьезометрической и трения - остается вдоль струйки газа постоянной (ср. § 4 гл. II).