§ 9. Дозвуковые потоки.

Прежде всего выведем некоторые общие соотношения для установившегося потенциального потока, скорость которого по величине и направлению мало отклоняется от заданной скорости Последнюю скорость примем большой, но при этом сначала оставим открытым вопрос, является ли эта скорость меньше или больше скорости звука. Далее, для простоты вычислений примем,

что рассматриваемый поток — плоский (двухмерный). Составляющие небольших отклонений скорости потока от скорости обозначим через Во всех вычислениях будем сохранять только величины первого порядка малости.

Обобщенное уравнение Бернулли (7) для нашего потока принимает

или, в дифференциальной форме,

Имея в виду, что на основании равенства (3)

мы можем переписать уравнение (31) в следующем виде:

Условие неразрывности выражается уравнением

(ср. с выводом для несжимаемой жидкости на стр. 54). Обозначая среднее значение плотности через и сохраняя только члены первого порядка малости, мы получим из уравнения (33):

Подставляя сюда значение из уравнения (32), в котором также следует заменить на сокращая на мы получим:

Обозначим потенциал скоростей через тогда будет

и уравнение (34) примет вид:

Это дифференциальное уравнение ясно показывает разницу между дозвуковыми и сверхзвуковыми потоками. Когда скорость и переходит через значение, равное скорости звука, коэффициент при делается равным нулю. Пока этот коэффициент положителен, дифференциальное уравнение (35) имеет такой же вид, как и соответствующее уравнение потенциального течения несжимаемой жидкости, и называется уравнением эллиптического типа; если же коэффициент при отрицателен, уравнение (35) имеет такой же вид, как уравнение для колебаний струны, и называется уравнением гиперболического типа. При т. е. при скорости течения, равной скорости звука, мы имеем:

и величина

может принимать произвольные значения; это означает, что в этом случае могут существовать установившиеся волны с фронтом, параллельным оси у.

Для скоростей каждая функция от непрерывная и дважды дифференцируемая, а в остальном произвольная, является решением уравнения (35), если только подходящим образом определить величину а. В самом деле, мы имеем:

следовательно, для того чтобы удовлетворить уравнению (35), необходимо принять, что

Отсюда находим:

и

Таким образом, решением уравнения (35) для случая, когда являются волны произвольной формы, прямолинейные фронты которых наклонены к оси х, имеющей среднее направление линий тока, на угол Маха влево или вправо. Следовательно, мы получили тот же результат, к которому пришли в § 2 упрощенным способом.

В случае, когда скорость течения меньше скорости звука с, для решения уравнения (35) применим следующий прием. Сравним рассматриваемый дозвуковой поток сжимаемого газа с потоком несжимаемой жидкости с той же плотностью и той же заданной скоростью Координаты точек несжимаемого потока будем обозначать через составляющие возмущенной скорости, дало отличающейся от через и соответствующий потенциал скоростей — через Согласно сказанному в § 10 гл. II этот потенциал должен удовлетворять дифференциальному уравнению

Предположим далее, что потенциалы скоростей обоих потоков — сжимаемого и несжимаемого — связаны между собой соотношением

Для того чтобы функция удовлетворяла уравнению (35) и одновременно функция уравнению (36), масштабы для перехода, с одной стороны, от координаты х к координате X, а с другой стороны, от координаты у к координате должны быть разными. Полагая

мы можем путем соответствующего выбора множителя осуществить связь (37) между потенциалами и Для упрощения расчетов произвольно примем, что тогда мы будем иметь:

Пользуясь соотношениями (37) и (38), мы можем переписать уравнение (35) в следующем виде:

Это уравнение тождественно совпадает с уравнением (36), если принять, что

Величина остается при этом пока произвольной. Безразмерная величина называется числом Маха и обозначается буквой Применяя это обозначение, мы можем написать:

Так как (3 всегда меньше единицы, то из соотношения (38) следует, что поперечное протяжение поля скоростей и поля давлений у сжимаемого потока больше, чем у несжимаемого потока При приближении к скорости звука величина (3 стремится к нулю, а поперечное расстояние, на которое распространяются возмущения течения, неограниченно возрастает.

Угол 6, образуемый какой-нибудь линией тока с осью х, определяется из соотношения

которое мы можем заменить следующим приближенным равенством:

Аналогичным образом мы можем написать и для несжимаемого потока:

Если оба потока вызваны присутствием в несжимаемой жидкости и сжимаемом газе одного и того же тела с заостренными концами (рис. 242), то на линии тока, ограничивающей тело, должно соблюдаться условие

или

Вследствие соотношений (37) и (38) это условие принимает вид:

откуда следует, что

Рис. 242. Обтекание тела с заостренными концами

Для того чтобы сравнить распределения давления в обоих потоках, достаточно рассмотреть градиенты давления в направлении оси х. Так как масштаб для координат в направлении х в обоих случаях одинаковый, то конечные разности давлений в обоих потоках относится друг к другу как указанные градиенты. В сжимаемом потоке главный член градиента давления вдоль оси х равен

а в несжимаемом потоке

Отношение этих градиентов равно

Отсюда следует, что при обтекании одного и того же заостренного тела сжимаемым и несжимаемым потоком разности давлении в сжимаемом потоке в первом приближении в раз больше, чем в несжимаемом потоке. Это так называемое правило Прандтля применимо, как подтверждают опыты, также к тонким крыльям, установленным на

небольших углах атаки, правда, при условии, что нигде около крыла не достигается скорость звука (см. ниже); в таком случае подъемная сила возрастает вследствие сжимаемости также в раз.

Вопрос об определении величины в уравнении (37) может быть поставлен также следующим образом: какую форму должно иметь тело, чтобы разности давлений в обтекающем его сжимаемом потоке были такие же, как и в несжимаемом потоке. Такая постановка вопроса важна, очевидно, в том случае, когда распределение давления вдоль обтекаемого тела в несжимаемом потоке близко предельному состоянию, после перехода через которое возникает, вследствие влияния трения, отрыв потока от тела. Очевидно, что в этом случае величина должна быть выбрана равной единице. Но тогда

т. е. для того чтобы при обтекании тела сжимаемым потоком не произошло отрыва потока от тела, последнее должно быть тем тоньше, чем ближе скорость потока к скорости звука. Этот вывод также хорошо согласуется с результатами опытов.

Следующая задача, являющаяся хорошей иллюстрацией изложенной теории, может быть решена при помощи простых вычислений. Поток движется со средней скоростью вдоль волнистой стенки, контур которой имеет уравнение

Требуется определить, как распространяются в потоке возмущения, вызванные стенкой.

Из уравнения

находим, что скорость вблизи стенки, где будет:

Потенциал скоростей для несжимаемого потока равен

а для сжимаемого потока —

Рис. 243. Дозвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения

Рис. 244. Дозвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения и с

Рис. 245. Сверхзвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения

Условие, что при скорость должна иметь значение (42), приводит к уравнению:

откуда находим:

что согласуется с изложенным выше. На рис. 243 изображены линии тока несжимаемого потока; мы видим, что влияние волнистой стенки сказывается только на близких расстояниях от нее. На рис. 244 изображены линии тока для потока, скорость которого близка к скорости звука. Наконец, на рис. 245 изображен поток со сверхзвуковой скоростью, равной Для сверхзвукового потока потенциал скоростей равен

Приведенная выше приближенная теория дозвуковых потоков была изложена для облегчения понимания только для плоских потоков. Однако она полностью применима и для трехмерных потоков. В этом случае оба протяжения занимаемого потоком пространства, перпендикулярные к направлению скорости должны быть растянуты при переходе от несжимаемого потока к сжимаемому совершенно так же, как было сделано выше для протяжения в направлении оси у.

Основная суть изложенной теории заключается в том, что при ее построении отклонения действительной скорости течения от заданной невозмущенной скорости предполагаются настолько малыми, что в дальнейших вычислениях можно пренебрегать вторыми и более высокими степенями указанных отклонений. Именно благодаря этому решение задачи свелось к линейному дифференциальному уравнению (35)

вместо точного, нелинейного уравнения. Однако при больших числах Маха действительная скорость потока вблизи обтекаемого тонкого тела может сделаться очень близкой к скорости звука. В этом случае расчеты по изложенной теории, называемой линеаризованной, недостаточны. Можно значительно уточнить расчет поля давлений, если вести вычисления с числом Маха, взятым не по основной, невозмущенной скорости, а по местной скорости; это приводит к тому, что в рассматриваемом месте звуковая скорость возникает уже при меньшей скорости , чем можно было бы ожидать на основании приближенной теории. Нелинеаризованная теория, в которой сохраняются члены более высокого порядка малости, дает более точные результаты.

Явления, возникающие в потоках при скоростях, очень близких к скорости звука, до сих пор полностью еще не ясны. Методы, разработанные для исследования дозвуковых потоков, не могут быть применены для исследования сверхзвуковых потоков и, наоборот, методы, пригодные для исследования сверхзвуковых потоков, неприменимы для дозвуковых потоков. Поэтому ни те, ни другие методы не могут дать результатов при изучении потоков, в которых совершается переход скорости через значение, равное скорости звука. Однако известны примеры таких потоков, и эти примеры показывают, что в ограниченном пространстве возможен непрерывный переход от дозвуковой к сверхзвуковой скорости без наличия особых точек, правда, не при любом заданном контуре (хотя бы и непрерывном), ограничивающем поток. Это связано, очевидно, с явлением, изображенным на рис. 232. Наблюдения показывают, что переход от дозвуковой к сверхзвуковой скорости совершается всегда непрерывно, обратный же переход легко приводит к скачкам уплотнения, вызывающим отрыв потока, который, в свою очередь, еще более усиливает скачок уплотнения. Это явление и служит причиной очень сильного ухудшения полетных свойств тех профилей, у которых на подсасывающей стороне в отдельных местах возникают сверхзвуковые скорости. На рис. 246 и 247 изображены фотографии

Рис. 246. Возникновение местных сверхзвуковых скоростей при обтекании профиля (поток получен при давлении в напорной камере, равном

Рис. 247. Возникновение местных сверхзвуковых скоростей при обтекании профиля (поток получен при давлении в напорной камере, равном

обтекания таких профилей. Область сверхзвукового течения получилась видимой потому, что на поверхности моделей были процарапаны небольшие бороздки, каждая из которых привела к возникновению линий разрежения. Скорость обтекания больше скорости звука всюду, где линии разрежения наклонены относительно линий тока. Там же, где линии разрежения перпендикулярны к линиям тока, скорость обтекания уже меньше скорости звука. В этой области возмущения давления по мере удаления от поверхности профиля постепенно затухают. На обоих рисунках видно, что сверхзвуковая область заканчивается скачком уплотнения. Кривые изменения давления при такого рода переходах через скорость звука изображены на рис. 248.

Вид этих кривых объясняет упомянутое выше резкое ухудшение полетных свойств профиля, когда скорость обтекания на некоторой части подсасывающей стороны становится больше скорости звука. Вследствие возникновения сильных скачков уплотнения лобовое сопротивление крыла возрастает настолько, что при числах Маха, близких к единице, становится невозможным. При скоростях, близких к скорости звука, лобовое сопротивление тем меньше, чем меньше кривизна профиля. Следовательно, и с этой точки зрения профиль (6) на рис. 156 (стр. 269) лучше в отношении быстроходности, чем профиль

Явления, возникающие при обтекании выпуклых поверхностей в тех случаях, когда скорость обтекания переходит через значение скорости звука, объясняют также характер изменения коэффициентов сопротивления шаров и цилиндров (см. стр. 260). При увеличении числа Маха критическое число Рейнольдса возрастает втрое; приблизительно при влияние числа

Рис. 248. Изменение распределения давления вдоль поверхности крыла при увеличении числа Маха

Рейнольдса на коэффициент сопротивления исчезает почти полностью; при сопротивления делается практически постоянным (и 0,65). Новые тщательные измерения произведены А. Ферри.