§ 15. Волны на свободной поверхности жидкости.

Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. В большинстве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению Наблюдения показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, приближенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движущейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением (рис. 80). Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен а период обращения этой частицы по своей траектории равен Тогда в указанной системе отсчета скорость течения на гребнях волн будет равна

а во впадинах волн

Так как разность высот между наивысшим и наинизшим положениями точек свободной поверхности равна то, применяя уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим:

или, после подстановки вместо и их значений,

откуда следует, что

Радиус в эту формулу не входит, следовательно, скорость распространения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время на расстояние называемое длиной волны, следовательно,

Исключая из равенств (60) и (61) период мы получим:

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них. Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только скорости на свободной поверхности.

Рис. 81. Линии тока волнового движения

Точная теория показывает, что формула (62) справедлива только для низких волн, причем независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое дает формула (62). Кроме того, при высоких волнах траектории частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперед на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 81). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперед.

Для волн с небольшой длиной важным фактором является, кроме силы тяжести, также поверхностное натяжение. Оно стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в этом случае скорость распространения волн равна

где С есть капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под знаком корня, а для коротких волн, наоборот, второй член. Для длины волны

скорость распространения с имеет минимальное значение, равное

Для воды дин/см, следовательно,

Волны, длина которых больше называются гравитационными, а волны, длина которых меньше капиллярными.

От скорости перемещения гребней волн, называемой фазовой скоростью (выше мы ее называли скоростью распространения волн и обозначали через с), следует отличать скорость распространения группы

волн, называемую групповой скоростью и обозначаемую через с. Проще всего разъяснить смысл этого понятия на примере движения, возникающего в результате наложения двух волн, имеющих равные амплитуды, но немного отличающихся своей длиной. Пусть мы имеем синусоидальную волну

где А есть амплитуда, время, а некоторые коэффициенты. При увеличении на у или на у синус принимает прежнее значение, следовательно, величина

есть длина волны, а величина

есть период колебаний. Если

т. е. если

то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината у. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью

Наложим на эту волну вторую волну

т. е. волну с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями Результирующим движением будет

В тех точках оси х, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний

противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. Применив известную формулу

мы получим:

В этом равенстве член

представляет собой волну, для которой коэффициенты при равны средним значениям от и соответственно от Множитель же

который при малых значениях разностей изменяется медленно, можно рассматривать как переменную амплитуду (рис. 82).

Рис. 82. Биение

Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки, называемая групповой скоростью с, на основании соображений, аналогичных предыдущим, равна

Для длинных групп, т.е. для медленных биений, с достаточной точностью можно принять, что

Для волн, возникающих под действием силы тяжести, из формулы (60) мы имеем:

Но, согласно равенству (65),

следовательно,

С другой стороны, подставив в формулу (62) значение из равенства (64), мы получим:

поэтому

Отсюда, диференцируя по и имея в виду равенство (67), мы найдем:

Таким образом, группы волн распространяются со скоростью с, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы все время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.

Все сказанное относится не только к волнам на поверхности воды, но и к любым другим волнам, фазовая скорость которых зависит от длины волны.

Другим видом групп волн являются волны, возникающие на поверхности воды при движении корабля. Картину волн, очень похожую на корабельные волны, легко получить, если на поверхности покоящейся глубокой воды заставить двигаться с постоянной скоростью точечный очаг возмущения давления. Возникающее при этом движение может быть исследовано математически. Согласно вычислениям В. Томсона (lord Kelvin), Экмана (Ekman) и других, получается система волн, изображенная на рис. 83, на котором наклонными линиями обозначены гребни волн. Эта система волн перемещается вместе с очагом возмущения. Длина поперечных волн на основании формулы (62) равна

где с есть скорость перемещения очага возмущения. При движении корабля образуются две системы таких волн — одна около носа, другая около кормы корабля, причем волны обеих систем интерферируют друг с другом.

Рис. 83. Система волн, образующихся при равномерном движении на поверхности воды очага возмущения давления

Групповая скорость капиллярных волн, как нетрудно показать путем расчета, аналогичного сделанному для гравитационных волн, больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают. Около лески удочки, опущенной в реку, скорость течения которой больше 23,3 см/сек, образуются вверх по течению капиллярные волны, а вниз по течению — гравитационные волны, причем последние имеют приблизительно такую же форму, как на рис. 83, а первые расходятся вверх по течению в виде дуг окружностей. При скоростях движения очага возмущения, меньших 23,3 см/сек, волны не образуются.

На поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой, также могут возникать волны. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны то теоретический расчет дает для фазовой скорости волн величину

Если верхняя жидкость течет со скоростью относительно нижней, то теория показывает, что возникающие волны устойчивы только в том случае, если их длина достаточно велика. Короткие же волны, подобно тому, как это было показано в § 7 для движения двух потоков жидкости вдоль поверхности раздела, неустойчивы, что приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне; это перемешивание восстанавливает устойчивость течения. При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной. Волны такого рода могут возникать также в атмосфере на границе двух слоев воздуха разной плотности, движущихся относительно друг друга; иногда эти волны делаются видимыми благодаря образованию так называемых волнистых облаков.

При движении воздуха над поверхностью воды также образуются волны. Однако теория таких волн, основанная на предположении отсутствия трения, приводит к результатам, противоречащим

действительности. Так, например, вычисления В. Томсона показали, что минимальная скорость ветра, необходимая для образования на поверхности воды волн, должна составлять круглым числом причем возникают волны, обладающие минимальной скоростью распространения см/сек и длиной волны см (при большей скорости ветра получаются, конечно, волны с большей длиной). Между тем в действительности для образования волн достаточно ветра со скоростью Согласно исследованию Джеффри это объясняется тем, что вследствие трения распределение давления на поверхности волны делается несимметричным, и поэтому ветер, если его скорость больше фазовой скорости волн, совершает на гребне каждой волны работу. Мотцфельд, измерив распределение давления на поверхности моделей водяных волн, нашел, что сопротивление, которое воздух оказывает движению волн, пропорционально полуторной степени наклона поверхности волны в точке перегиба относительно горизонта, а также квадрату разности между скоростью ветра и фазовой скоростью волн. Далее, Мотцфельд путем расчета нашел, что наклон поверхности волны в точке перегиба, зависящий от фазовой скорости с, получается наибольшим при

Этой скорости с соответствует, на основании формулы (62), волна длиной

Если принять во внимание поверхностное натяжение, которое Мотцфельд не учитывал, то расчет показывает, что для возникновения легкого волнения на поверхности воды достаточно, в полном соответствии с наблюдениями, ветра со скоростью, немного превышающей 23,3 см/сек.

Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они еще достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и зависимость между длиной и скоростью распространения волн получается более сложной, чем для волн на глубокой воде. Однако для волн на

очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде только что указанная зависимость принимает опять более простой вид. В обоих последних случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому можно опять считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как (траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону, и разности высот жидкости будут обусловливать практически только горизонтальные ускорения. Мы ограничимся здесь вычислениями лишь для случая движения «вала» воды, изображенного на рис. 84. Эти вычисления очень простые и в дальнейшем будут нами использованы для исследования распространения возмущения давления в сжимаемой среде (см. § 2 гл. IV).

Рис. 84. Вал на поверхности воды

Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево вал шириной повышающий уровень воды от до Предположим, что до прихода вала вода находилась в покое. Скорость ее движения после повышения уровня обозначим через Эта скорость, отнюдь не совпадающая со скоростью с распространения вала, необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объема воды в переходной зоне шириной вправо и тем самым поднять уровень воды с высоты до высоты Примем для простоты, что наклон вала по всей его ширине постоянен, следовательно, он равен Тогда, при условии, что скорость достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость подъема воды в области вала будет равна

Условие неразрывности, примененное к слою воды толщиной в единицу (в направлении, перпендикулярном к плоскости рис. 84), приводит к уравнению:

или

Мы видим, что из этого уравнения ширина вала выпала, следовательно, связь между скоростями и с не зависит от ширины вала. Уравнение (72) остается верным, как нетрудо показать, и для вала с непрямолинейным профилем. В самом деле, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала, мы получим справа опять величину а слева — опять величину правда, при условии, что разностями уровней соседних узких валов можно пренебречь. Из уравнения (72) следует, что при малой величине скорости должна быть мала также разность высот следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано.

К кинематическому соотношению (72) следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом. Объем воды шириной в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение на правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал, очевидно, равно

поэтому ускорение частицы будет

Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу где есть средний уровень воды в области вала. Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составляет Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объем воды в горизонтальном направлении, равна Применяя основное уравнение динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение, мы получим:

откуда, имея в виду, что найдем:

Таким образом, ширина вала выпала и из этого уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения (72), можно показать, что уравнение (73) применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность мала по сравнению с высотами

Для дальнейшего упрощения заменим в левой части уравнения на что при малой величине разности вполне допустимо, и разделим уравнение (73) на уравнение (72); после сокращений мы получим:

Чередование положительных и отрицательных валов приводит, очевидно, к образованию волн. Скорость распространения таких волн на основании уравнения (74) не зависит от формы волны. Следовательно, длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью

называемой критической скоростью.

Если на воде следуют друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины Кроме того, каждый последующий вал распространяется не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся вправо со скоростью Это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.

Исследование распространения вала конечной высоты можно выполнить при помощи теоремы о количестве движения совершенно таким же образом, как это было сделано в § 13 при рассмотрении внезапного расширения потока. Для того чтобы движение воды при распространении вала можно было рассматривать как установившееся, расчет следует вести в системе отсчета, движущейся вместе с валом. Скорость распространения вала конечной высоты больше чем