§ 2. Распространение возмущений давления. Скорость звука.

Вопрос о распространении в газе возмущений давления мы рассмотрим на следующем простом примере, сходном со случаем распространения вала воды (§ 15 гл. II). Пусть в покоящейся массе газа, заключенной в широкой трубе, каким-нибудь образом, например, движением поршня слева направо, создано повышение давления. Это повышение давления начинает распространяться вправо так, как это схематически показано на рис. 209. Предположим, что возникшее распределение

давления перемещается, не изменяя своей формы, с постоянной скоростью с. Так как газ при этом сжимается, то та его часть, через которую повышение давления уже прошло, должна обладать некоторой скоростью направленной вправо. Для простоты расчета примем, что повышение давления мало по сравнению с первоначальным давлением тогда будет мало также изменение плотности кроме того, как это еще выяснится из дальнейшего, будет мала также скорость

Относительно явлений, которые происходят в переходной области шириной (рис. 209), мы можем сказать, по аналогии со случаем распространения вала воды, следующее:

1. Когда область проходит через какое-нибудь место рассматриваемой массы газа, плотность в нем увеличивается от значения до значения Соответствующий промежуток времени равен

Рис. 209. Волна давления в трубе

Приращение массы газа, находящейся в переходной области, в единицу времени равно объему переходной области, умноженному на приращение плотности в единицу времени, т.е. на Следовательно, это приращение массы газа равно

Оно вызвано тем, что в переходную область втекает слева из области сгущения в единицу времени масса газа Вследствие неразрывности течения обе массы должны быть равны друг другу; приравнивая их, мы получим уравнение:

2. Внутри переходной области скорость увеличивается за промежуток времени от нуля до следовательно, среднее ускорение в переходной области равно

Масса, которой сообщается ускорение, равна где есть средняя плотность. Результирующая сила равна Следовательно, из основного уравнения динамики — масса, умноженная на ускорение, равна результирующей силе, — мы имеем:

Заменим в левой части уравнения на делая это, мы вводим ошибку, которая, однако, не больше той ошибки, которая уже внесена предыдущими допущениями. Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), мы получим:

Правая часть этого уравнения зависит только от закона сжатия газа; приняв ее равной производной от по мы будем иметь:

Таким образом, если изменения давления в газе незначительны, то скорость их распространения не зависит ни от их величины, ни от ширины переходной области и зависит только от закона сжатия газа. Отсюда следует, что скорость распространения изменений давления не изменится, если будут следовать друг за другом различные по знаку изменения давления, лишь бы они были малыми. Так как звук представляет собой последовательность положительных и отрицательных изменений давления, которые, согласно предыдущему, распространяются со скоростью с, то величину с называют скоростью звука.

При адиабатическом изменении состояния газа связь между давлением и плотностью определяется, согласно сказанному в § 5 гл. I, уравнением

поэтому

С другой стороны, мы имеем:

где есть нормальная плотность при нормальном давлении и при Подставив эти значения и в уравнение (3), мы получим:

Следовательно, скорость звука в каком-нибудь определенном газе зависит только от температуры. Для воздуха средней влажности и при температуре 0°С формула (4) дает:

что хорошо совпадает с результатами измерения.

Важный для нас случай распространения давления в текущей жидкости можно свести к предыдущему случаю, если рассматривать явление в системе отсчета, движущейся вместе с. жидкостью. Отсюда следует, что распространение давления относительно жидкости происходит со скоростью с. Относительно пространства, в котором жидкость течет со скоростью давление распространяется вниз по течению со скоростью с а вверх по течению — со скоростью Легко видеть, что в том случае, когда больше с, изменение давления вверх по течению не распространяется совсем. Поэтому газы и пары при движении со скоростями, большими скорости звука, ведут себя совершенно иначе, чем при движении с дозвуковыми скоростями.

Существенная разница между дозвуковыми и сверхзвуковыми потоками обнаруживается особенно наглядно при рассмотрении точечного источника возмущения давления в потоке. В равномерном потоке газа мгновенное возмущение давления, исходящее из точки А (рис. 210), распространяется в виде шаровой волны, центр которой перемещается со скоростью течения. Длительное возмущение давления в точке А, производимое, например, маленьким препятствием в этой точке, можно рассматривать как последовательность мгновенных возмущений. Если скорость течения меньше скорости звука с, то распространение возмущения, вызванного препятствием, происходит во всех направлениях, правда, в разных направлениях по-разному. Если же скорость течения больше скорости звука, то все шаровые волны, исходящие из препятствия, заполняют только конус, расходящийся вниз по течению и имеющий свою вершину в точке А (рис. 211). Пространство перед конусом остается совершенно свободным от влияния источника возмущения.

Рис. 210. Волна давления при скорости течения, меньшей скорости звука

Рис. 211. Волна давления при скорости течения, большей скорости звука

Угол между образующей конуса и его осью, совпадающей с направлением течения, определяется на основании следующих простых соображений. В течение короткого промежутка времени точечное возмущение вырастает в шар с радиусом и с центром, удаленным от источника возмущения на расстояние Конус касается шара, следовательно, должно иметь место отношение

Угол а называется углом Маха.

При движении газа с дозвуковой скоростью вдоль стенки с неровностями возмущения давления распространяются во всем пространстве, заполненном движущимся газом. Если же газ движется со сверхзвуковой скоростью, то из каждой неровности стенки отходит вниз по течению волна давления под определенным углом Маха. Если течение газа происходит между двумя стенками, то возникшая волна давления, достигнув противолежащей стенки, отражается от нее. Ниже, на стр. 370, изображена фотография подобного рода течения между двумя стенками с искусственной шероховатостью (рис. 223). Уменьшение угла Маха слева направо ясно показывает, как увеличивается слева направо скорость течения.

При движении какого-нибудь тела (например, артиллерийского снаряда или пули) в покоящемся газе — возникают аналогичные явления. Если снаряд движется со сверхзвуковой скоростью, то это действие на окружающий воздух проявляется только в пределах конуса,

Рис. 212. Полет пули

вершина которого перемещается вместе со снарядом. Впереди этого конуса воздух остается в полном покое. От выступающих точек поверхности снаряда отходят волны давления. На рис. 212 показана фотография полета пули. Измеряя на такой фотографии угол, образуемый головной волной с направлением движения, можно довольно точно определить скорость снаряда. Для измерения этого угла надо пользоваться той частью волны давления, которая достаточно удалена от снаряда. В непосредственной близости от снаряда разности давлений столь велики, что здесь головная волна распространяется со сверхзвуковой скоростью, и поэтому угол а здесь больше, чем на некотором расстоянии от снаряда. Такого же рода волны давления образуются и при вращении воздушного винта, у которого концы лопастей имеют окружную скорость, большую скорости звука. Эти волны и являются причиной упомянутого на стр. 312 звука, возникающего при работе такого винта и похожего на звук тромбона.

Конечное по величине изменение давления можно рассматривать как результат многих следующих друг за другом малых изменений давления. Согласно уравнению (2) в местах с повышенным давлением скорость движения то приблизительно пропорциональна разности давлений и направлена в сторону распространения изменения давления (в местах с пониженным давлением она направлена в противоположную сторону). Отсюда следует, что скорость распространения нового уплотнения, следующего за предшествующим ему уплотнением, равна с т. е. больше скорости звука: наоборот, скорость распространения нового разрежения, следующего за предшествующим разрежением, меньше скорости звука. Таким образом, сильные уплотнения распространяются со скоростью, большей скорости звука, а сильные разрежения, наоборот, со скоростью, меньшей скорости звука. Точная теория этих явлений дана Риманом. Эта теория, в полном согласии со сказанным выше, показывает, что перед волной давления, несущей конечное по

Рис. 213. Волна уплотнения

Рис. 214. Волна разрежения

величине уплотнение, движутся частичные уплотнения с тем большей скоростью, чем на большую величину уже повысилось давление; следовательно, голова волны движется быстрее ее основания и с течением времени догоняет его (рис. 213). В тот момент времени, когда голова волны догоняет основание, возникает прерывное изменение давления, так называемый скачок уплотнения, о котором подробно будет сказано ниже. В случае волны разрежения основание волны отстает от ее головы, вследствие чего форма волны делается постепенно все более и более пологой (рис. 214).