§ 10. Потенциальное течение (продолжение).

Полагая в уравнении последовательно равным мы найдем соотношения, связывающие составляющие скорости с потенциалом скоростей Ф:

Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности

мы получим так называемое уравнение Лапласа:

Это уравнение встречается также в других областях физики, в частности, в электростатике — в учении об электростатическом потенциале, где оно выполняется в таких местах поля, в которых отсутствуют заряды и диэлектрическая постоянная имеет постоянное значение. Поэтому при решении гидродинамических задач могут быть непосредственно использованы решения уравнения (41), известные из электростатики, например, решения для точечного заряда, для диполя и т. д. Для практических приложений важное значение имеет следующее свойство уравнения Лапласа: сумма или разность двух его решений также является решением, что непосредственно следует из линейности этого уравнения. При таком «наложении» двух потенциалов скорости складываются по закону параллелограма. Заметим, что уравнение Лапласа выполняется также для течения вязкой жидкости между двумя параллельными

пластинками, поставленными близко друг от друга. Такое течение часто используется для демонстрации линий тока потенциального течения (см. § 9 гл. III). Хотя в действительности оба течения формируются разными силами, тем не менее линии тока того и другого течения при надлежащих условиях опыта весьма точно совпадают.

Рассмотрим несколько примеров потенциального течения. а) Трехмерный поток перед пластинкой. Одним из самых простых выражений для потенциала скоростей будет следующее:

Подставляя это выражение в уравнение Лапласа (41), мы получим:

Следовательно, для того чтобы функция (42) удовлетворяла уравнению Лапласа, коэффициенты и с должны удовлетворять условию (43). Это условие можно выполнить, приняв

Тогда мы получим:

откуда найдем составляющие скорости течения:

Очевидно, что поток, определяемый этим потенциалом, симметричен относительно оси вращения, совпадающей в осью z. Линии тока в плоскости где определяются диференциальным уравнением

интегрируя которое, мы получим:

или

Это уравнение изображает так называемую кубическую параболу (рис. 55), для которой оси являются асимптотами. Таким образом, потенциал скоростей (44) определяет трехмерный, симметричный относительно оси, поток перед пластинкой.

Если движение установившееся, т. е. если коэффициент а не зависит от времени, то давление в потоке равно

Следовательно, максимум давления получается в точке т. е. в начале координат. Поверхности равного давления представляют собой эллипсоиды с осями, длины которых относятся как (рис. 55).

Рис. 55. Трехмерный симметричный относительно оси поток перед пластинкой

Ь) Источник и сток. Функция

где означает расстояние от начала координат, удовлетворяет уравнению Лапласа (41), а потому определяет потенциальное течение. Так как поверхности представляют собой концентрические сферы и так как скорость течения перпендикулярна к поверхностям то в потоке, определяемом потенциалом скоростей (45), скорость во всех точках направлена вдоль радиуса и равна

Поток, определяемый потенциалом скоростей называется источником, а поток, определяемый потенциалом стоком. Линиями тока источника являются прямые, исходящие из начала координат, а линиями тока стока — прямые, сходящиеся в начале координат. И в источнике и в стоке скорость в начале координат равна бесконечности.

Количество жидкости, протекающее в источнике или стоке в единицу времени через сферу радиуса поверхность которой имеет площадь равно

В источнике это количество возникает в центре, а в стоке, наоборот, исчезает в центре. Величина называется мощностью источника или

стока. Конечно, осуществить такое течение физически нельзя. Однако если в какую-нибудь точку О объема, занятого жидкостью, подвести узкую трубочку и отсасывать через нее жидкость, то в окрестности точки О возникнет поток, приближенно совпадающий со стоком.

Рис. 56. Потенциальный поток около движущегося тела

Источники и стоки играют важную вспомогательную роль при гидродинамических расчетах. Например, если в жидкости движется удлиненное тело в направлении своей продольной оси (рис. 56), то его передний конец вытесняет перед собой жидкость, к заднему же концу, по мере его продвижения вперед, жидкость притекает. Следовательно, около концов тела движение жидкости такое, как если бы около переднего конца был источник, а около заднего конца — сток. В самом деле, потенциал скоростей

получаемый наложением источника и стока, дает именно такую картину течения жидкости, правда при условии, что концы тела имеют определенную, хорошо округленную форму. Однако указанный потенциал дает достаточно хорошее приближение и при другой форме концов тела. Если тело движется со скоростью V, а площадь его поперечного сечения равна то количество вытесняемой телом и вновь притекающей к телу жидкости можно положить равным Подставляя это значение в формулу (46), мы найдем постоянную с:

Рассматриваемый поток жидкости, очевидно, неустановившийся, так как вместе с перемещением тела перемещается и поле скоростей в жидкости. Но если это течение рассматривать в системе отсчета, относительно которой тело покоится, т. е. в системе отсчета, движущейся вместе с телом, то в такой системе отсчета жидкость обтекает тело, и поток будет установившимся. Математически такой установившийся поток определяется потенциалом скоростей

Рис. 57. Поток около движущегося тела. Система отсчета движется вместе с телом

Рис. 58. Потенциальный поток около шара

Его линии тока изображены на рис. 57. Кривая внизу рисунка показывает распределение давления на поверхности, найденное на основании уравнения Бернулли.

Будем сближать между собой источник и сток, причем одновременно будем увеличивать их мощность в таком же отношении, в каком уменьшается их расстояние друг от друга. В пределе мы получим поток, называемый диполем. При таком сближении источника и стока поток, изображенный на рис. 57, переходит в поток около шара (рис. 58). Потенциал скоростей для такого потока равен

где а есть радиус шара. Картина действительного обтекания шара имеет вследствие влияния трения несколько иной вид.

с) Плоское движение. Если при движении жидкости все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях, и скорость течения во всех точках каждой прямой, перпендикулярной к семейству параллельных плоскостей, одинаковая, то такое движение жидкости называется плоскопараллельным, или плоским движением. Если совместить одну из параллельных плоскостей с плоскостью то из трех составляющих скорости последняя будет равна нулю, а первые две будут функциями только от В математической гидродинамике теория плоских потоков разработана особенно полно, так как существует мощный математический метод, облегчающий исследование таких потоков. Оказывается, что и вещественная, и мнимая части любой аналитической функции комплексной переменной всегда удовлетворяют уравнению Лапласа (41) и поэтому могут рассматриваться как потенциалы. В самом деле, пусть функция

есть аналитическая функция комплексного переменного причем есть вещественная часть функции, мнимая часть. Мы имеем:

Но

поэтому

Подставляя сюда мы получим:

Для того чтобы это равенство соблюдалось, должны совпадать между собой отдельно его вещественные части и отдельно мнимые части. Следовательно, если учесть, что

то должны соблюдаться условия:

Составляя уравнение Лапласа (41), которое вследствие равенства состоит теперь только из двух членов, мы получим:

т. е. обе функции действительно удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, могут рассматриваться как потенциалы скоростей некоторых двух потоков.

Из соотношений (47) легко видеть, что оба эти потока в каждой точке ортогональны друг к другу и имеют здесь равные по абсолютной

величине скорости. В самом деле, скорость первого потока образует с осью х угол а, для которого

скорость второго потока образует с осью х угол для которого

следовательно,

Абсолютная величина скорости и в первом и во втором потоке равна Вследствие ортогональности обоих потоков линии равного потенциала одного потока являются линиями тока другого (скорость всегда направлена по нормали к поверхности равного потенциала).

Функция, значения которой остаются постоянными на линиях тока, называется функцией тока. Следовательно, если функция выбрана в качестве потенциала скоростей, то будет функцией тока. Функция тока имеет еще другое наглядное зачение: разность ее значений в двух точках равна объему жидкости, протекающему в единицу времени между обеими точками в слое с толщиной, равной единице.

Рассмотрим несколько примеров плоских потоков. Плоский поток перед стенкой определяется функцией

В самом деле, мы имеем:

следовательно,

Последнее уравнение показывает, что линиями тока являются равнобочные гиперболы, асимптотами которых служат оси х и у. Составляющие скорости равны

Плоский источник определяется функцией

Так как

где суть полярные координаты, то

следовательно,

Таким образом, линиями тока действительно являются прямые исходящие из начала координат. Линиями равного потенциала являются окружности

В качестве третьего примера рассмотрим поток вдоль двух пересекающихся между собой стенок. Такой поток, если точка пересечения стенок расположена в начале координат, а ось х направлена вдоль одной из стенок, определяется функцией

где есть угол между обеими стенками. В самом деле, введя полярные координаты, мы получим:

или, на основании формулы Муавра,

Следовательно, функцией тока будет

Она принимает нулевое значение совпадает со стенкой, при следующих значениях

или, если заменить указанным выше его значением, при

Таким образом, при разных значениях будем иметь потоки вдоль двух стенок, пересекающихся между собой под углами а. На рис. 59 изображены линии тока таких потоков, получающихся для значений Как легко видеть, для углов скорость течения в начале координат равна нулю, а для углов она равна бесконечности.

Рис. 59. Потоки, определяемые функцией при разных значениях

Поток около круглого цилиндра радиуса а в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра, определяется функцией

Вычисляя функцию тока мы получим:

Она равна нулю на оси х, где и на окружности радиуса где Картина линий тока получается очень похожей на картину линий тока при обтекании шара (см. рис. 58).

Можно было бы привести еще много других примеров плоских потоков, определяемых функциями комплексной переменной, но мы ограничимся разобранными. В теории функций комплексной переменной

существует метод, позволяющий из известного потока около какого-нибудь тела получать новые потоки около других тел. Будем рассматривать две комплексные переменные Каждой паре значений х, у соответствует точка в плоскости а каждой паре значений точка в плоскости Всякая функция

устанавливает между соответствие такого рода, что каждая пара значений связывается с парой значений х, у, следовательно, каждая точка плоскости связывается с точкой плоскости Такое соответствие между плоскостями и называют отображением. При отображении каждая линия плоскости переходит в некоторую линию плоскости точка пересечения двух линий плоскости в точку пересечения соответствующих линий в плоскости Производные от вещественной и мнимой частей функции удовлетворяют соотношениям такого же вида, как и равенства (47). Прямоугольная сетка одной плоскости отображается также в прямоугольную, но в общем случае криволинейную сетку другой плоскости, причем масштаб отображения в обоих направлениях получается одинаковым. Это означает, что в бесконечно малых частях отображение происходит с соблюдением подобия. Поэтому такого рода отображения называются конформными отображениями. Примеры плоских потоков, разобранные выше, одновременно являются и примерами конформных отображений, если только вместо написать и . Последний из примеров показывает, что функция

отображает полуплоскость на область плоскости ограниченную двумя отрезками оси х, простирающимися от до и от до и половиной окружности радиуса а.

Важное значение конформных отображений для гидродинамики состоит в следующем. Если есть аналитическая функция от есть аналитическая функция от то есть аналитическая функция также и от Это означает, что в плоскости функция также определяет некоторый поток. Следовательно, если в плоскости имеется какой-нибудь поток, что всякое конформное отображение плоскости на плоскость дает некоторый новый поток. Такой способ получения новых потоков из заданного потока может быть повторен сколько угодно раз.

Существуют различные методы, позволяющие конформно отобразить область плоскости лежащую вне контура, близкого по форме к профилям современных крыльев самолета, на область плоскости лежащую вне окружности. Картина линий тока и динамические соотношения при обтекании окружности известны, поэтому, зная вид отображающей функции, можно из этой картины легко получить все, что относится к обтеканию профиля крыла,

Производная как легко видеть, равна

Рис. 60. Истечение через щель

Эта величина, сопряженная с величиной и называется комплексной скоростью и обозначается через Очевидно, что является аналитической функцией от z или от следовательно, отображение плоскости на плоскость также является конформным. Существуют такие случаи, когда, не зная функции определяющей поток в плоскости можно тем не менее заранее, на основании заданных граничных и других условий, построить картину распределения комплексной скорости в плоскости Так, например, при истечении жидкости через щель между двумя стенками (рис. 60а) заранее известны направления скорости на стенках далее известно, что на границах свободной струи скорость постоянна (это следует из уравнения Бернулли, так как на границах струи давление одинаковое); наконец, нам известны предположительные направления линий тока до истечения из щели, а также предположительное направление струи после истечения. На основании этих данных мы можем построить в плоскости картину распределения скоростей (рис. 60,б) и рассматривать ее как некоторый поток. Если для этого потока функция

его определяющая, известна, то можно путем обращения найти

функцию

Тогда, проинтегрировав уравнение

мы получим:

Наконец, отделив вещественную и мнимую части комплексной переменной z, мы найдем для каждого значения соответствующие им значения х, у, т.е. построим картину линий тока.

Приведенных примеров достаточно, чтобы дать представление о применении методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике.