§ 2. Теория напряженного состояния.

Рассмотрим напряженное состояние жидкости, находящейся в равновесии. Прежде чем определить это понятие, заметим, что общие теоремы о равновесии сил применимы также к жидким телам. Это следует из так называемого принципа отвердевания, сущность которого заключается в следующем. Если в какой-либо подвижной системе, находящейся в равновесии, сделать отдельные ее части неподвижными, то от этого равновесие всей системы не нарушится. Следовательно, в случае жидкости, находящейся в равновесии, можно всегда вообразить, что некоторая ее часть отвердела; от этого равновесие всей жидкости не нарушится, к отвердевшей же части можно применить теоремы о равновесии твердых тел. Однако для исследования равновесия жидкости не

обязательно прибегать к представлению об отвердевании. Теоремы о равновесии общей механики, хотя и выводятся на примере абсолютно твердых тел, применимы также к системам материальных точек, если только внутренние движения, вообще возможные в таких системах, вследствие равновесия отсутствуют. В случаях действительного покоя оба способа рассмотрения совершенно равноправны. Но в задачах, связанных с движением жидкостей, когда в последних по существу не может быть ничего отвердевшего, принцип отвердевания приводит к затруднениям. Поэтому, имея в виду дальнейшие приложения к динамике, мы изложим здесь вкратце основное содержание общей теории равновесия деформируемой среды, безразлично-жидкой или упругой.

Прежде всего напомним, что любые силы представляют собою взаимодействие между массами. Если, например, масса притягивает к себе другую массу с силой то с такой же силой масса притягивает к себе массу Следовательно, обе силы направлены прямо противоположно друг другу (закон Ньютона о равенстве действия и противодействия). В системе масс, каким-нибудь образом выделенной среди других масс, следует различать два вида сил: внутренние силы, действующие между массами, принадлежащими к системе, и внешние силы, действующие между каждой массой системы и массами, находящимися вне системы. Во всей совокупности сил, действующих в рассматриваемой системе масс, внутренние силы входят всегда попарно в виде равных и прямо противоположных сил, а внешние силы — всегда в одиночку. При суммировании (векторном или координатном) всех сил внутренние силы всегда попарно уничтожаются, и остаются только внешние силы.

Для равновесия системы необходимо, чтобы сумма сил, приложенных к каждой отдельной массе системы, была равна нулю (при векторном рассмотрении должна быть равна нулю векторная сумма всех сил, при координатном рассмотрении — суммы проекций сил на три координатные оси). При сложении таких сумм для всех масс системы остается, согласно сказанному выше, только сумма всех внешних сил, а так как каждая отдельная из сложенных сумм при равновесии равна нулю, то равна нулю и сумма всех внешних сил. Эта теорема, при выводе которой о системе масс не делается никаких иных предположений, кроме того, что она находится в равновесии, находит широкое применение в самых различных случаях. Если вычисления ведутся в координатах, то эта теорема записывается в виде трех уравнений:

Рис. 1 и 2. Метод сечений.

где X, Y, Z суть проекции внешних сил на оси x,y,z.

Совершенно аналогичная теорема существует и для моментов внешних сил: сумма всех этих моментов при равновесии равна нулю.

Как для упругих твердых, так и для жидких тел важно знать напряженное состояние внутри тела, т. е. внутренние силы, действующие между мельчайшими частицами тела во всех направлениях и во всех точках тела. Однако в общем случае приходится ограничиваться указанием только среднего напряженного состояния. В самом деле, как бы ни была мала выделенная область около рассматриваемой точки тела, в ней все же содержится очень большое число частиц тела, находящихся к тому же в оживленном тепловом движении, и поэтому картина распределения сил взаимодействия между этими частицами имеет очень запутанный вид. Но как же вообще можно получить представление о внутренних силах, если наши теоремы об условиях равновесия говорят только о внешних силах? Для этого, как мы сейчас увидим, необходимо сделать внутренние силы внешними. Это вполне возможно следующим образом. Вообразим некоторое тело, к которому приложены внешние силы (на рис. 1 они обозначены стрелками). Мысленно разрежем его на две части и одну из частей, например, часть I, примем за нашу систему масс. Тогда все силы, с которыми частицы части II действовали на частицы части I и которые раньше были внутренними силами, теперь будут внешними силами. Эти силы определенным образом распределены по площади сечения, и сумма их должна быть такова, чтобы выделенная часть тела продолжала оставаться в равновесии. Следовательно, результирующая этих сил должна быть равна и прямо противоположна результирующей внешних сил, действующих на выделенную часть тела (рис. 2). Таким образом, мы получили вполне определенное и однозначное представление о результирующей внутренних сил в проведенном сечении тела.

Такая результирующая внутренних сил, отнесенная к единице площади сечения, называется напряжением. В только что рассмотренном

примере, разделив найденную результирующую внутренних сил на площадь сечения, мы получим, очевидно, среднее напряжение в сечении. Вообще же на различных площадках сечения напряжение может быть разным. Напряжение на площадке, подобно силе, является вектором.

Рис. 3. Равновесие тетраэдра

Таким образом, мысленно рассекая тело на две части, мы превращаем внутренние силы, действующие в проведенном сечении, во внешние. Такой способ определения внутренних сил называется способом сечения. Этот способ допускает широкое применение во всех случаях, когда требуется исследовать напряженное состояние внутри тела. Для этой цели внутри тела вырезается при помощи некоторого числа сечений небольшая частица, например, параллелепипед, призма, тетраэдр, и исследуется ее равновесие. Из многочисленных и важных теорем о напряженном состоянии, которые могут быть выведены из рассмотрения равновесия таких частиц, приведем следующую: если в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол, напряжения известны, то напряжения во всех других сечениях могут быть определены. Для доказательства поступим следующим образом. Пересечем трехгранный угол четвертой плоскостью, именно той плоскостью, в которой требуется определить напряжение. Эта плоскость образует вместе с первыми тремя тетраэдр (рис. 3). Силы 1,2,3, действующие на грани, напряжения на которых известны, мы получим, умножив заданные напряжения на площади соответствующих граней. Имеется только одна сила 4, которая уравновешивает сумму сил Эта сила, разделенная на площадь соответствующей грани, и дает искомое напряжение. Для выполнения вычислений удобнее всего совместить заданные сечения с координатными плоскостями (рис. 3).

Теперь, после того как мы разъяснили понятие напряжения, мы можем дать более точное определение напряженному состоянию: напряженным состоянием в какой-либо точке называется совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через заданную точку. Не вдаваясь в подробности теории напряженного состояния, упомянем только, что напряженное состояние в точке может быть связано с некоторым эллипсоидом, так называемым эллипсоидом напряжений. Следовательно, напряженное состояние представляет собой тензор. Согласно приведенной выше теореме напряженное состояние в точке (а также

соответствующий ему эллипсоид) известно, если заданы напряжения в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол. В каждом эллипсоиде имеются три взаимно перпендикулярные оси. Этим осям эллипсоида, называемым главными осями, соответствуют в напряженном теле такие три взаимно перпендикулярных сечения, в которых напряжения нормальны к сечениям. Эти напряжения называются главными напряжениями, а соответствующие направления — главными направлениями напряженного состояния.