§ 12. Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити.

Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений. Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться

к потенциальному движению с циркуляцией, о котором мы говорили в § 11. Напомним, что область, в которой происходит такое потенциальное движение, является многосвязной и что циркуляция по всем кривым, которые можно перевести друг в друга, не пересекая границ области, одинаковая. Отсюда, как мы сейчас увидим, следует, во-первых, что вихревая нить должна либо иметь форму кольца, т. е. быть замкнутой, либо доходить своими концами до границ жидкости, и, во-вторых, что циркуляция вокруг вихревой нити в один и тот же момент времени во всех местах должна быть одинаковой. В самом деле, проведем в потоке замкнутую линию, состоящую из двух петель вокруг вихревой нити и двух отрезков и В А (рис. 69).

Рис. 69. Вихревая нить

Эту линию можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не пересекая вихревой нити. Следовательно, циркуляция вдоль этой линии равна нулю. Но эта циркуляция складывается из четырех частей, две из которых получаются при интегрировании вдоль отрезков и В А, а две другие — при интегрировании вдоль петель Циркуляции вдоль примыкающих друг к другу отрезков и В А взаимно уничтожаются, так как эти отрезки при интегрировании обходятся в противоположных направлениях. Следовательно, должны взаимно уничтожаться и циркуляции вдоль петель так как иначе полная циркуляция по всей жидкой линии не была бы равна нулю. Это означает, что циркуляции вдоль петель равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Но проведенная замкнутая линия огибает вихревую нить около А и около В в противоположных направлениях, поэтому циркуляция около взятая в одном и том же направлении, должна быть одинаковая. Если бы вихревая нить оканчивалась где-либо внутри жидкости, то мы могли бы одну из петель снять с вихревой нити, в то время как вторая продолжала бы оставаться на вихревой нити. Тогда первая петля потеряла бы свою циркуляцию, а вторая — сохранила. Следовательно, изменилась бы полная циркуляция вдоль проведенной замкнутой линии при перемещении последней в пределах области потенциального движения, что, однако, невозможно. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Вихревая нить не может оканчиваться нигде внутри жидкости и имеет везде одинаковую циркуляцию. К этому, чисто геометрическому свойству вихревой нити присоединяется еще динамическое свойство, вытекающее из теоремы Томсона: Циркуляция вокруг вихревой нити не изменяется с течением времени.

Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями. Если эти линии лежат в области потенциального движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если же они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркуляция вокруг них не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Так как количество движения и энергия самой вихревой нити малы по сравнению с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см. ниже, пример первый). Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуляции вокруг оси вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается влиянием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движение вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на движение вихревой нити оказывает внешнее движение.

Формулы для расчета поля скоростей вокруг вихревых нитей, определенным образом расположенных, полностью совпадают с электродинамическими формулами, выражающими закон Био-Савара. Вихревые нити соответствуют электрическим проводникам, циркуляция — силе тока, поле скоростей — магнитному полю и угловая скорость вращения — плотности тока. Сила тока, подобно циркуляции, одинакова вдоль всего проводника, а плотность тока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения. Для вихревой нити, согласно формуле (32) § 9, при циркуляция равна

Следовательно, в тех местах, где поперечное сечение вихревой нити меньше, угловая скорость вращения больше, и наоборот. Такая же связь между существует и во времени: если какой-либо отрезок вихревой нити вытягивается, то угловая скорость вращения возрастает обратно пропорхщонально поперечному сечению. При этом длина отрезка вихревой нити увеличивается также обратно пропорционально поперечному сечению, так как объем нити остается неизменным. Следовательно, угловая скорость вращения нити изменяется в точности пропорционально изменению длины отрезка нити.

Указанные факты и составляют основное содержание теорем Гельмгольца. Рассмотрим несколько примеров движения вихревых нитей.

а) Прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкости, в остальных местах свободной от вращения. Как уже было сказано в § 11, вихревая нить с циркуляцией (или напряженностью) создает вокруг себя поле скоростей. В каждой точке этого поля скорость перпендикулярна к оси вихря и к радиусу соединяющему ось вихря с рассматриваемой точкой поля, а по абсолютной величине, согласно формуле (48), равна

Если имеется несколько вихревых нитей, то отдельные поля скоростей налагаются друг на друга, и каждая вихревая нить принимает участие в том движении, которое возникает в занимаемом ею месте под действием других нитей. Так, например, в случае двух параллельных вихревых нитей обе они вращаются вокруг оси, параллельной осям обеих нитей. Для определения положения этой оси следует отложить вдоль осей обеих нитей отрезки, пропорциональные их напряженностям и, рассматривая эти отрезки как силы, сложить их. Линия действия равнодействующей даст положение искомой оси. Отрезки, пропорциональные напряженностям следует отложить в одну сторону, если оба вихря имеют циркуляции одного знака, и в разные стороны, если циркуляции вихрей противоположны. В первом случае ось вращения расположена между вихрями, а во втором случае — по одну сторону от них.

Две параллельные прямолинейные вихревые нити равной и противоположной по знаку циркуляции образуют пару вихрей (такое название дано по аналогии с парой сил). Пара вихрей совершает прямолинейное поступательное движение в направлении, перпендикулярном к кратчайшей прямой, соединяющей оба вихря, причем скорость движения равна

где есть расстояние между осями вихрей. В системе отсчета, покоящейся относительно невозмущенной жидкости, картина линий тока вихревой пары имеет вид, изображенный на рис. 70. На рис. 71 показана та же картина линий тока в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми нитями. Часть жидкости, отмеченная на рис. 71

Рис. 70. Линии тока пары вихрей в неподвижной системе отсчета

Рис. 71. Линии тока пары вихрей в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми ядрами

штрихами, остается все время около вихревых нитей. Это легко наблюдать, если окрасить жидкость в том месте, где возникает пара вихрей.

Для того чтобы взаимодействие прямолинейных параллельных вихревых нитей происходило в точности так, как указано выше, эти нити теоретически должны простираться в обе стороны до бесконечности или же они должны быть ограничены двумя параллельными стенками. Однако в последнем случае на движение вихревых нитей влияет трение, возникающее на стенках. Одна из параллельных стенок может быть заменена свободной поверхностью жидкости (следовательно, вторая стенка должна быть дном сосуда).

Ь) Круговые вихревые кольца. Такие вихревые нити вследствие своей кривизны получают поступательную скорость вдоль оси кольца, которая тем больше, чем тоньше вихревое ядро. Это явление может быть объяснено на основании теорем Гельмгольца как результат взаимодействия соседних элементов вихревой нити. Однако его можно объяснить также динамически как следствие поперечных сил, которые возникают под действием окружающей кольцо вращающейся жидкости (ср. с рассуждениями в § 11 по поводу обтекания крыла). Так как вихревое кольцо движется с довольно большой скоростью, то увлекаемая им жидкость часто также имеет форму кольца (кольца табачного дыма!), а не сплошного тела, как показано на рис. 71. Два вихревых кольца с общей осью, движущихся в одном направлении, взаимодействуют так, что переднее кольцо расширяется, а заднее, наоборот, суживается; вследствие этого поступательная скорость переднего кольца уменьшается, а заднего — увеличивается. Это приводит к тому, что заднее кольцо догоняет переднее и проскакивает сквозь него, после чего роль их меняется, и

игра начинается снова. Два одинаковых вихревых кольца с общей осью, движущихся навстречу друг другу, по мере сближения все больше и больше увеличиваются в диаметре, но в то же время замедляют свое поступательное движение настолько, что друг до друга так и не доходят. Таким образом, центральная плоскость между обоими кольцами ведет себя подобно непроницаемой твердой стенке. По этой причине вихревое кольцо, приближающееся к твердой стенке, никогда ее не достигает.

с) Поверхности раздела, о которых шла речь в § 7, можно рассматривать как систему вихревых нитей, распределенных вдоль поверхности, причем оси вихревых нитей расположены перпендикулярно к направлению скачка скорости. В самом деле, из схемы, изображенной на рис. 72, видно, что система параллельных вихревых нитей формирует поток, который на некотором расстоянии от вихревых нитей имеет такое же поле скоростей, как и поток с поверхностью раздела. Наоборот, поверхности раздела, будучи неустойчивыми, легко распадаются на отдельные вихри, как это показано на рис. 41.

Рис. 72. Вихревой слой

d) Вихри и связанное с ними циркуляционное потенциальное течение возникают всегда в результате образования поверхностей раздела. Все потенциальные течения являются результатом давления, передаваемого на жидкость ограничивающей ее стенкой или находящимся внутри нее телом. Циркуляционное течение возникает главным образом в том случае, когда внутри жидкости имеется поверхность, одна часть которой испытывает некоторое время давление, а другая, соседняя, часть не подвергается давлению. Примером может служить образование вихревого кольца около отверстия в стенке (рис. 45); стенка испытывает давление слева и отвечает равным противодействием, в то время как отверстие не подвергается давлению. Другим важным примером является движение крыла самолета, когда площадь, находящаяся непосредственно под крылом, некоторое время нагружена весом самолета, а продолжение этой площади за пределами крыла не подвергается в это время никакому давлению. В конце § 7 мы упомянули, что из поверхности раздела, возникающей позади крыла, образуются два вихря, сбегающие с концов крыла (см. рис. 46). Кроме того, в начальный момент движения, при разгоне крыла, образуется вихрь, изображенный на рис. 66. Этот начальный вихрь вместе с боковыми вихрями образует одну общую, обычно несколько размытую вихревую нить. Само

крыло с происходящей вокруг него циркуляцией, в точности равной циркуляции вокруг вихревой нити, замыкает всю систему, вследствие чего образуется своего рода вихревое кольцо, часть которого, правда, состоит из твердого тела (крыла). С кинематической точки зрения это надо понимать так, что часть вихревой нити проходит внутри твердого тела, вызывая снаружи его потенциальное течение с циркуляцией. Однако динамическая теорема Гельмгольца для этой части вихревой нити не имеет места; это вполне понятно, так как эта часть вихревой нити движется вместе с телом, и с концов ее к боковым вихревым нитям притекает все время новая жидкость. Количественное изучение таких вихревых движений дало возможность получить важные выводы, касающиеся поведения крыла в потоке жидкости (см. § 16 и 17 гл. III).