Главная > Гидроаэромеханика (Прандтль Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12. Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити.

Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений. Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться

к потенциальному движению с циркуляцией, о котором мы говорили в § 11. Напомним, что область, в которой происходит такое потенциальное движение, является многосвязной и что циркуляция по всем кривым, которые можно перевести друг в друга, не пересекая границ области, одинаковая. Отсюда, как мы сейчас увидим, следует, во-первых, что вихревая нить должна либо иметь форму кольца, т. е. быть замкнутой, либо доходить своими концами до границ жидкости, и, во-вторых, что циркуляция вокруг вихревой нити в один и тот же момент времени во всех местах должна быть одинаковой. В самом деле, проведем в потоке замкнутую линию, состоящую из двух петель вокруг вихревой нити и двух отрезков и В А (рис. 69).

Рис. 69. Вихревая нить

Эту линию можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не пересекая вихревой нити. Следовательно, циркуляция вдоль этой линии равна нулю. Но эта циркуляция складывается из четырех частей, две из которых получаются при интегрировании вдоль отрезков и В А, а две другие — при интегрировании вдоль петель Циркуляции вдоль примыкающих друг к другу отрезков и В А взаимно уничтожаются, так как эти отрезки при интегрировании обходятся в противоположных направлениях. Следовательно, должны взаимно уничтожаться и циркуляции вдоль петель так как иначе полная циркуляция по всей жидкой линии не была бы равна нулю. Это означает, что циркуляции вдоль петель равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Но проведенная замкнутая линия огибает вихревую нить около А и около В в противоположных направлениях, поэтому циркуляция около взятая в одном и том же направлении, должна быть одинаковая. Если бы вихревая нить оканчивалась где-либо внутри жидкости, то мы могли бы одну из петель снять с вихревой нити, в то время как вторая продолжала бы оставаться на вихревой нити. Тогда первая петля потеряла бы свою циркуляцию, а вторая — сохранила. Следовательно, изменилась бы полная циркуляция вдоль проведенной замкнутой линии при перемещении последней в пределах области потенциального движения, что, однако, невозможно. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Вихревая нить не может оканчиваться нигде внутри жидкости и имеет везде одинаковую циркуляцию. К этому, чисто геометрическому свойству вихревой нити присоединяется еще динамическое свойство, вытекающее из теоремы Томсона: Циркуляция вокруг вихревой нити не изменяется с течением времени.

Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями. Если эти линии лежат в области потенциального движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если же они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркуляция вокруг них не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Так как количество движения и энергия самой вихревой нити малы по сравнению с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см. ниже, пример первый). Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуляции вокруг оси вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается влиянием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движение вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на движение вихревой нити оказывает внешнее движение.

Формулы для расчета поля скоростей вокруг вихревых нитей, определенным образом расположенных, полностью совпадают с электродинамическими формулами, выражающими закон Био-Савара. Вихревые нити соответствуют электрическим проводникам, циркуляция — силе тока, поле скоростей — магнитному полю и угловая скорость вращения — плотности тока. Сила тока, подобно циркуляции, одинакова вдоль всего проводника, а плотность тока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения. Для вихревой нити, согласно формуле (32) § 9, при циркуляция равна

Следовательно, в тех местах, где поперечное сечение вихревой нити меньше, угловая скорость вращения больше, и наоборот. Такая же связь между существует и во времени: если какой-либо отрезок вихревой нити вытягивается, то угловая скорость вращения возрастает обратно пропорхщонально поперечному сечению. При этом длина отрезка вихревой нити увеличивается также обратно пропорционально поперечному сечению, так как объем нити остается неизменным. Следовательно, угловая скорость вращения нити изменяется в точности пропорционально изменению длины отрезка нити.

Указанные факты и составляют основное содержание теорем Гельмгольца. Рассмотрим несколько примеров движения вихревых нитей.

а) Прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкости, в остальных местах свободной от вращения. Как уже было сказано в § 11, вихревая нить с циркуляцией (или напряженностью) создает вокруг себя поле скоростей. В каждой точке этого поля скорость перпендикулярна к оси вихря и к радиусу соединяющему ось вихря с рассматриваемой точкой поля, а по абсолютной величине, согласно формуле (48), равна

Если имеется несколько вихревых нитей, то отдельные поля скоростей налагаются друг на друга, и каждая вихревая нить принимает участие в том движении, которое возникает в занимаемом ею месте под действием других нитей. Так, например, в случае двух параллельных вихревых нитей обе они вращаются вокруг оси, параллельной осям обеих нитей. Для определения положения этой оси следует отложить вдоль осей обеих нитей отрезки, пропорциональные их напряженностям и, рассматривая эти отрезки как силы, сложить их. Линия действия равнодействующей даст положение искомой оси. Отрезки, пропорциональные напряженностям следует отложить в одну сторону, если оба вихря имеют циркуляции одного знака, и в разные стороны, если циркуляции вихрей противоположны. В первом случае ось вращения расположена между вихрями, а во втором случае — по одну сторону от них.

Две параллельные прямолинейные вихревые нити равной и противоположной по знаку циркуляции образуют пару вихрей (такое название дано по аналогии с парой сил). Пара вихрей совершает прямолинейное поступательное движение в направлении, перпендикулярном к кратчайшей прямой, соединяющей оба вихря, причем скорость движения равна

где есть расстояние между осями вихрей. В системе отсчета, покоящейся относительно невозмущенной жидкости, картина линий тока вихревой пары имеет вид, изображенный на рис. 70. На рис. 71 показана та же картина линий тока в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми нитями. Часть жидкости, отмеченная на рис. 71

Рис. 70. Линии тока пары вихрей в неподвижной системе отсчета

Рис. 71. Линии тока пары вихрей в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми ядрами

штрихами, остается все время около вихревых нитей. Это легко наблюдать, если окрасить жидкость в том месте, где возникает пара вихрей.

Для того чтобы взаимодействие прямолинейных параллельных вихревых нитей происходило в точности так, как указано выше, эти нити теоретически должны простираться в обе стороны до бесконечности или же они должны быть ограничены двумя параллельными стенками. Однако в последнем случае на движение вихревых нитей влияет трение, возникающее на стенках. Одна из параллельных стенок может быть заменена свободной поверхностью жидкости (следовательно, вторая стенка должна быть дном сосуда).

Ь) Круговые вихревые кольца. Такие вихревые нити вследствие своей кривизны получают поступательную скорость вдоль оси кольца, которая тем больше, чем тоньше вихревое ядро. Это явление может быть объяснено на основании теорем Гельмгольца как результат взаимодействия соседних элементов вихревой нити. Однако его можно объяснить также динамически как следствие поперечных сил, которые возникают под действием окружающей кольцо вращающейся жидкости (ср. с рассуждениями в § 11 по поводу обтекания крыла). Так как вихревое кольцо движется с довольно большой скоростью, то увлекаемая им жидкость часто также имеет форму кольца (кольца табачного дыма!), а не сплошного тела, как показано на рис. 71. Два вихревых кольца с общей осью, движущихся в одном направлении, взаимодействуют так, что переднее кольцо расширяется, а заднее, наоборот, суживается; вследствие этого поступательная скорость переднего кольца уменьшается, а заднего — увеличивается. Это приводит к тому, что заднее кольцо догоняет переднее и проскакивает сквозь него, после чего роль их меняется, и

игра начинается снова. Два одинаковых вихревых кольца с общей осью, движущихся навстречу друг другу, по мере сближения все больше и больше увеличиваются в диаметре, но в то же время замедляют свое поступательное движение настолько, что друг до друга так и не доходят. Таким образом, центральная плоскость между обоими кольцами ведет себя подобно непроницаемой твердой стенке. По этой причине вихревое кольцо, приближающееся к твердой стенке, никогда ее не достигает.

с) Поверхности раздела, о которых шла речь в § 7, можно рассматривать как систему вихревых нитей, распределенных вдоль поверхности, причем оси вихревых нитей расположены перпендикулярно к направлению скачка скорости. В самом деле, из схемы, изображенной на рис. 72, видно, что система параллельных вихревых нитей формирует поток, который на некотором расстоянии от вихревых нитей имеет такое же поле скоростей, как и поток с поверхностью раздела. Наоборот, поверхности раздела, будучи неустойчивыми, легко распадаются на отдельные вихри, как это показано на рис. 41.

Рис. 72. Вихревой слой

d) Вихри и связанное с ними циркуляционное потенциальное течение возникают всегда в результате образования поверхностей раздела. Все потенциальные течения являются результатом давления, передаваемого на жидкость ограничивающей ее стенкой или находящимся внутри нее телом. Циркуляционное течение возникает главным образом в том случае, когда внутри жидкости имеется поверхность, одна часть которой испытывает некоторое время давление, а другая, соседняя, часть не подвергается давлению. Примером может служить образование вихревого кольца около отверстия в стенке (рис. 45); стенка испытывает давление слева и отвечает равным противодействием, в то время как отверстие не подвергается давлению. Другим важным примером является движение крыла самолета, когда площадь, находящаяся непосредственно под крылом, некоторое время нагружена весом самолета, а продолжение этой площади за пределами крыла не подвергается в это время никакому давлению. В конце § 7 мы упомянули, что из поверхности раздела, возникающей позади крыла, образуются два вихря, сбегающие с концов крыла (см. рис. 46). Кроме того, в начальный момент движения, при разгоне крыла, образуется вихрь, изображенный на рис. 66. Этот начальный вихрь вместе с боковыми вихрями образует одну общую, обычно несколько размытую вихревую нить. Само

крыло с происходящей вокруг него циркуляцией, в точности равной циркуляции вокруг вихревой нити, замыкает всю систему, вследствие чего образуется своего рода вихревое кольцо, часть которого, правда, состоит из твердого тела (крыла). С кинематической точки зрения это надо понимать так, что часть вихревой нити проходит внутри твердого тела, вызывая снаружи его потенциальное течение с циркуляцией. Однако динамическая теорема Гельмгольца для этой части вихревой нити не имеет места; это вполне понятно, так как эта часть вихревой нити движется вместе с телом, и с концов ее к боковым вихревым нитям притекает все время новая жидкость. Количественное изучение таких вихревых движений дало возможность получить важные выводы, касающиеся поведения крыла в потоке жидкости (см. § 16 и 17 гл. III).

1
Оглавление
email@scask.ru