§ 8. Приближенный расчет двухмерных сверхзвуковых потоков при помощи диаграммы характеристик.

Приемы построения сверхзвуковых потоков, изложенные в предыдущем параграфе, могут быть обобщены путем введения следующего приближенного

Рис. 240. (см. скан) Диаграмма характеристик. Разность чисел, надписанных около отдельных кривых, дает сразу в градусах величину угла, образуемого с начальным направлением вектором скорости, изображаемым точкой пересечении этих кривых; сумма этих чисел дает возможность найти при помощи специальной таблицы величину скорости и давление

способа расчета. Изменение состояния потока, которое в действительности происходит непрерывно, разобьем на последовательность прерывных изменений, каждое из которых будет представлять собой один из процессов, изображенных на рис. 229 и 233. Следовательно, каждое прерывное изменение состояния будет изображаться либо линией

разрежения, либо линией уплотнения. Последовательность прерывных изменении состояния выберем так, чтобы на каждой отдельной линии разрежения или уплотнения линии тока отклонялись на вполне определенный, заранее установленный угол, например, на 2°. Это означает, что скорости в промежуточных полях между отдельными линиями разрежения и уплотнения могут иметь только такие направления, которые отличаются друг от друга на кратное от 2°. Так как величина скорости до и после каждой линии разрежения или уплотнения связана с заданным углом отклонения, то для абсолютных значений скоростей возможна также только дискретная последовательность значений. Если мы построим план скоростей (годограф), т.е. отложим все векторы скоростей из общего центра О, то получим правильную сетку из двух семейств равноотстоящих друг от друга кривых (рис. 240). Каждая точка этой сетки, называемая диаграммой характеристик, будет представлять допустимое значение скорости, а каждая линия, соединяющая две соседние точки сетки, будет соответствовать переходу от одного состояния потока к другому — разрежению или уплотнению с поворотом линий тока на 2°. Состояния течения на рис. 230, где на каждой линии разрежения, проходящей через точку А, имеет место постоянная скорость, изображены на рис. 240 жирной линией. (Если в потоке линии разрежения или уплотнения отходят только в одну какую-нибудь сторону — такие случаи мы имеем на рис. 230 и 232, — то в диаграмме характеристик приходится передвигаться вдоль кривой только одного семейства; однако в общем случае линии разрежения и уплотнения отходят в обе стороны.) Задача построения линий тока будет вполне определенной, если будут заданы скорости течения и их направления в каком-нибудь поперечном сечении потока и, кроме того, для случая свободной струи — давление на ее боковых границах, а для случая жестких ограничивающих стенок — направление течения на них. Линии разрежения и уплотнения, подходящие изнутри потока к его границам, отражаются от них, и притом следующим образом: если границами потока является свободная поверхность струи, где скорость должна оставаться постоянной, то отражение происходит так, что линия уплотнения превращается в линию разрежения; если же границами потока являются неподвижные стенки, то линия уплотнения остается после отражения линией уплотнения, а линия разрежения — линией разрежения.

Необходимо подчеркнуть, что этот способ применим только к таким потокам, в которых постоянная Бернулли имеет одинаковое значение на всех линиях тока, следовательно, только к потенциальным

потокам (см. § 9 гл. II). Только для таких потоков можно обойтись применением описанной диаграммы характеристик.

Если несколько линий уплотнения сходятся, то дальше они продолжаются как скачок уплотнения. Если при этом прерывное увеличение давления не очень велико, то процесс скачка уплотнения приближенно можно рассматривать как обратимый, и, следовательно, для дальнейшего определения величин и направлений скоростей можно по прежнему пользоваться диаграммой характеристик. Однако в случае сильных скачков уплотнения этого делать нельзя, так как получаются значительные ошибки. Графический способ, позволяющий оперировать с сильными скачками уплотнения, дан А. Буземаном.

Некоторые обстоятельства значительно облегчают пользование диаграммой характеристик. Прежде всего, линии разрежения и уплотнения всегда перпендикулярны к отрезкам, соединяющим соответствующие две точки в диаграмме характеристик. В этом легко убедиться на основании следующих соображений. Как уже было упомянуто, составляющая скорости, параллельная линии разрежения или уплотнения, при переходе потока через эти линии остается неизменной; изменяется только составляющая скорости, перпендикулярная к этим линиям, причем она увеличивается в случае перехода через линию разрежения и уменьшается при переходе через линию уплотнения. Но это означает, что отрезок, соединяющий в диаграмме характеристик точки, изображающие состояния потока до и после перехода через линии разрежения или уплотнения, перпендикулярен к этим линиям. Далее, если рассматриваемый газ — идеальный, т.е. если связь между его плотностью и давлением изображается уравнением

то все кривые обоих семейств на диаграмме характеристик являются эпициклоидами (одна из этих эпициклоид выделена на рис. 240 жирной линией). В этом случае значительно упрощается проведение касательных к этим кривым. На дальнейших подробностях способа пользования диаграммой характеристик мы не можем здесь останавливаться и отсылаем читателя к упомянутым выше работам.

Приведем в качестве примера решение следующей задачи: какую форму следует придать стенкам расширяющегося сопла для того, чтобы

Рис. 241. Насадок для получения параллельной струи

при истечении из него газа получилась параллельная струя. Очевидно, для этого необходимо, чтобы линии разрежения, подходящие к стенкам, не отражались от них; только при соблюдении этого условия линии тока сделаются параллельными. Для выполнения этого условия стенки сопла должны в каждой своей точке изменять свое направление на такой угол, который вызывал бы появление линии уплотнения, отходящей от стенки под таким же углом, под каким отходит отраженная линия разрежения; это приводит к затуханию всех линий разрежении, а поток делается параллельным. Результат построения при помощи диаграммы характеристик изображен на рис. 241.

Потоки, изображенные на рис. 234 и 235, также могут быть построены при помощи диаграммы характеристик. Два других примера такого способа построения потоков будут даны в § 11.