§ 9. Более точное исследование движении однородной жидкости без трения. Потенциальное течение.

До сих пор мы удовлетворялись в большинстве случаев определением только средних значений скорости течения жидкости. Между тем целью математической гидродинамики является определение скорости течения в каждой точке пространства, именно так, как об этом было сказано в § 2. Для однородной жидкости, лишенной трения, в этом направлении достигнуты довольно большие успехи, однако с помощью сложных математических методов, знания которых мы не можем предполагать у читателя настоящей книги. Поэтому мы ограничимся здесь только некоторыми общими рассуждениями о свойствах движения однородной жидкости без трения и некоторыми простыми примерами. Прежде всего мы остановимся на теореме В. Томсона [W. Thomson (Lord Kelvin)], доказательство которой отложим до конца параграфа. Предварительно введем и объясним некоторые понятия.

1. Жидкими линиями и жидкими поверхностями называются такие линии и поверхности, которые все время состоят из одних и тех же частиц жидкости.

2. Криволинейным интегралом скорости вдоль заданной кривой между точками называется интеграл от произведения линейного элемента кривой на составляющую скорости в направлении

следовательно,

где а есть угол между скалярное произведение векторов

3. Величина криволинейного интеграла скорости, взятого вдоль замкнутой кривой, называется циркуляцией и обозначается буквой Применяя для интеграла вдоль замкнутой кривой знак мы можем написать:

После этих предварительных объяснений мы можем сформулировать теорему Томсона: В однородной жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии остается все время постоянной. Из этой теоремы можно вывести много важных следствий. Первое из них заключается в следующем.

Если движение начинается из состояния покоя, то вначале, т. е. до возникновения движения, циркуляция вдоль каждой замкнутой жидкой линии заведомо равна нулю, поэтому и в дальнейшем она остается все время равной нулю. Но если в какой-нибудь области криволинейный интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, то криволинейный интеграл, взятый от одной точки А до какой-нибудь другой точки В рассматриваемой области, не зависит от пути, по которому производится интегрирование. В самом деле, пройдя из точки А в точку В по какому-нибудь пути, вернемся по этому же пути назад в точку А, а затем пройдем опять в точку В по новому пути. Мы получим сумму трех криволинейных интегралов которая пусть равна а. Из этих интегралов первые два взаимно уничтожаются, так как при прохождении в разные стороны по одному и тому же пути направления всех элементов изменяются на противоположные, следовательно, интеграл взятый по новому пути из равен а. С другой стороны сумма интегралов равна нулю, так как она составлена для замкнутой кривой, поэтому первый интеграл, взятый по старому пути от А к В, равен Следовательно, что и требовалось доказать.

Будем рассматривать точку А как неподвижную на жидкой линии

и вычислим криволинейный интеграл

для разных точек В. Тем самым мы припишем каждой точке В определенное число. Обозначим его через и назовем потенциалом в точке В. Перейдем теперь от точки В к точке С, находящейся от В на расстоянии и вычислим криволинейный интеграл Так как при составлении этого интеграла мы, очевидно, можем следовать от точки А к точке С, проходя через точку В, то мы будем иметь:

т. е.

Обозначая проекцию элемента на направление скорости через мы можем представить равенство (27) в виде:

Для мы имеем: и поэтому

Обратно, если то отрезок всегда перпендикулярен к направлению скорости Совокупность всех точек, для которых потенциал равен т. е. имеет некоторое постоянное значение, образует поверхность, проходящую через точку В и отделяющую область, в которой от области, где Плоскость, касательная к этой поверхности в точке В, согласно только что сказанному, перпендикулярна к вектору скорости в точке В. Отсюда следует, что линия тока, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости, везде ортогональны к поверхностям равного потенциала

Обозначая через мы получим из уравнения (27) для произвольных значений угла а соотношение

а из уравнения (28) — соотношение

причем отрезок согласно сказанному выше, перпендикулярен к поверхности Из равенства (29) следует, что наибольшее изменение потенциала происходит в направлении нормали к поверхности Это наибольшее изменение, равное называется градиентом потенциала и обозначается через Градиент представляет собой векторную величину. Так как вектор скорости согласно сказанному выше, перпендикулярен к поверхности то из равенства (30) следует, что скорость течения по величине и направлению равна градиенту потенциала В векторной форме равенство (30) записывается следующим образом:

Введенное нами геометрическим путем понятие потенциала совпадает с понятием потенциала сил, с той только разницей, что градиент потенциала сил равен напряженности силового поля, а градиент нашего потенциала равен скорости течения. Поэтому введенный нами потенциал называют, в отличие от потенциала сил, потенциалом скоростей, или потенциалом течения. Заметим, что между обоими потенциалами имеется еще одна, чисто условная разница: обычно принимают, что напряженность силового поля равна

а скорость течения равна

Можно было бы перед взять знак минус и тем самым обеспечить более полную аналогию с потенциалом сил. Так иногда и делается, однако для гидродинамических расчетов удобнее брать перед знак плюс, что мы в дальнейшем и будем делать.

Из всего сказанного следует, что при всяком движении однородной жидкости без трения, возникающем из состояния покоя, существует функция, называемая потенциалом и обладающая тем свойством, что ее градиент определяет скорость течения в любой точке потока. Движения жидкости, обладающие потенциалом скоростей, называются потенциальными течениями. При потенциальных течениях частицы жидкости не совершают вращения, что и является отличительным

свойством таких течений. В самом деле, мерой вращения частицы может служить циркуляция вдоль небольшой замкнутой кривой, но эта циркуляция в течениях однородных жидкостей без трения, возникающих из состояния покоя, согласно сказанному выше, равна нулю.

В качестве противоположного примера рассмотрим жидкость, которая вращается как твердое тело с угловой скоростью вокруг некоторой оси. Возьмем в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, площадку в виде окружности радиуса с центром на оси вращения и вычислим циркуляцию вдоль этой окружности. Так как линейная скорость течения в точках окружности равна и направлена по касательной к окружности, то

Если, кроме вращательного движения, жидкость обладает также поступательным движением, то последнее не надо учитывать, так как оно не влияет на циркуляцию. Разделив циркуляцию на площадь окружности мы получим:

Следовательно, величиной — удобно пользоваться в качестве меры вращения жидкости.

Если площадка расположена в плоскости, образующей с осью вращения угол а, то, как нетрудно видеть,

Таким образом, максимальное значение получается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Итак, при потенциальном течении циркуляция вдоль любой замкнутой линии, проведенной внутри жидкости, равна нулю, следовательно, частицы жидкости движутся без вращения. В прежнее время отсюда пытались вывести как следствие, что при движениях однородной, лишенной трения жидкости, возникших из состояния покоя, никогда не могут возникнуть вихри. Однако, если мы более внимательно рассмотрим процесс движения при образовании поверхности раздела (§ 7), то окажется, что все жидкие линии, проведенные внутри жидкости в состоянии покоя, движутся и деформируются так, что ни одна из них не

пересекает поверхности раздела. Поэтому теорема Томсона не позволяет сделать никаких заключений о взаимоотношении между частями жидкости, лежащими по разные стороны от поверхности раздела. Следовательно, возникновение в жидкости, практически лишенной трения, поверхностей раздела, а вместе с ними и вихрей, нисколько не противоречит теореме Томсона.

В реальных жидкостях, которые всегда обладают вязкостью, вместо поверхностей раздела образуются слои раздела, правда, обычно очень тонкие. Слой раздела всегда образуется из частиц, двигающихся в непосредственной близости от поверхности твердого тела, где влиянием трения нельзя пренебрегать даже при очень малой вязкости. Поэтому точный анализ явлений, происходящих внутри слоя раздела, возможен только на основе учета вязкости. Для изучения явлений, происходящих вне слоя раздела, но связанных с его существованием, обычно достаточно рассматривать вместо слоя раздела поверхность раздела. Влияние трения будет подробно рассмотрено в § 1-6 гл. III.

Рис. 54. Четырехугольник, вдоль которого вычисляется циркуляция

Рассматривая в § 6 течение, в котором постоянная Бернулли для всех линий тока одинакова, мы нашли, что в направлении, перпендикулярном к линии тока, скорость изменяется согласно уравнению

где есть радиус кривизны линии тока. Вычислим циркуляцию вдоль небольшого четырехугольника, образованного дугами двух соседних линий тока и отрезками двух смежных нормалей (рис. 54). Мы получим:

Последний член в скобках можно отбросить как величину более высокого порядка малости по сравнению с первым членом, сумма же первых двух членов равна нулю согласно приведенному выше равенству. Таким образом, при рассмотренном движении циркуляция вдоль любой замкнутой малой кривой равна нулю, следовательно, это движение потенциальное. Обратно, можно доказать (см. ниже), что если течение

потенциальное, то для него обязательно соблюдается уравнение Бернулли.

Математическое дополнение. Докажем теорему Томсона. Криволинейный интеграл скорости можно представить также в следующем виде:

где суть проекции скорости на оси координат проекции на те же оси линейного элемента Найдем производную от этого интеграла по времени в предположении, что кривая, вдоль которой производится интегрирование, состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Будем обозначать такое диференцирование символом (иногда в литературе встречается также обозначение Сначала вычислим производную которую можно представить следующим образом:

Первый член правой части на основании уравнений Эйлера [§ 4, уравнения (13)] равен

Что касается второго члена, то, очевидно, для фиксированной частицы

Но в таком случае

следовательно,

причем под следует понимать разность одновременных значений составляющей скорости и для двух частиц жидкой линии, находящихся в точках с координатами Поступая аналогичным образом с остальными двумя членами криволинейного интеграла, мы получим:

Предположим теперь, что массовая сила обладает потенциалом следовательно,

Далее предположим, что плотность зависит только от давления, иными словами, что жидкость однородная. В таком случае все три подинтегральных выражения в правой части равенства (33) могут быть проинтегрированы. Следовательно, производная от криволинейного интеграла вдоль жидкой линии между точками которые все время должны совпадать с соответствующими частицами жидкости, равна

где, как и в § 4, введено обозначение:

Если интегрирование производится вдоль замкнутой кривой, то точки совпадают, и правая часть равенства (34) делается равной нулю. Таким образом, теорема Томсона доказана. По поводу допущений, сделанных при ее доказательстве, заметим следующее. О том, что силовое поле должно иметь потенциал, мы не упомянули в приведенной выше формулировке теоремы, так как исходили из предположения, что массовые силы не проявляют своего действия. Второе, более важное допущение — об однородности жидкости — было указано в формулировке теоремы. Для неоднородной жидкости теорема Томсона не имеет места.

Покажем теперь, что если установившееся течение потенциальное, то для него обязательно соблюдается уравнение Бернулли. Пусть частица жидкости движется со скоростью, составляющие которой равны Составляющие угловой скорости вращения связаны со скоростями следующими соотношениями:

Для того чтобы все три составляющие угловой скорости были равны нулю, должны соблюдаться условия:

Но если течение потенциальное, т. е. обладает потенциалом скоростей то

Подставляя эти выражения в равенства (36), мы получим:

Следовательно, равенства (36) тождественно выполняются, так как, если есть функция координат, то всегда

Умножим теперь уравнения Эйлера (13) соответственно на и сложим; мы получим:

где для следует взять их выражения (12). Имея в виду условия (36), выражения (12) можно преобразовать следующим образом:

Предполагая, что массовая сила имеет потенциал и что плотность зависит только от давления, и подставляя значения (38) в уравнение (37), мы получим:

Все выражения в квадратных скобках можно проинтегрировать, не налагая никаких ограничений на путь интегрирования. В результате мы получим:

Так как интегрирование выполнено нами для определенного момента времени, то постоянная в правой части уравнения (39) в разные моменты времени может принимать, вообще говоря, разные значения (например, в том случае, когда давление в пространстве, занимаемом жидкостью, изменяется путем внешнего воздействия). Поэтому правильнее в правой части написать вместо Если движение установившееся, и уравнение (39) переходит в уравнение Бернулли.