§ 3. Движение тел в вязких жидкостях. Формула Стокса. Пограничный слой.

Математическое изучение движения тел в вязкой жидкости сопряжено со столь большими трудностями, что до сих пор такому изучению оказались доступными только предельные случаи, а именно, случай очень большой вязкости, т.е. очень малого числа Рейнольдса, и случай очень малой вязкости, т.е. очень большого числа Рейнольдса.

Если в потоке преобладают силы вязкости, что имеет место, с одной стороны, в очень вязких жидкостях (например, в моторном масле), а с другой стороны, также в обычных жидкостях при весьма малых размерах, определяющих движение, то можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами вязкости и считать, что перепад давления и силы трения, приложенные к любой части жидкости, уравновешивают друг друга. Согласно сказанному в § 2, в геометрически подобных потоках силы трения, отнесенные к единице объема, пропорциональны Так как силы давления уравновешиваются с силами трения, то и они должны быть пропорциональны Следовательно, в рассматриваемом случае геометрическое подобие влечет за собой всегда и механическое подобие. Так как сравниваемые объемы относятся как 13, то полные силы сопротивления относятся как произведения

Для некоторых тел простой формы удалось произвести расчет потока и определить сопротивление при движении тела. Наиболее известным является решение Стокса для движения шара. Для величины сопротивления Стоке получил формулу

где а есть радиус шара, скорость его движения. Эта формула, называемая формулой Стокса, имеет важное значение для расчета падения маленьких капель. Так как в этом случае сопротивление следует принять равным весу капли за вычетом поддерживающей силы, то мы можем написать:

где есть плотность падающей капли, а плотность окружающей среды. Отсюда мы получаем скорость падения:

Эта формула применима только для таких движений, при которых число Рейнольдса мало по сравнению с единицей. Для падения водяных капель в воздухе формула (11) принимает вид:

причем а следует брать в сантиметрах. Из условия, что получается, что формула (11) верна только для капель, радиус которых меньше Из таких капель состоит туман.

Движения жидкости, при которых число Рейнольдса меньше единицы, называются ползущими течениями.

При движениях с очень большими числами Рейнольдса влияние трения делается совершенно ничтожным. Такие движения совпадали бы с движениями жидкости без трения, рассмотренными в §4-12 гл. II, если бы не было условия прилипания к стенкам, которому жидкость, лишенная трения, не может удовлетворять. Более детальное исследование показывает, что жидкость, обладающая малым трением, при движениях с большими числами Рейнольдса ведет себя вдали от стенок совершенно так же, как жидкость, лишенная трения; но около стенок она образует вследствие трения тонкий пограничный слой, в котором скорость изменяется от значения, соответствующего движению без трения, до значения, соответствующего условию прилипания. Пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость. Так как внутри пограничного слоя в направлении, перпендикулярном к движению, скорость изменяется довольно быстро, то даже при очень малой вязкости здесь получаются такие силы трения, которые сравнимы с силами инерции и поэтому не могут быть отброшены, как вдали от стенок, где они ничтожно малы по сравнению с силами инерции.

Рис. 92. Распределение скоростей вблизи стенки

На рис. 92 показано распределение скоростей в пограничном слое. Если толщина пограничного слоя представляет собой величину порядка а размер тела в направлении течения — величину порядка I, то сила трения на единицу объема, равная, согласно сказанному в конце § 1, (направление у нормально к поверхности тела), будет иметь порядок а сила инерции на единицу объема, как и раньше, — порядок Так как в пограничном слое обе эти силы представляют собой величины

одного и того же порядка, то величины и пропорциональны друг другу, т. е.

(знак ~ означает «пропорционально»), откуда получается формула:

дающая оценку для толщины пограничного слоя.

Рис. 93. Течение вдоль пластинки

Этот же результат можно получить, применяя теорему о количестве движения к потоку вдоль плоской пластинки. Пусть пластинка имеет длину I и ширину 6; скорость течения пусть равна наконец, толщина пограничного слоя пусть приближенно равна (рис. 93). Тогда масса, входящая за одну секунду в пограничный слой, будет пропорциональна величине Эта масса, вступающая в пограничный слой со скоростью теряет здесь некоторую долю своей скорости, что приводит к соответствующей потере количества движения, которая будет пропорциональна величине Изменение количества движения должно быть равно силе, действующей на жидкость вследствие трения около стенки. Эта сила, согласно равенству (1), пропорциональна , следовательно,

откуда по-прежнему получаем:

или

Таким образом, отношение является функцией только числа Рейнольдса. Такая зависимость имеет место для всех пограничных слоев с установившимся движением.

В формулу (12) можно ввести время которое требуется отдельным частицам жидкости для того, чтобы пройти вдоль тела. Для частиц, двигающихся не слишком близко от поверхности тела, этот промежуток времени пропорционален поэтому формулу (12) можно переписать в следующем виде:

Формулу (13) можно применять также к движениям, которые только что начались из состояния покоя. В этом случае из нее следует, что толщина пограничного слоя возрастает в первый период движения пропорционально корню квадратному из времени.

Итак, всякое тело, движущееся в жидкости, обладающей небольшим трением, увлекает за собой тонкий слой жидкости. Такой же тонкий слой образуется и при движении жидкости в коротком канале около его стенок, но теперь этот слой отстает от общего потока жидкости. В длинных каналах пограничный слой постепенно, по мере удаления от входа в канал, увеличивается в толщине [согласно формуле (12) пропорционально корню квадратному из расстояния от входа] и в конце концов заполняет весь просвет канала. Это означает, что в длинных каналах влияние трения распространяется на все поперечное сечение. Такое увеличение толщины пограничного слоя во многих случаях происходит значительно быстрее, чем это следует из формулы (12); причиной этого является процесс перемешивания жидкости, называемый турбулентностью (см. § 4).

Касательные напряжения, возникающие на стенке при ее обтекании (рис. 92), складываясь по всей поверхности стенки, дают сопротивление трения. Для случая пластинки, обтекаемой жидкостью с двух сторон (рис. 93), легко получить приближенную оценку величины этого сопротивления. В самом деле, касательное напряжение равно

следовательно, имеет место пропорциональность

или, на основании формулы (12),

Если ширина пластинки равна то полная площадь соприкосновения с потоком будет Умножая эту площадь на мы получим искомое сопротивление:

Подробнее о сопротивлении пластинок будет сказано в §5 (стр. 180).

В существовании пограничного слоя можно убедиться при помощи следующего простого опыта. Поместим в не слишком быстрый поток воды какое-нибудь тело (пластинку, цилиндр, шар и т. п.) и подведем через заостренную стеклянную трубочку немного окрашенной жидкости к какому-нибудь месту обтекаемого тела. Убрав трубочку, мы увидим, что около поверхности тела еще долгое время остается тонкий окрашенный слой жидкости. Очевидно, что этот слой возникает вследствие прилипания частиц окрашенной жидкости к поверхности тела.

Математическое дополнение. Движение жидкости в пограничном слое может быть исследовано при помощи точных математических приемов. Как уже было сказано, в жидкости с исчезающе малой вязкостью пограничный слой получается очень тонким. Поэтому вполне допустимо внутри пограничного слоя пренебрегать разностью давлений в различных точках нормалей к стенке. В противоположность этому разности скоростей в отдельных точках нормалей весьма значительны, так как переход от скорости слоя, прилипающего к стенке, к скорости потока за пределами пограничного слоя совершается на очень коротком отрезке. Ввиду этого в выражении (7) для силы трения, отнесенной к единице объема, члены будут значительно меньше члена следовательно, могут быть отброшены (мы предполагаем, что ось х проведена в направлении потока, а ось у — в направлении нормали).

Для двухмерного потока можно пренебречь также кривизной пограничного слоя и поэтому считать, что координата х совпадает с длиной дуги линии

тока вдоль стенки. В таком случае для движения жидкости в пограничном слое получается следующая система диференциальных уравнений:

причем давление следует рассматривать как функцию от определяемую внешним потоком, т. е. потоком, лежащим вне пограничного слоя. На стенке имеют место граничные условия:

Кроме того, на стенке

как это следует из уравнения (15) после подстановки в него значений Решение этой системы уравнений может быть получено путем разложения в ряд. Для случая пластинки коэффициент пропорциональности в формуле (12) получается равным поэтому приближенно можно положить, что