§ 13. Непрерывное изменение плотности

а) Теорема В. Бьеркнеса. В § 9 гл. II (стр. 82) мы доказали теорему Томсона о том, что в жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии не изменяется во времени. Необходимым условием для доказательства было предположение, что плотность жидкости или имеет постоянное значение, или, как в случае однородных газов, зависит только от давления. Для иного, более общего случая распределения плотности теорема Томсона неприменима. В самом деле, теперь интеграл

в уравнении (33) на стр. 88, взятый вдоль замкнутой линии, не равен нулю. Для того чтобы подсчитать его значение при любом законе распределения плотности воспользуемся векторным исчислением, так как вычисления в координатной форме довольно кропотливы и требуют много места. В векторной форме указанный выше криволинейный

интеграл записывается следующим образом:

где есть элемент жидкой линии. Согласно теореме Стокса, этот интеграл, взятый вдоль замкнутой линии, равен поверхностному интегралу

взятому по площади ограниченной замкнутой линией. Но мы имеем:

Так как ротация градиента равна нулю, то последний член в равенстве (59) отпадает, и мы получаем:

Обозначая циркуляцию через мы будем иметь:

Если везде параллелен то подынтегральное выражение равно нулю, и мы по-прежнему получаем, что

Если же поверхности каждая из которых перпендикулярна к соответствующему градиенту, пересекаются друг с другом, то правая часть формулы (60) не равна нулю.

В. Бьеркнес дал для интеграла в правой части формулы (60) очень наглядное геометрическое толкование. Пусть проведены все поверхности с интервалом и все поверхности есть объем единицы массы) с интервалом тогда каждая пара соседних поверхностей образует с каждой парой соседних поверхностей трубку, поперечное сечение которой представляет собой параллелограмм (рис. 297). В. Бьеркнес показал, что интеграл в правой части формулы (60) пропорционален числу трубок, окруженных жидкой линией.

Рис. 297. Трубка, образованная пересечением поверхностей

Для доказательства вычислим прежде всего площадь поперечного сечения трубки. Это поперечное сечение представляет собой параллелограмм, плоскость которого перпендикулярна к линиям пересечения обоих семейств Если есть расстояние между двумя соседними поверхностями между двумя соседними поверхностями то площадь параллелограмма, очевидно, равна

Если вместо поперечного сечения, перпендикулярного к стенкам трубки, взять косое сечение, то мы получим другой параллелограмм, наклоненный относительно первого на некоторый угол (3. Площадь наклонного параллелограмма, очевидно, равна

Так как

то мы имеем

Знаменатель этого выражения совпадает с подынтегральным выражением в формуле (60). В самом деле, синус появляется в результате векторного произведения, а косинус — в результате скалярного произведения. Число параллелограммов с площадью на единице площади равно

Полное число таких параллелограммов на площади замыкаемой жидкой линией, будет

Сравнивая это равенство с формулой (60), мы получим:

Знак в каждом отдельном случае легко определить из того соображения, что более плотные части жидкости стремятся двигаться вниз, а менее плотные — вверх. Теорема Бьеркнеса пригодна главным образом для качественного исследования. Применение ее для количественного исследования затрудняется тем, что обычно поле давлений ускоренного течения точно не известно. Исключение составляют течения в таком пространстве, горизонтальное протяжение которого во много раз превышает вертикальное протяжение. Этот случай имеет место в большинстве метеорологических приложений. При течениях в таком пространстве вертикальные ускорения вследствие условия неразрывности малы по сравнению с горизонтальными ускорениями, и поэтому давление на каждой вертикали можно определять на основании законов гидростатики. Для вычислений, однако, целесообразно пользоваться не тем интегралом, который получился в правой части формулы (60), а его исходной формой, т.е. интегралом

Так как теперь

то при интегрировании вдоль вертикальных отрезков жидкой линии получается просто при интегрировании же вдоль отрезков жидкой линии, расположенных на изобарных поверхностях, получается нуль.

b) Внутренние волны в несжимаемой среде. В каждой расслоенной среде, находящейся в устойчивом состоянии, возможны внутренние волновые движения. До настоящего времени исследованы главным образом простые формы таких движений, в том числе так называемые ячейковые волны. При таком волновом движении все пространство разбивается на отдельные ячейки, как бы ограниченные жесткими стенками. Колебания во всех ячейках происходят с одинаковой частотой. Наиболее простым случаем являются плоские стоячие волны в несжимаемой расслоенной жидкости.

Пусть жидкость расслоена так, что плотность в состоянии покоя связана с высотой z соотношением

где есть плотность около дна. В таком случае все ячейки получаются конгруэнтными, и амплитуда волн с увеличением высоты возрастает в такой мере, что энергия волнового движения в каждой ячейке получается одинаковой; поэтому скорость с увеличением высоты возрастает так же, как величина При такой форме волнового движения в бесконечном пространстве содержится бесконечно большая энергия, следовательно, это волновое движение представляет собой не что иное, как вынужденные колебания, развившиеся в течение бесконечно большого промежутка времени. Вынужденные колебания, развивающиеся в течение конечного промежутка времени, до сих пор не изучены.

Так как плотность является теперь функцией положения в пространстве, то при выполнении вычислений необходимо различать друг от друга отдельные частицы жидкости, следовательно, уравнений движения в форме Эйлера недостаточно. Однако нет нужды прибегать к уравнениям движения в форме Лагранжа, так как вследствие математических трудностей приходится ограничиваться пока только случаем малых амплитуд. В этом случае можно выразить перемещения частицы в виде функций от ее координат неподвижном пространстве и от времени

Линеаризованные уравнения для двухмерного течения суть функции от при условии несжимаемости жидкости получаются следующим путем.

1. Вследствие перемещения мгновенная плотность в какой-либо точке отличается от плотности соответствующей состоянию покоя, на величину следовательно

Отсюда, имея в виду, что в точке в данный момент находится частица, первоначально находившаяся на уровне и сохраняя малые величины только первого порядка малости, мы получим:

или, после подстановки вместо его значения из уравнения (62)

2. Условие неразрывности выражается уравнением:

3. Уравнения движения для направлений х, z после линеаризации принимают следующий вид:

(слева вместо

Для указанного выше случая малых амплитуд при плоском течении получаются следующие перемещения С и

Эти формулы показывают, что рассматриваемое движение представляет собой стоячие ячейковые волны (рис. 298) с горизонтальной длиной

и с вертикальной длиной

Для круговой частоты связанной с периодом колебаний соотношением

вычисления дают значение

Если наложить на эти волны другие волны такого же вида, но смещенные в направлении х на четвертую часть длины волны и имеющие фазу, смещенную на четвертую часть периода колебаний, то получатся горизонтальные бегущие волны, фазовая скорость которых равна

Рис. 298. Стоячие ячейковые волны гравитационного типа

Рис. 299. Установившиеся волны

Если на поле скоростей таких волн наложить поле скоростей то получится установившееся течение с волнообразными линиями тока (рис. 299). Взяв для (3 определенное значение, мы можем вычислить при помощи формулы (65) для заданного значения соответствующее значение а, следовательно, и длину волны Так, например, для чему соответствует или, иными словами, одинаковая фаза колебаний для всех z, мы получим:

Если скорость мала по сравнению со скоростью возникающей при падении с высоты то в правой части формулы (66) можно пренебречь членом по сравнению с единицей, и мы получаем из этой формулы примечательный результат: длина установившихся волн пропорциональна скорости течения в то время как длина установившихся волн, образующихся на свободной поверхности глубокой воды, равна

т. е. пропорциональна квадрату скорости Еще нагляднее особые свойства ячейковых волн выявляются из формулы (64), особенно в том случае, когда Легко видеть, что для всех волн с длиной малой по

сравнению с получается практически одинаковый, не зависящий от период колебаний

И случае же волн на свободной поверхности воды период колебаний, как это следует из равенств (60) и (62) на стр. 129 и 129, равен

т.е. зависит от длины волны

В общем случае ячейковые волны имеют три измерения. Путем наложения друг на друга ячейковых волн с разными длинами получаются волны более общего вида, причем не всегда ячейковые. Эти волны до настоящего времени мало изучены. Практически интересный случай таких волн будет рассмотрен ниже, на стр. 501.

Таким образом, мы видим, что в расслоенной весомой жидкости с плотностью, убывающей снизу вверх, возможны очень разнообразные колебательные движения, следовательно, поведение такой жидкости совершенно не похоже на поведение однородных жидкостей. Решения, получаемые при исследовании колебаний в расслоенной жидкости, в отличие от аналогичных задач для однородных жидкостей, не однозначны. Они делаются однозначными только тогда, когда принимаются во внимание силы трения или когда возникновение движения из состояния полного покоя расчленяется на ряд последовательных этапов. Математическое исследование обоих этих случаев наталкивается на большие затруднения.

с) Внутренние волны в сжимаемой среде. Исследование ячейковых волн, возникающих в сжимаемой расслоенной среде, например, в расслоенном весомом газе, температура которого везде одинакова, труднее, чем изучение таких же волн в несжимаемой среде, так как при вычислениях необходимо учитывать, что каждая отдельная частица газа при колебательном движении адиабатически изменяет свое состояние. Из уравнения (3) гл. IV следует, что в этом случае изменения давления связаны с изменениями плотности соотношением

где есть скорость звука, равная

Рис. 300. Стоячие ячейковые волны звукового типа

Как показывают исследования, в сжимаемой среде возможны два типа ячейковых волн. Волны первого типа характерны тем, что они колеблются сравнительно медленно и что основной причиной их возникновения являются перемещения центра тяжести частиц жидкости. Ячейковые волны, возникающие в несжимаемой среде, принадлежат к этому же типу. Волны второго типа колеблются значительно быстрее, и основной причиной их возникновения является последовательное сжатие и расширение частиц жидкости. Линии тока волн второго типа изображены на рис. 300. Если велико по сравнению с следовательно, если или или оба они малы по сравнению с где теперь означает высоту однородной атмосферы, равную круглым числом (см. стр. 28), то для круговой частоты обоих типов волн получаются следующие приближенные формулы:

В этих формулах имеют тот же смысл, что и раньше, а к есть отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Мы видим, что формула (67) отличается от формулы (64) только множителем если не считать некоторой разницы в последнем слагаемом знаменателя, которое нами в формулах (67) и (68) не выписано.

От стоячих волн можно перейти к бегущим волнам совершенно так же, как это было сделало в пункте Скорость бегущих волн второго типа равна

т.е. больше скорости звука. Эти волны можно рассматривать, как результат наложения друг на друга двух звуковых волн, фронты которых наклонены относительно вертикали на углы

Если ввести угол в формулу (69), то мы получим:

Колебания в земной атмосфере в предположении, что она изотермическая, впервые подробно были изучены Маргулесом.

С практической точки зрения представляет интерес возмущение, вызываемое в горизонтальном потоке воздуха, движущемся со скоростью препятствием в виде горной гряды умеренной высоты, расположенной перпендикулярно к направлению потока. Лира исследовал такой случай для изотермической атмосферы и показал, что возмущение выражается суммой бесселевых функций от аргумента умноженных на круговые функции от и на где есть расстояние от центра возмущения на поверхности земли, угол и А — длина волны, которая приближенно равна

Полученное решение — неоднозначное, но оно делается таким, если ввести дополнительно требование об апериодическом характере результирующего движения на наветренной стороне горы. Заметим, что такое же требование вводится в родственных задачах гидродинамики. Формула (70) приближенно применима также к случаю политропической атмосферы необходимо только подставить в нее вместо величину принять равным высоте соответствующей

Рис. 301. Волны над краем плоскогорья

однородной атмосферы (стр. 28). На рис. 301 изображено для политропической атмосферы распределение вертикальных скоростей, вызванных препятствием в виде плоскогорья высотой Для наглядности масштаб вдоль вертикальной оси взят в три раза больше масштаба вдоль горизонтальной оси. Мы видим, что первая зона восходящего движения воздуха расположена непосредственно около края плоскогорья. За первой зоной, на расстоянии примерно одной волны от края плоскогорья, расположена вторая зона, а за нею — на расстоянии — следующие, более слабые зоны восходящих движений воздуха. Такие восходящие движения воздуха около гор, как известно, представляют большой интерес для полетов на планерах.

Скорость восходящего движения воздуха пропорциональна

где есть высота плоскогорья; множитель пропорциональности следует отсчитывать по рис. 301. Мы видим, что скорость восходящего движения не зависит от скорости ветра От скорости ветра зависит только А, т. е. горизонтальное протяжение восходящих движений. Заметим, что результаты, полученные Лирой, применимы только к тому случаю, когда скорость восходящего движения мала по сравнению со скоростью ветра следовательно, только для ограниченной высоты плоскогорья.

Как показал Штюмке, при встрече ветром на своем пути

плоскогорья горизонтальная составляющая и скорости возмущения отнюдь не затухает полностью по мере удаления от края плоскогорья. Кроме того, эта составляющая при увеличении высоты z переходит от положительных к отрицательным значениям, затем от отрицательных опять к положительным и т.д., причем амплитуда этих колебаний возрастает с высотой. Наконец, эта составляющая зависит только от высоты плоскогорья, но не от скорости ветра Длина волны по-прежнему определяется формулой (70). Этот пример еще раз показывает, насколько сильно расслоенная жидкость отличается по своему поведению от однородной жидкости.

В наших обозначениях асимптотическая формула, полученная Штюмке для скорости и, имеет вид:

Эта формула применима опять только до тех пор, пока скорость и мала по сравнению со скоростью При увеличении высоты скорость и безгранично возрастает (удваивается на каждые Что происходит, когда скорость и уже не мала по сравнению с до настоящего времени не исследовано. Наблюдения, сделанные в Голландии и Норвегии над облаком, образовавшимся при полете метеорного тела над Шотландией (это облако оставалось очень долго видимым на фоне вечернего неба), показали, что такого рода распределения скоростей действительно возникают на больших высотах. Сначала облако было заметно в виде приблизительно прямой черты, затем оно приняло довольно точно форму синусоиды с несколькими изгибами и, наконец, стало вытягиваться в ширину в горизонтальном направлении.

d) Затухание турбулентности при движении устойчиво расслоенной жидкости. Устойчивое расслоение весомой жидкости, движущейся со скоростью, изменяющейся по высоте, способствует уменьшению степени турбулентности. В самом деле, при таком расслоении турбулентное перемешивание в вертикальном направлении приводит к поднятию более тяжелых частей жидкости и, наоборот, к опусканию более легких частей, следовательно, в обоих случаях выполняется определенная работа. Интересным примером такого явления может служить успокоение ветра вблизи поверхности земли в летние безоблачные вечера, Между тем как на высоте ветер продолжает дуть с прежней скоростью. Такое успокоение ветра происходит потому, что вследствие теплового излучения нагретой земли создается вблизи ее поверхности очень устойчивое расслоение. Возникает вопрос, какие должны соблюдаться условия для

того, чтобы выполнение указанной выше работы привело к затуханию турбулентного перемешивания в вертикальном направлении (горизонтальное перемешивание остается при этом, конечно, неизменным).

Очевидно, что основную роль в таком затухании играет изменение скорости ветра с высотою. Согласно сказанному в § 4, п. d) гл. III порядок величины вертикальной пульсации турбулентного движения определяется соотношением

где есть скорость ветра, длина пути перемешивания. Следовательно, кинетическая энергия вертикального движения скопления частиц в виде шара объемом V будет

Для того чтобы поднять это скопление из слоя в котором оно находилось в равновесии, в слой необходимо приложить силу, равную разности веса этих частиц и статической поддерживающей силы, т.е. силу

Работа, выполняемая этой силой на пути будет

Приравнивая кинетическую энергию работе, мы получим:

Это соотношение дает, очевидно, только верхнюю границу для — т.е. для уменьшения плотности с высотой, при переходе через которую всякое турбулентное движение должно сразу затухать. В действительности же для затухания турбулентности достаточно, чтобы отдельные

возмущения ослаблялись так, чтобы следующие за ними возмущения также делались более слабыми. Отношение левой части равенства (72) к правой части, т.е.

называется числом Ричардсона — в честь ученого, впервые занимавшегося рассматриваемой задачей, и обозначается через R. Тэйлор, исследуя малые колебания в расслоенной жидкости, движущейся со скоростью нашел, что нижней границей для затухания турбулентности, по-видимому, является число Ричардсона, равное

Полученный результат можно распространить также на случай сжимаемой среды. Выделим в среде объем с такой же плотностью как и вокруг этого объема, и поднимем его на высоту давление при этом изменится на величину которая, согласно равенству (8) гл. I, равна

Пусть изменение состояния в поднятом объеме происходит адиабатически по закону

следовательно, в нашем случае мы будем иметь:

Вычислим теперь разность между собственным весом поднявшегося объема и его статической поддерживающей силой А. Собственный вес равен

Поддерживающая сила зависит от рода расслоения окружающей среды. Если это расслоение — политропическое, т. е. определяется уравнением

то тогда

и поддерживающая сила будет

Таким образом, разность между собственным весом поднявшегося объема и его поддерживающей силой равна

Так как

где есть высота однородной атмосферы (стр. 28), а

то

Для ранее рассмотренного случая несжимаемой жидкости эта разность равна

Сравнивая равенства (73) и (74), мы видим, что для сжимаемой среды, в которой давление изменяется по политропе, в формуле (72) следует заменить величину на

Из сказанного ясно, почему в формулы для колебаний сжимаемой среды, приведенные в пункте с), входит множитель Эти формулы были выведены для изотермической атмосферы, для которой и поэтому указанная выше величина для атмосферы равна

Так как

где

число Ричардсона можно представить также в следующем, более общем виде:

Далее, имея в виду уравнение состояния

где есть газовая постоянная, абсолютная температура, мы получим:

Но

где есть потенциальная температура, и окончательными выражением числа Ричардсона будет:

Потенциальной температурой называется та температура, которую приняла бы какая-нибудь частица воздуха, если бы она была адиабатически сжата до нормального давления, например, до

Перемешивание устойчиво расслоенной массы воздуха, возникающее при сильном ветре вследствие турбулентности, приводит к тому, что расслоение воздуха постепенно приближается к адиабатическому состоянию, т. е. к состоянию безразличного равновесия. Турбулентный перенос тепла (см. стр. 165 и следующую), осуществляющий такое изменение состояния, определяется, согласно В. Шмидту, уравнением

При устойчивом расслоении величина отрицательна, т. е. перенос тепла происходит вниз и поэтому способствует выравниванию потенциальной температуры. Если при этом

как это обычно и бывает, то тепло переносится из более холодного места в более теплое. На основании сказанного на стр. 502-505, такое явление термодинамически возможно за счет затраты энергии турбулентного потока воздуха. Следовательно, мы имеем здесь пример своеобразной холодильной машины.