§ 4. Силы в движущейся жидкости. Уравнение Бернулли.

Как мы видели в гл. I, в покоящейся жидкости действуют и дают уравновешенную систему два рода сил: силы тяжести (и другие массовые силы) и разности давлений. Эти же силы действуют и в движущейся жидкости, но здесь к ним присоединяется еще трение жидкости, которое следует рассматривать как сопротивление деформации. Трение жидкости подробно будет рассмотрено в следующей главе, в этой же главе мы будем им пренебрегать. Жидкости, наиболее важные для техники (вода, воздух и др.), обладают очень малой вязкостью, и поэтому во многих случаях сопротивление, возникающее в них вследствие трения, столь мало, что пренебрежение им вполне оправдано. Кроме того, такое пренебрежение трением является и необходимым, так как только в этом случае соотношения между силами получаются достаточно простыми для того, чтобы можно было вывести из них наглядные закономерности. Поэтому обычно принято основные законы движения жидкостей выводить на основе идеализированного представления о жидкости, лишенной трения, и только после этого учитывать, какие изменения вносит наличие трения в идеальное поведение жидкости. Мы также будем следовать этому пути, причем предположим, что рассматриваемая нами идеальная жидкость обладает также свойством несжимаемости, следовательно, никаких изменений объема при Кроме того, такое пренебрежение трением является и необходимым, так как только в этом случае соотношения между силами получаются достаточно простыми для того, чтобы можно было вывести из них наглядные закономерности. Поэтому обычно принято основные законы движения жидкостей выводить на основе идеализированного представления о жидкости, лишенной трения, и только после этого учитывать, какие изменения вносит наличие трения в идеальное поведение жидкости. Мы также будем следовать этому пути, причем предположим, что рассматриваемая нами идеальная жидкость обладает также свойством несжимаемости, следовательно, никаких изменений объема при движении не происходит.

Для того чтобы найти соотношение между давлением и массовой силой, с одной стороны, и кинематическими величинами — с другой,

будем исходить из основного закона динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в движущейся жидкости частицу в виде небольшого цилиндра с осью, расположенной вдоль линии тока s (рис. 28). Пусть высота цилиндра равна а поперечное сечение равно Тогда масса цилиндра будет

Если в жидкости трение отсутствует, то на выделенный цилиндр действует прежде всего разность давлений. Пусть давление на основание цилиндра, расположенное выше по течению равно тогда сила, действующая на это основание, равна На основании цилиндра, лежащем ниже по течению, давление немного отличается от и равно соответствующая сила по величине равна но направлена она в сторону, противоположную силе Следовательно, вследствие разности давлений на цилиндр действует сила

Рис. 28. К выводу уравнения Бернулли

Далее, на жидкость действует массовая сила (например, сила тяжести), величина которой, отнесенная к единице массы, пусть будет На выделенный цилиндр действует в направлении течения составляющая этой силы, равная

где а есть угол между линией действия массовой силы и линией тока.

Теперь нам остается определить составляющую ускорения в направлении течения, т. е. касательное ускорение. Пусть скорость частицы равна Величина зависит от положения частицы на линии тока и от времени, следовательно, она является функцией от поэтому для касательного ускорения мы будем иметь выражение:

или, принимая во внимание, что

В этом равенстве величина выражает ту часть ускорения, которая возникает вследствие перемещения частицы в точку потока с другой скоростью течения, а величина — ту часть ускорения, которая зависит от изменения состояния потока в данной точке во времени. При установившемся течении вторая часть, очевидно, равна нулю. Применяя основной закон динамики, мы получим:

Так как все члены уравнения содержат общий множитель то его можно отбросить (это означает, что конечный результат нашего вывода не зависит от произвольно выбранного объема частицы жидкости). Разделив обе части уравнения на мы окончательно будем иметь:

Массовой силой обычно является только одна сила тяжести. Тогда величину можно считать постоянной по модулю и направлению. Введем систему координат с осью z, направленной вертикально вверх. Из рис. 29 легко видеть, что в этом случае

поэтому уравнение (7) можно переписать в виде:

Рис. 29. К выводу уравнения Бернулли

Если рассматриваемое движение — установившееся, следовательно, а плотность постоянная, то все члены уравнения (8) представляют собой производные по и поэтому его можно интегрировать вдоль линии тока, что приводит к следующему так называемому уравнению Бернулли:

Это уравнение является основным уравнением при одномерном рассмотрении задач о движении жидкостей, но в то же время оно имеет фундаментальное значение для всей гидромеханики. Оно выражает

собой закон сохранения энергии движущейся жидкости. В самом деле, каждый из его членов представляет собой энергию, заключенную в единице массы жидкости, а именно: первый член есть не что иное, как работа сил давления, второй — потенциальная энергия силы тяжести и третий — кинетическая энергия.

Разделим все члены уравнения (9) на тогда все они будут иметь размерность длины и могут быть истолкованы как высоты. Если ввести в уравнение (9) удельный вес то оно примет вид:

В этом уравнении величина означает, согласно § высоту столба жидкости, создающего своим весом давление и поэтому называется пьезометрической высотой. Величина z есть высота рассматриваемой точки потока над какой-нибудь начальной горизонтальной плоскостью и поэтому называется геометрической высотой. Наконец, величина есть высота, с которой тело должно упасть, чтобы при свободном падении приобрести скорость и поэтому называется скоростной высотой. Таким образом, согласно уравнению Бернулли, сумма пьезометрической, геометрической и скоростной высот на всем протяжении линии тока остается постоянной. При этом значение постоянной на различных линиях тока может быть различным. Однако, если все линии тока начинаются в областии прямолинейно, то постоянная одинакова для всех линий тока. Следовательно, в этом случае уравнение Бернулли применимо ко всему потоку в целом.

В § 6 предыдущей главы мы имели для покоящейся жидкости уравнение (7) которое можно переписать в следующем виде:

Как легко видеть, оно получается из уравнения Бернулли (10), если в последнем положить или

Заметим, что рассмотренный нами частный случай течения идентичен с установившемся потенциальным течением, исследованием которого мы займемся ниже.

Интегрирование уравнения (7) возможно и в том случае, когда массовой силой является не сила тяжести, а какая-нибудь другая сила, но при условии, что она обладает потенциалом В самом деле, в таком случае можно

положить, что

Если жидкость сжимаемая, то интегрирование уравнения (7) возможно при условии, что жидкость однородная, следовательно, плотность есть функция только давления. Тогда

и поэтому можно написать:

Интегрируя теперь по мы получим уравнение Бернулли для установившихся течений в его общем виде:

Математическое дополнение. При трехмерном рассмотрении задач о движении жидкостей вместо одного дифференциального уравнения движения (7) или (8) получаются три дифференциальных уравнения. Выведем эти уравнения, по-прежнему исходя из основного закона динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в движущейся жидкости маленький параллелепипед с ребрами параллельными осям прямоугольной системы координат Объем этого параллелепипеда равен а масса равна . В направлении оси х разность давлений на грани, перпендикулярные к оси дает силу аналогичным образом для направлений мы получим силы — и Проекции массовой силы, отнесенной к единице массы, обозначим через следовательно, проекции массовой силы, действующей на параллелепипед, будут равны

Наконец, проекции скорости на оси координат пусть будут и, Тогда проекция ускорения на ось будет равна

или имея в виду, что

Применяя основной закон динамики для направления оси х, мы получим:

Аналогичные уравнения мы получим и для осей Сокращая на мы будем иметь:

причем вместо и следует подставить их развернутые выражения

согласно равенству (12). Уравнения (13) называются уравнениями Эйлера. Для того чтобы показать, как они могут быть применены, выведем из них уравнение Бернулли для какой-нибудь линии тока.

Умножим уравнения (13) соответственно на разделим каждое из них на и затем сложим. Мы получим

Далее, примем, что величины удовлетворяют соотношениям

Это означает, что величины являются проекциями элемента линии тока на оси координат. На основании равенства (12) первый член левой части уравнения (14) можно переписать в следующем виде:

или, на основании соотношений (15), в виде:

Выражение в скобках есть не что иное, как изменение величины и при перемещении вдоль линии тока; оно равно Поэтому предыдущее равенство принимает вид:

Аналогичный вид будут иметь и второй и третий члены левой части уравнения (14). Предположим для простоты, что рассматриваемое течение — устать новившееся. Тогда члены с производными и отпадут, и мы будем

иметь:

Если массовая сила имеет потенциал следовательно, если

то сумма первых трех членов в правой части уравнения (14) будет равна

Наконец, выражение в скобках в правой части уравнения 14 можно представить в виде:

Таким образом, уравнение (14) принимает следующий окончательный вид:

Это уравнение равносильно уравнению (11) и по-прежнему применимо только к определенной линии тока.