§ 15. Результаты экспериментального исследования сопротивления жидкостей.

Для тел со сравнительно большим сопротивлением основную роль в возникновении сопротивления играет, как уже упоминалось, образование поверхностей раздела, т.е. отрыв потока от тела. У некоторых тел этот отрыв начинается во вполне определенных местах их поверхности. В частности, если тело имеет острые ребра, то отрыв потока начинается именно на этих ребрах. Опыт показывает, что для таких тел коэффициент сопротивления остается постоянным в весьма широкой области чисел Рейнольдса. Так, например, в Геттингенской лаборатории была произведена продувка круглых пластинок различной величины, поставленных поперек воздушного потока, при числах

Рейнольдса от до 1000 000. Найденные значения коэффициента сопротивления с лежат все в пределах от 1,10 до 1,12. Столь незначительные колебания полученных чисел дают основание предполагать, что коэффициент сопротивления круглых пластинок остается таким же и при еще больших числах Рейнольдса. Для чисел Рейнольдса, меньших опыты производились только над пластинками, свободно падающими в жидкости. При этом выяснилось, что при числах Рейнольдса от 3 000 до 80 пластинки при своем падении начинают довольно сильно колебаться, и поэтому их сопротивление почти на 50% больше, чем можно было бы ожидать в случае спокойного падения. При числах Рейнольдса, меньших 80, пластинки падают спокойно, без колебаний, и измерения опять пригодны для определения коэффициента сопротивления. По мере уменьшения числа Рейнольдса закон сопротивления постепенно приближается к закону сопротивления Стокса, который для круглых пластинок имеет вид:

и достаточно точно оправдывается при числах Рейнольдса, меньших 0,5. Опыты Шмиделя дали следующие значения для коэффициента сопротивления:

Распределение давления около тел с острыми ребрами также не зависит от числа Рейнольдса. Эйфель измерил распределение давления на поверхности трех геометрически подобных моделей здания, обдуваемых потоком воздуха. Длина этих моделей была равна 0,8; 5 и 40 см. Несмотря на столь большое различие в размерах моделей, полученные распределения давления очень хороши совпадают друг с другом; они изображены на рис. 147. Впрочем, необходимо заметить, что распределение давления ветра на поверхности здания может сильно зависеть от формы местности, лежащей впереди дома. В основном эта форма

влияет на положение места отрыва воздушного потока перед домом (см. рис. 106).

Рис. 147. Давление ветра на стены и крышу здания

Совершенно иначе ведут себя тела округленной формы. На поверхности таких тел нельзя заранее указать вполне определенные места, в которых обязательно, при всех условиях, происходил бы отрыв потока. Для таких тел положение места отрыва определяется явлениями, происходящими в обычно тонком пограничном слое (см. § 6 и 7), следовательно, оно очень сильно зависит от таких, казалось бы, второстепенных обстоятельств, как, например, легкая шероховатость поверхности тела, большая или меньшая завихренность притекающей жидкости и т. п.

Все эти обстоятельства, влияя на положение места отрыва потока, тем самым влияют на размеры и мощность вихревой системы, образующейся позади тела, следовательно, и на величину сопротивления тела. Больше всего величина сопротивления зависит от того, является ли течение в пограничном слое до самого места отрыва ламинарным или же оно, не доходя до места отрыва или в самом месте ламинарного отрыва, делается турбулентным. Как уже было упомянуто в § 6, в последнем случае место окончательного отрыва потока отодвигается далеко назад — к кормовой части тела, вследствие чего сопротивление значительно уменьшается.

Впервые это явление было установлено при исследовании сопротивления шаров. Выяснилось, что коэффициент сопротивления с, равный в области чисел Рейнольдса между и 300 000 от 0,45 до 0,48, при числе Рейнольдса и 300 000 резко уменьшается, достигая при особо тщательных условиях опыта значений, меньших 0,10. При еще больших значениях числа Рейнольдса, порядка коэффициент с опять увеличивается, но только примерно до 0,18 (для шероховатых поверхностей — значительно выше). При большой завихренности воздушного потока критическая область чисел Рейнольдса

перемещается к меньшим значениям. В том, что турбулизация пограничного слоя действительно уменьшает сопротивление, можно убедиться при помощи следующего опыта. Укрепим на поверхности большого шара, несколько впереди того места, где при ламинарном пограничном слое должен происходить отрыв потока, тонкое кольцо из проволоки толщиной, равной примерно 1/300 диаметра шара. Такое кольцо вызывает турбулизацию пограничного слоя, и измерение показывает, что теперь сопротивление шара меньше, чем при отсутствии кольца. При этом точка отрыва потока, которая при ламинарном пограничном слое лежит на расстоянии 80° от передней точки шара, перемещается назад, достигая расстояния от 110 до 120° от передней точки шара.

Сопротивление шаров иссследовано для очень широкой области чисел Рейнольдса, начиная от самых малых значений вплоть до Для чисел Рейнольдса, меньших 0,4, довольно точно удовлетворяется закон Стокса, который в нашей записи выражается уравнением:

При других числах Рейнольдса коэффициент сопротивления с равен:

Совершенно аналогичная картина получается и для круглых цилиндров. Очень длинные цилиндры (I 100 диаметрам) или цилиндры, с обоих концов ограниченные параллельными стенками, имеют следующие коэффициенты сопротивления:

Рис. 148. Зависимость коэффициентов сопротивления шара, цилиндра и диска от числа Рейнольдса

Переход от больших значений сопротивления к малым лежит в области между ; здесь коэффициент с резко уменьшается от 1,2 до 0,3. Для очень малых чисел Рейнольдса вместо закона Стокса имеет место более сложный закон Ламба:

Зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для круглых пластинок, шаров и цилиндров графически изображена на рис. 148.

Для цилиндров небольшой длины коэффициенты сопротивления значительно меньше, чем для очень длинных цилиндров. Причина этого такая же, как и при обтекании пластинок с небольшой длиной: жидкость, обтекая концы цилиндра, значительно суживает мертвую зону позади цилиндра, вследствие чего давление там увеличивается по сравнению со случаем очень длинного цилиндра, и поэтому подсасывающее

действие задней стороны цилиндра уменьшается. Согласно измерениям, произведенным в Геттингенской лаборатории для цилиндров с отношением коэффициент сопротивления для них равен:

Свободно падающие тела при больших числах Рейнольдса часто совершают неравномерные вторичные движения, что значительно увеличивает их сопротивление.

В авиационной технике особую важность приобрела задача об отыскании такой формы тела, которая обладает наименьшим сопротивлением при движении в воздухе. Мы знаем, что в жидкости без трения тело любой формы, движущееся равномерно, не встречает никакого сопротивления, так как поток жидкости, обтекающий тело, так же замыкается позади него, как расступается перед ним, и поэтому в жидкости не остается никакого возмущения. Это обстоятельство позволяет сформулировать указанную задачу следующим образом: какую форму следует придать телу, чтобы при его движении в реальной жидкости не происходило отрыва потока от его поверхности. Если такая форма найдена, то на основании сказанного можно предполагать, что ее сопротивление практически состоит только из сопротивления трения. Опыты вполне подтверждают это предположение. Все тела, обтекание которых происходит без отрыва потока, имеют более или менее удлиненную форму, спереди закругленную, а сзади — суживающуюся, постепенно переходящую в немного притуплённое острие или ребро. Спереди тела, где можно не опасаться отрыва потока, заострение излишне и здесь вполне пригодна форма удлиненного эллипсоида. Примеры тел с очень небольшим сопротивлением изображены на рис. 149 (корпус дирижабля) и на рис. 150 (профиль стойки). (Нос корабля, плавающего на воде, имеет, как известно, совершенно иную форму: в своей надводной части он сильно заострен; это необходимо для того, чтобы предупредить образование высокой носовой волны.)

Распределение давления на поверхности тел с малым сопротивлением, определенное путем измерений, как правило, очень хорошо совпадает с теоретическим распределением, соответствующим

Рис. 149. Хорошая форма дирижабля

Рис. 150. Хорошая форма стойки

Рис. 151. Распределение давления на поверхности моделей дирижабля. Штрихами изображены вычисленные, а сплошными линиями — наблюденные распределения давления

потенциальному течению. Исключение составляет задний конец тела, где наблюденные значения давления не достигают теоретического значения, равного динамическому давлению в передней точке тела. Причиной этого является потеря скорости в пограничном слое, облегающем тело. Два характерных примера распределения давления изображены на рис. 151.

Для тела вращения, изображенного на рис. 149, коэффициент сопротивления равен, согласно опытам, следовательно, сопротивление этого тела в 28 раз меньше сопротивления круглой пластинки с таким же диаметром. Для стержня, поставленного своей осью поперек потока и имеющего поперечное сечение, изображенное на рис. 150, коэффициент сопротивления равен от до 0,08 (при числе Рейнольдса 50 000).

Что касается сопротивления трения, то мы ограничимся здесь следующими указаниями (см. также § 5, п. е)). Для его подсчета обычно берется полная поверхность тела в случае прямоугольной пластинки, обтекаемой с двух сторон, эта поверхность равна В общем случае сопротивление может быть принято пропорциональным размеру

пластинки, перпендикулярному к направлению движения, т.е. ширине пластинки Но так как ширина пластинки уже содержится в выражении полной поверхности О, то коэффициент сопротивления можно считать независящим от Иначе получается для размера пластинки, совпадающего с направлением движения, т. е. для длины Задняя половина пластинки находится в потоке, уже отчасти заторможенном передней половиной пластинки, поэтому при удвоении длины пластинки ее сопротивление увеличивается меньше, чем вдвое. При ламинарном течении в пограничном слое коэффициент сопротивления пропорционален V, при турбулентном течении для достаточно больших чисел Рейнольдса и для гладкой поверхности — пропорционален от до для шероховатой поверхности — от до

Рис. 152. Зависимость коэффициента сопротивления трения гладких пластинок от числа Рейнольдса

На рис. 152 даны кривые, изображающие зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса составленного по длине I, для пластинок с гладкой поверхностью. Из этих кривых первая, вторая и третья получены путем экспериментального определения сопротивления, а четвертая и пятая — теоретическим путем. При построении кривых значения отложены в логарифмическом масштабе. Кривая 1 относится к ламинарному течению; в соответствии с формулой (14) (см. § 3) получается, что

Кривая относится к турбулентному течению в пограничном слое, причем для случая, когда турбулентность начинается около переднего ребра пластинки; в соответствии со сказанным в получается, что

Этот закон сопротивления находится в тесной внутренней связи с законом сопротивления Блазиуса [уравнение (66)]. Если пограничный слой около переднего ребра пластинки ламинарный и только потом делается турбулентным, то для коэффициента при условии, что критическое число равно 500000, получается формула

(кривая 3). Эта формула пригодна до числа Рейнольдса При очень больших числах Рейнольдса сопротивление пластинки увеличивается несколько быстрее, чем по формуле (85), в полном соответствии с отступлением сопротивления при движении в трубе от закона Блазиуса.

Из логарифмических формул (28) и (29), приведенных в § 5 для турбулентного распределения скоростей, можно вывести теоретические формулы для сопротивления пластинок, пригодные для очень большого диапазона чисел Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса полученные формулы хорошо согласуются с результатами опытов Кемпфа. Однако эти формулы неудобны для вычислений, поэтому Шлихтинг предложил вместо них интерполяционную формулу, достаточно хорошо передающую найденные зависимости. Формула Шлихтинга имеет вид:

Шёнгер, исходя из аналогичных исследований Кармана, вывел формулу:

сходную с формулой (71) (см. § 11) и очень хорошо передающую результаты старых и новых опытов.

Формулам (86) и (87) на рис. 152 соответствуют кривые, обозначенные цифрами 4 и 5. Если при обтекании пластинки пограничный слой остается на некотором протяжении ламинарным, то правые части формул (86) и (87) следует уменьшить, как и выше, на величину (при другом критическом числе Рейнольдса вместо числителя 1 700 будет другое число!).

Для скоростных самолетов чрезвычайно важно, чтобы сопротивление трения крыльев было возможно меньше. Из рис. 152 ясно, что это сопротивление можно очень сильно понизить, если добиться сохранения ламинарного течения на значительном протяжении крыла. Решение этой задачи облегчается тем, что сохранить ламинарным поток, в котором скорость увеличивается, легче, чем поток, в котором скорость уменьшается. Следовательно, профиль крыла должен иметь такую форму, чтобы максимальная скорость обтекающего потока получалась возможно дальше от передней точки профиля. Для этого, в свою очередь, необходимо, чтобы место наибольшей толщины профиля лежало возможно ближе к его концу. Всякого рода выступы и неровности, даже небольшие, впереди этого места недопустимы. При помощи такого рода ламиниризованных профилей удалось сохранить пограничный слой ламинарным до чисел Рейнольдса около

Вычисление сопротивления трения для шероховатых пластинок можно выполнить, исходя из закономерностей, полученных в § для турбулентного течения около шероховатых стенок (см. по этому поводу также сказанное в § 11 о сопротивлении в трубах). Можно предполагать, что для течения, в котором влияние шероховатости уже вполне выявилось, сопротивление при заданной длине пластинки I и заданной шероховатости к пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности тем больше, чем больше отношение к Так как это отношение при заданном к уменьшается при увеличении I, то при увеличении длины, следовательно, при увеличении числа Рейнольдса коэффициент сопротивления при постоянной скорости уменьшается. Результаты соответствующих вычислений, выполненных Шлихтингом на основе измерений, произведенных Никурадзе для шероховатых труб, изображены на рис. 153. На этом рисунке мы опять видим довольно четкие переходы от гидравлически гладкого состояния течения к состоянию, при котором влияние шероховатости проявляется в полной мере (ср. рис. 128 на стр. 225). Штриховая кривая дает

Рис. 153. Зависимость коэффициента сопротивления трения шероховатых пластинок от числа Рейнольдса

те значения длины пластинки, после превышения которых имеет место состояние течения с вполне развившимся влиянием шероховатости.

Сопротивление трения круглых пластинок, вращающихся в своей плоскости, будет рассмотрено в § 11 гл.