§ 6. Дальнейшие выводы о давлении жидкости.

Излагаемые ниже замечания касаются не только идеальной жидкости, но — с небольшими изменениями — и жидкостей с умеренной вязкостью. Однако первое замечание относится только к несжимаемой жидкости с постоянной плотностью.

а) В несжимаемой жидкости с постоянной плотностью давление можно разложить на два слагаемых, из которых первое представляет то давление, которое существовало бы в жидкости, если бы она была в покое. Обозначим это равновесное, или весовое давление через Очевидно, что

Второе слагаемое обозначим через следовательно, действительное давление в движущейся жидкости будет

Величина представляет собой разность между давлением при движении и давлением в покое. Пусть к рассматриваемому движению применимо уравнение Бернулли:

Заменяя его значением

мы получим:

Следовательно, давление распределяется в жидкости так, как если бы она была невесомой и обладала только инертной массой; геометрическая высота не оказывает на никакого влияния. Это объясняется тем, что каждая частица жидкости как бы висит в потоке под действием поддерживающей силы окружающих частиц. Очевидно, полученный результат применим и к жидкостям, обладающим трением. Поэтому в дальнейшем во всех случаях исследования движения под водой или в воздухе мы не будем учитывать действия силы тяжести, следовательно, вместо давления будем всегда рассматривать давление однако для сокращения письма будем писать вместо просто Давление будем называть кинетическим давлением.

Пусть давление и потоке воздуха или воды измеряется при помощи неподвижного прибора, находящегося вне потока и соединенного трубками с подвижным зондом, вставленным в поток. В таком случае вес жидкости в трубках действует так, что давление, показываемое прибором, не зависит от геометрической высоты места измерения. Следовательно, прибор показывает давление такого же вида, как и Если в качестве зонда взята трубка Пито, то неподвижный прибор покажет одинаковое давление вдоль всей линии тока. В случае, когда для всех линий тока постоянная в уравнении Бернулли имеет одинаковое значение, прибор даст одинаковое показание во всем потоке.

Ь) Уравнение Бернулли показывает, как изменяется давление вдоль линии тока. Для того чтобы получить представление о том, как изменяется давление в направлении, перпендикулярном к линии тока, следует рассмотреть вместо касательного нормальное ускорение. Это ускорение направлено, как известно, по главной нормали траектории и равно где есть радиус кривизны траектории. Выделим в жидкости небольшую призму, ось которой направлена вдоль главной нормали. Для этой призмы уравнение движения, составленное для направления дает:

где есть элемент дуги по направлению главной нормали, а величину следует понимать в смысле давления Уравнение (20) показывает, что при криволинейном течении давление увеличивается по направлению от выпуклой стороны линии тока к вогнутой, причем это увеличение составляет на единицу длины. Таким образом, уравнение (20) устанавливает связь между соседними линиями тока. Из этого уравнения видно, что при прямолинейном течении давление не может изменяться в направлении, перпендикулярном к скорости течения.

При криволинейном течении особенно простой результат получается в том случае, когда постоянная в уравнении Бернулли имеет одинаковое значение для всех линий тока. В этом случае, дифференцируя уравнение (19) по мы получим:

откуда, сравнивая с уравнением (20), найдем:

Ниже, в § 9, мы увидим, что равенство (21) выражает собой условие, при котором так называемая циркуляция вдоль прямоугольника, образованного дугами двух соседних линий тока и отрезками двух радиусов кривизны, равна нулю. Там же мы увидим, что при циркуляции, равной нулю, отдельные частицы жидкости движутся без вращения. Следовательно, равенство (21) показывает, что при нашем криволинейном течении частицы жидкости не совершают вращения.

Рис. 36. Течение в спиральной камере

Для примера рассмотрим движение в спиральной камере, изображенной на рис. 36. Все линии тока начинаются в параллельном потоке в области А, в которой скорость и давление везде одинаковы, следовательно, постоянная в уравнении Бернулли, составленного для потока в спиральной камере, одинакова на всех линиях тока. Радиусы кривизны отдельных линий тока можно считать приближенно равными радиусу проведенному из центра камеры О, поэтому можно принять, что Тогда уравнение (21) примет вид:

или

откуда после интегрирования мы получим:

или

где С есть постоянная интегрирования. Следовательно, скорость течения по мере приближения к центру камеры сильно возрастает. Подставив найденное выражение скорости в уравнение Бернулли (19), мы найдем давление:

Если поток внутри камеры, достигнув радиуса выходит через сделанное здесь отверстие в свободную атмосферу, где давление равно то здесь предыдущее уравнение дает нам:

Исключив из обоих уравнений постоянную мы получим

Следовательно, если выходное отверстие внутри камеры мало, то при входе в камеру давление может сделаться очень большим.

с) При неустановившихся движениях для получения связи между давлением и скоростью вдоль линии тока следует проинтегрировать уравнение (8), не отбрасывая члена Поэтому вместо уравнения Бернулли (9) мы получим:

Рис. 37. Истечение из насадка

В случае движения в трубе с постоянным поперечным сечением скорость течения в каждый определенный момент времени одинакова во всех сечениях; кроме того, она одинакова также во всех точках каждого сечения, поскольку мы предполагаем, что жидкость не обладает трением. В таком случае производная не зависит от и интеграл в левой части уравнения (22) будет равен

Для примера рассмотрим начальную стадию истечения из сосуда через насадок длиной I (рис. 37). Применяя уравнение (22) к горизонтальной линии тока, совпадающей с осью насадка, мы получим для точки В, находящейся на расстоянии от входа в насадок, уравнение

а для точки А около входа в насадок уравнение

Приравнивая левые части уравнений и имея в виду, что величиной можно пренебречь как весьма малой по сравнению с и что

где есть давление на свободной поверхности, мы получим:

До тех пор, пока не равно нулю, давление уменьшается вдоль насадка пропорционально расстоянию Для концевого сечения насадка в котором давление равно уравнение (22) дает:

откуда

В первый момент истечения следовательно,

По мере увеличения производная все более и более уменьшается, пока не делается равной нулю. В этот момент течение превращается в установившееся, и скорость истечения принимает значение

Нетрудно вывести точный закон изменения скорости в зависимости от времени, однако мы этим заниматься не будем. Для оценки времени, которое требуется для того, чтобы течение сделалось приблизительно установившимся, следует принять что ускорение остается

Рис. 38. Колебания столба жидкости до момента достижения скорости постоянным. Тогда, подставляя в равенство (23) вместо мы получим:

Другим простым примером неустановившегося движения жидкости является колебание столба жидкости в изогнутой трубе под действием силы тяжести (рис. 38). Пусть труба имеет постоянное поперечное сечение и пусть длина столба жидкости, измеренная вдоль оси трубы, равна Обозначим отклонение столба жидкости от положения равновесия, измеренное в направлении оси трубы, в какой-либо момент времени через х (вследствие неразрывности это отклонение одинаково на обоих концах столба, а также во всех промежуточных точках). Скорость везде одинакова и равна следовательно, в равенстве (6) следует положить

и поэтому ускорение равно

При отклонении столба жидкости из положения равновесия на х один его конец поднимается на высоту а другой конец опускается на высоту следовательно, разность геометрических высот равна

Давление на обоих концах одинаковое; обозначим его через Применяя уравнение (22) к обоим концам столба жидкости, мы получим:

или

Решение этого дифференциального уравнения, совпадающего с дифференциальным уравнением упругих колебаний, имеет вид:

где

Отсюда для периода колебаний получаем величину

Для вертикальной -образной трубки и поэтому период колебаний равен

т. е. совпадает с периодом колебаний маятника, длина которого равна половине длины столба жидкости.