Глава 3. Движение вязких жидкостей

§ 1. Вязкость (внутреннее трение).

Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при деформации. Некоторые жидкости, например, мед, глицерин, тяжелые масла и др., обладают особенно большой вязкостью. Для того чтобы понять, в чем заключается сущность вязкости, рассмотрим следующий простой пример. Пусть между двумя параллельными пластинками находится жидкость и пусть одна из этих пластинок (верхняя) движется в своей плоскости со скоростью V, а другая (нижняя) — покоится (рис. 90).

Рис. 90. Движение вязкой жидкости между двумя пластинками

Тогда под действием вязкости в жидкости устанавливается такое состояние движения, при котором слои, непосредственно прилегающие к пластинкам, имеют одинаковую с ними скорость («прилипают» к пластинкам), а промежуточные слои скользят друг по другу и обладают скоростями и, пропорциональными расстоянию от неподвижной пластинки. Следовательно, скорость слоя, находящегося на расстоянии у от нижней пластинки, равна

где а есть расстояние между обеими пластинками. Трение жидкости проявляется при этом в виде силы, оказывающей сопротивление движению верхней пластинки. Эта сила пропорциональна градиенту скорости жидкости, т.е. изменению скорости, происходящему на единице длины в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинок. Величина силы сопротивления, приходящаяся на единицу площади пластинки, называется касательным напряжением. На основании сказанного касательное напряжение равно

или, в более общей формулировке,

Величина называется коэффициентом внутреннего трения жидкости, или коэффициентом вязкости, или, наконец, просто вязкостью. На существование соотношения (1) первое указание имеется у Ньютона, и поэтому оно часто называется законом трения Ньютона.

Рис. 91. Движение вязкой жидкости в трубе

При некоторых движениях вязкой жидкости ее слои скользят один по другому, не перемешиваясь между собой. Такие движения называются ламинарными. Для исследования нескольких простых случаев ламинарного движения вполне достаточно соотношения (1). Одним из таких случаев является движение в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением. Выделим между сечениями трубы 1 и 2 жидкий цилиндр радиуса у (рис. 91). Пусть давление в сечении 1 равно а в сечении 2 оно равно Тогда на жидкий цилиндр действует сила

Этой силе противодействует сила трения на боковой поверхности цилиндра, величину которой на единицу площади, т.е. касательное напряжение, обозначим по-прежнему через Следовательно, на всю боковую поверхность жидкого цилиндра действует сила

Приравнивая обе силы, действующие на цилиндр, мы получим:

Из соотношения (1) мы имеем:

Подставляя сюда вместо его выражение из равенства (2) и имея в виду, что теперь, в отличие от случая движения на рис. 90, производная отрицательна, мы получим:

Интегрируя это уравнение и определяя постоянную интегрирования из условия, что самый внешний слой жидкости прилипает к стенке, мы найдем:

где есть радиус трубы. Количество протекающей через трубу в единицу времени жидкости (так называемый расход жидкости) равно

Эта формула может быть проверена путем опыта с очень большой точностью; поэтому она сыграла весьма большую роль при установлении законов движения вязкой жидкости. Между прочим, она позволяет по измеренным значениям расхода и разности давлений очень точно определить коэффициент вязкости Согласно формуле (4) расход жидкости пропорционален падению давления на единице длины трубы и четвертой степени радиуса трубы. Это соотношение экспериментально было установлено Г. Гагеном в 1839 г., а затем вторично, независимо от Гагена, Пуазейлем. Обычно оно называется законом Пуазейля, так как статья Гагена, который был инженером, по-видимому, осталась незамеченной среди физиков. Правильнее называть соотношение (4) законом Гагена-Пуазейля. Забегая вперед, отметим, что закон Гагена-Пуазейля соблюдается при малых скоростях только в узких

трубках. В широких трубах при больших скоростях имеет место другой закон. Однако несоблюдение закона Пуазейля при движении в широких трубах ни в коей мере не является следствием какой-либо неточности закона трения Ньютона. Напротив, многочисленные опыты над течением в узких трубах со всей точностью подтвердили, что этот закон, а также прилипание жидкости к стенкам имеют место почти для всех жидкостей.

Согласно представлениям кинетической теории газов вязкость газа следует рассматривать как процесс обмена количествами движения между соседними слоями жидкости, движущимися с различными скоростями, и притом как процесс, вызванный собственным движением молекул. Следовательно, на выравнивание скоростей соседних слоев жидкостей надо смотреть как на своего рода диффузию (диффузию количества движения) и применять к ней соотношения такого же вида, как выведенные в § 14 гл. II. Так, например, касательное напряжение и здесь будет равно однако, в противоположность тому, что было раньше, теперь скорости представляют собой не турбулентные пульсации, а скорости молекул (см. в связи с этим замечание в конце §4,

В сильно разреженных газах, где длиной свободного пути молекул нельзя пренебрегать по сравнению с размерами сосуда, наблюдается кажущееся скольжение газа вдоль стенки. Это происходит потому, что для молекул газа, подлетающих из потока к стенке, составляющая скорости, параллельная стенке, в среднем не равна нулю, между тем как молекулы, отскакивающие от стенки, разлетаются в разные стороны совершенно беспорядочно, и касательная составляющая их скорости в среднем равна нулю. Поэтому среднее значение касательной скорости всех молекул газа не равно нулю, и наблюдается кажущееся скольжение газа вдоль стенки. В газах, находящихся под обычным давлением, длина свободного пути молекул столь мала, что указанное скольжение остается незаметным.

В капельных жидкостях происхождение вязкости совсем иное. Молекулы здесь расположены настолько тесно друг к другу, что в общем случае они могут совершать только небольшие колебания в очень узких пределах и лишь иногда могут меняться местами друг с другом. Такая перемена мест происходит вообще совершенно беспорядочно, но под действием касательного напряжения (которое можно понимать здесь как упругое напряжение, возникающее в результате сложения молекулярных сил) эта перемена мест чаще совершается в том направлении, в котором действует касательное напряжение, что и приводит к скольжению одного слоя жидкости по другому. Таким образом, вязкость жидкости связана с переменой молекулами своих мест; она тем меньше, чем чаще совершается такая перемена.

Заметим, что наряду с обычными жидкостями, для которых скольжение строго пропорционально касательному напряжению существуют

так называемые аномальные жидкости, для которых эта пропорциональность не соблюдается. К таким жидкостям принадлежат главным образом коллоидные растворы, имеющие очень большие, часто нитеобразные молекулы. В этих жидкостях скольжение обычно увеличивается быстрее касательного напряжения, что, по-видимому, связано с тем, что по мере увеличения скорости все большее и большее количество длинных молекул располагается параллельно направлению движения. В дальнейшем мы не будем заниматься рассмотрением аномальных жидкостей.

В общей теории трения жидкостей показывается, что при деформации отдельных элементов жидкости возникают напряжения такого же рода, как и в упругих телах, с той только разницей, что они пропорциональны не деформациям, а скоростям деформаций. Поэтому известные из теории упругости формулы для девяти компонентов напряженного состояния в случае жидкости принимают вид:

Если эти компоненты во всех точках области, занятой жидкостью, сохраняют постоянные значения, как это имеет место при аффинной деформации области, то все они взаимно уравновешиваются. Если же в разных точках области, занятой жидкостью, они имеют разные значения, как это имеет место в общем случае деформации, то это приводит к тому, что в каждой точке жидкости возникает некоторая сила. Пусть составляющие этой силы, отнесенной к единице объема, равны В таком случае, аналогично тому, как и в теории упругости, мы будем иметь:

Таким образом, в вязких жидкостях к силам, обусловленным разностями давлений, а также к массовым силам (если они вообще

учитываются), присоединяются еще силы, вызванные трением и имеющие своими составляющими

Подставляя в равенства (6) вместо их значения из равенств (5), мы получим:

и аналогичные уравнения для Если при движении жидкости не происходит изменений объема, то второй член в правой части уравнения (7) обращается в нуль.

Присоединяя правые части уравнений (7) к правым частям уравнений Эйлера (13), выведенным в §4 гл. II, мы получим так называемые дифференциальные уравнения Навъе - Стокса для вязкой жидкости. Для несжимаемых потоков эти уравнения принимают вид:

где имеют значения, определяемые равенствами (12), гл. II, а символ введен для сокращенного обозначения операции

Если, как это было в примерах, разобранных в § 1, составляющая скорости потока в направлении оси х, т.е. величина и, значительно больше двух других составляющих и если эта составляющая сильнее всего изменяется в направлении оси у, то основную роль играет напряжение [в § 1, в уравнении (1), мы его обозначили чере ]. Поэтому в первом из выражений (6), определяющем силу X, наибольшую величину будет иметь член причем на основании четвертого из равенств (5) мы будем иметь:

(так как составляющая мала по сравнению с u). Следовательно, в рассматриваемом случае силами, управляющими потоком, будут: только что указанная сила вызванная трением, перепад давления и сила инерции - (ср. § 4 гл. II). Дальнейшими вычислениями мы не будем заниматься, так как их доведение до конечного результата в общем случае наталкивается на очень большие математические трудности. Вместо этого мы остановимся в следующем параграфе на вопросе механического подобия, имеющем важное значение для получения правильного общего представления о гидродинамических явлениях.