§ 9. Течение с преобладающей ролью вязкости.

Как уже было показано в § 3, в тех случаях, когда при движении жидкости преобладающую роль играет вязкость, можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами трения. Такого рода движения, называемые ползущими, обладают тем общим свойством, что для них сопротивление пропорционально первой степени скорости. Признаком того, что в потоке преобладающую роль играет вязкость, является очень малое число Рейнольдса, что получается вследствие либо очень большой вязкости, либо очень малой скорости, либо очень малых пространственных размеров (необходимо упомянуть также случай очень малой плотности, имеющий место, например, при движении сильно разреженного газа в трубе). В этом параграфе мы рассмотрим два примера течения с преобладающей ролью вязкости; третьему примеру мы посвятим следующий параграф.

а) Практически важным примером ползущего течения является движение воды или воздуха через песок и другие пористые среды. Такое сложное движение через промежутки между отдельными песчинками можно тем не менее проследить в целом, если ввести в расчет объем жидкости, протекающей в одну секунду через единицу площади сечения, мысленно проведенного в пористой среде. Эта величина имеет размерность скорости и называется скоростью фильтрации. Согласно сказанному выше или по аналогии с законом Гагена-Пуазейля для ламинарного движения в трубах, скорость фильтрации при ползущем течении можно принять пропорциональной градиенту давления. Следовательно, обозначая составляющие скорости фильтрации по осям x,y,z через мы можем написать:

Эти уравнения выражают собой так называемый закон фильтрации

Дарси. Подставляя значения в уравнение неразрывности

см. § 3 гл. II), мы получим:

Следовательно, давление подобно потенциалу скоростей потенциального течения, удовлетворяет уравнению Лапласа, и составляющие скорости фильтрации могут быть получены из давления совершенно так же, как скорости потенциального движения жидкости без трения из потенциала скоростей [при условии, если не обращать внимание на знак минус в уравнениях (34), не имеющий, впрочим, существенного значения]. Таким образом, движение подпочвенных вод является потенциальным течением такого же рода, как и потенциальные течения, рассмотренные в § 10 гл. 2. Однако в одном отношении оно существенно отличается от последних течений: в то время как потенциал скоростей на поверхностях раздела претерпевает разрыв, а при течениях с циркуляцией даже многозначен, давление в соответствии со своей физической природой везде должно быть однозначно и непрерывно.

Уравнения (34) и (35) позволяют проследить движение подпочвенных вод в различных типичных случаях, например, при откачивании воды из колодца. Пользуясь этими уравнениями, можно найти вблизи колодца распределение скоростей и понижение уровня подпочвенных вод.

Линейная зависимость (34) между скоростью фильтрации и градиентом давления имеет место только до тех пор, пока число Рейнольдса, составленное по диаметру песчинок, остается достаточно малым. Клинг, на основе обработки опытов разных авторов, наблюдавших течение через искусственный грунт из шаровых частиц, нашел, что предельное значение указанного числа Рейнольдса равно

Для области чисел Рейнольдса, меньших этого значения, градиент давления оказался равным

а для области чисел Рейнольдса свыше и до (наибольшее значение, имевшее место в опытах)

где

В промежуточной области (от до имеет место постепенный переход от линейной зависимости к квадратичной.

b) С движением подпочвенных вод в известной мере сходно движение жидкости между двумя пластинками, поставленными на очень небольшом расстоянии друг от друга. В частности, при таком течении получается, как и при ламинарном течении в трубе, параболическое распределение скоростей (см. рис. 99 на стр. 171). Однако при достаточно малой скорости движения среднюю по ширине щели скорость можно принять опять пропорциональной градиенту давления, следовательно, положить, что

Подставляя эти значения составляющих в уравнение неразрывности

мы получим опять уравнение Лапласа:

аналогичное уравнению, определяющему потенциал скоростей плоского потенциального движения жидкости без трения. Это обстоятельство позволяет определить линии тока потенциального движения жидкости без трения (при условии, что потенциал скоростей однозначен и непрерывен) путем эксперимента с таким движением жидкости, при котором преобладающую роль играет вязкость. Впервые это было сделано Хеле Он пропускал между двумя стеклянными пластинками бесцветную жидкость (воду, глицерин) и вводил в нее струйки окрашенной жидкости. Эти струйки, обтекая вставленный между стеклянными пластинками контур, давали красивую и четкую картину линий тока. Более современный прибор такого рода, работающий с водой и чернилами, сконструирован Полем Картина линий тока, изображенная на рис. 120, получена при помощи этого прибора.

Рис. 120. Обтекание цилиндра в приборе Поля

Рис. 121. Движение жидкости около источника и стока

Пражиль осуществлял течения, в которых преобладающую роль играет вязкость, в большом плоском баке, наполнявшемся до высоты в несколько миллиметров водой, поверхность которой обсыпалась маленькими кристаллами марганцево-кислого калия. На рис. 121 изображена полученная таким путем картина линий тока совокупности источника и стока (жидкость поступает в бак через левое отверстие и вытекает из бака через правое отверстие).

В потоках, в которых преобладающую роль играет вязкость, распределение давления имеет совсем другой характер, чем в потоках со слабым проявлением вязкости, а именно, в них падение давления происходит всегда в направлении потока и поэтому, в них нигде не могут наблюдаться возвратные движения жидкости. В связи с этим необходимо особо подчеркнуть, что картины линий тока, полученные указанными способами, не могут дать всестороннего представления о движениях жидкости, в которых вязкость играет небольшую роль, подобно тому как картины линий тока, вычисленные для потенциальных потоков из формул, не могут дать исчерпывающего представления о действительных движениях жидкости при больших числах Рейнольдса. Однако потоки с поверхностями раздела в приборе Поля могут быть осуществлены; для этого между стенкам следует вставить, кроме обтекаемого тела, еще перегородку и соответствующим образом регулировать приток жидкости к обеим сторонам перегородки. Возможность осуществления отрыва потока, конечно, совершенно исключена.

Заметим, что если в только что рассмотренных потоках слой жидкости слишком толстый или скорость течения слишком велика, то внутренние и внешние слои жидкости движутся не одинаково, а именно, в слоях, близких к стенкам, траектории частиц изогнуты больше, чем во внутренних слоях (возникают вторичные потоки, см. § 8). Это обстоятельство необходимо всегда иметь в виду при опытах.

Гюнтер, заставляя протекать очень вязкие жидкости между стенками, установленными на сравнительно большом расстоянии друг от друга, воспроизводил таким путем двухмерные движения подпочвенных вод. например, просачивание воды под плотиной. Широкие щели были необходимы для того, чтобы исключить влияние капиллярных сил.