§ 2. Механическое подобие. Число Рейнольдса.

Если для двух потоков около или внутри геометрически подобных тел картины линий тока также геометрически подобны, то такие потоки называются механически подобными. Весьма важно найти условия, при которых для внешне геометрически подобных потоков осуществляется также и механическое подобие. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы в подобно расположенных точках сравниваемых потоков отношения трех сил: перепада давления, силы трения и силы инерции — были одинаковыми. Так как эти три силы уравновешивают друг друга, то в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением только двух из них; мы выберем силу инерции и силу трения, так как перепад давления, по крайней мере для несжимаемых потоков, не обладает сам по себе какими-либо характерными признаками. Различные геометрически подобные потоки мы будем сравнивать друг с другом при помощи каких-либо характерных длин и характерных скоростей За характерную длину можно взять, например, диаметр или длину тела, ширину канала и т. п., а за характерную скорость — скорость движения тела или среднюю скорость в определенном сечении канала. Плотность и вязкость в различных потоках также могут иметь различные значения; обозначим их соответственно через и через Составляющие силы инерции, одна из которых (см. конец предыдущего параграфа) равна

в подобных потоках должны относиться друг к другу как выражения В самом деле, если два потока подобны, то значения скорости и в соответственных точках обоих потоков, а потому и малые разности этих значений должны относиться друг к другу как характерные скорости длины же а также их малые разности должны относиться друг к другу как характерные длины На основании аналогичных соображений составляющие силы трения, в соответствии с их выражением относятся друг к другу в подобных потоках как выражения В самом деле, величины суть не что иное, как разности скоростей второго порядка малости и поэтому должны относиться друг к другу как характерные скорости суть квадраты малых разностей длин и поэтому должны относиться друг к другу как квадраты характерных длин и т.е. как Таким образом, сформулированное выше условие механического подобия сводится к тому, что в геометрически подобных потоках отношение величин и

должно быть одинаковым в подобно расположенных точках. Поскольку это отношение представляет собой отношение двух сил, отнесенных к единице объема, т.е. двух величин с одинаковой размерностью, оно является отвлеченным, безразмерным числом. Следовательно, два геометрически подобных потока 1 и 2 будут подобны также механически, если для них имеет место равенство:

Число характеризующее отношение силы инерции к силе трения, называют числом Рейнольдса в честь английского ученого Осборна Рейнольдса, открывшего выведенный закон подобия.

Отношение вязкости к плотности, т.е. называется кинематической вязкостью и обозначается буквой Размерность кинематической

вязкости, как легко видеть, будет Таким образом, какое-либо состояние потока вязкой жидкости можно охарактеризовать числом Рейнольдса

соответствующим этому состоянию. Если число Рейнольдса мало, то это означает, что в потоке преобладают силы вязкости. Наоборот, если число Рейнольдса велико, то главную роль в потоке играют силы инерции. Ниже мы увидим, что для обоих этих случаев законы движения жидкостей и законы сопротивления, возникающего при движении, очень сильно отличаются друг от друга. Из равенства (8) видно, что на состояние потока существенное влияние оказывают, наряду с вязкостью, также пространственные размеры, определяющие движение жидкости, и скорости. Если пространственные размеры, определяющие движение жидкости, очень малы, то законы движения, соответствующие малым числам Рейнольдса, имеют место при всех практически возможных скоростях. Если же эти размеры велики, то указанные законы справедливы только при очень малых скоростях или для очень вязких жидкостей. Заметим также, что в подобных потоках разности давлении относятся как или, на основании равенства (8), как

Величина вязкости равная , называется в честь Пуазейля — пуазом. Для величины кинематической вязкости, равной предложено в честь Стокса название стокс.

Кинематическая вязкость имеет для указанных ниже жидкостей следующие значения:

(см. скан)