§ 2. Методы кинематического исследования течения жидкости.

Для получения исчерпывающей картины течения, необходимо для каждой частицы жидкости знать ее положение в пространстве в каждый момент времени; в самом деле, определяя изменение положения частицы в пространстве при изменении времени, мы нашли бы ее скорость и ускорение. Для составления такой картины необходимо прежде всего как-то обозначить отдельные частицы жидкости, чтобы отличать их друг от друга. Это можно сделать следующим образом. В произвольный момент времени отнесем рассматриваемое течение жидкости к произвольной системе координат, например, прямоугольной. Тогда каждой частице жидкости будет соответствовать вполне определенная тройка чисел Эта тройка чисел и будет служить для рассматриваемой частицы ее обозначением при исследовании течения. Пусть в любой другой момент времени не совпадающий с координаты рассматриваемой частицы жидкости будут x,y,z. Эти координаты будут, очевидно, функциями не только времени но и тройки чисел обозначающих частицу. Следовательно, для составления картины течения жидкости необходимо знать функции

Для полной характеристики состояния движущейся жидкости необходимо знать еще давление а для жидкости переменной плотности также и последнюю.

Однако доведение такого метода исследования течения жидкости до конечного численного результата удается только в немногих, особенно простых случаях. Поэтому обычно предпочитают пользоваться другим, более простым методом, позволяющим указать, что происходит в каждой точке пространства в каждый момент времени. Следовательно, при этом методе исследования индивидуальная судьба отдельных частиц оставляется без внимания. Если рассматриваемое течение — установившееся, т.е. не изменяющееся во времени, то для получения картины движения достаточно указать величину и направление скорости в каждой точке пространства, занятого потоком; кроме того, для полного описания состояния движения необходимо определить также

давление, а при переменной плотности — и последнюю. Если же течение неустановившееся, т.е. изменяющееся во времени, то скорость и давление (в необходимом случае и плотность) должны быть указаны для каждого момента времени. Математически эти указания даются обычно в виде зависимостей, связывающих три проекции скорости на прямоугольные оси координат (в необходимом случае также давление и плотность с пространственными координатами x,y,z и временем в виде уравнений:

Систему уравнений (1) называют уравнениями Лагранжа, а систему уравнений (2) — уравнениями Эйлера, хотя Эйлеру были известны обе системы.

Если желательно проследить траекторию какой-нибудь частности, то необходимо проинтегрировать систему из трех дифференциальных уравнений

Так как три постоянные интегрирования можно рассматривать как координаты частицы жидкости в некоторый начальный момент времени, то мы опять приходим к уравнениям Лагранжа (1).

Наглядное представление о мгновенной картине течения жидкости дают так называемые линии тока, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точках касания. Линии тока совершенно аналогичны силовым линиям силовых полей. Линии тока определяются системой диференциальных уравнений

При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц. При неустановившемся течении такое совпадение не имеет места. В самом деле, касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.

Необходимо заметить, что форма линий тока одного и того же потока, а также форма траекторий зависят от системы отсчета. Так, например, при движении тела в жидкости для наблюдателя, покоящегося относительно невозмущенной жидкости, линии тока и траектории будут совсем иными, чем для наблюдателя, движущегося вместе с телом.

Линии тока можно сделать видимыми, если поверхность жидкости посыпать мелкими частицами такого нерастворимого вещества, которое может двигаться вместе с жидкостью. Можно также ввести такие частицы внутрь жидкости. При съемке с короткой выдержкой каждая введенная в жидкость частица оставляет на фотографической пластинке короткую черточку. При достаточно большом числе частиц черточки тесно примыкают друг к другу и дают картину линий тока. Для получения траекторий необходимо уменьшить количество вводимых в жидкость посторонних частиц и производить съемку с длительной выдержкой.

На рис. 25 и 26 изображены фотографические снимки пластинки, движущейся в неподвижной жидкости. Оба снимка сделаны одновременно, но в разных системах отсчета, а именно, снимок на рис. 25 получен при помощи камеры, неподвижной относительно невозмущенной жидкости, и снимок на рис. 26 — при помощи камеры, неподвижной относительно двигавшейся в жидкости пластинки, т. е. двигавшейся вместе с пластинкой. Для получения снимков поверхность жидкости была посыпана ликоподием.

Рис. 25. Течение около движущейся пластинки. Снимок сделан неподвижной фотокамерой. Путь, проделанный пластинкой, заметен по следам ее боковых краев

Рис. 26. Течение около движущейся пластинки. Снимок сделан фотокамерой, двигавшейся вместе с пластинкой

Если провести линии тока через все точки какого-нибудь небольшого замкнутого контура, то при условии, что поле скоростей везде непрерывно, эти линии образуют на сколь угодно большом протяжении так называемую трубку тока. Такая трубка обладает той особенностью, что жидкость внутри нее в рассматриваемый момент времени течет, как в трубке с твердыми стенками. В самом деле, согласно определению, жидкость течет параллельно линиям тока; если бы жидкость проходила через стенку трубки тока, то это означало бы, что существует составляющая скорости, перпендикулярная к линиям тока, что противоречит определению последних. Жидкость, текущая внутри трубки тока, называется жидкой струйкой. При установившихся течениях трубки тока сохраняются неизменными все время и жидкость течет в них все время как в трубках с твердыми стенками. При неустановившихся течениях в трубках тока в каждый следующий момент времени текут иные частицы, чем в предыдущий момент. Мысленно разбивая все пространство, занятое жидкостью, на трубки тока, можно получить очень наглядное представление о течении жидкости. При решении многих простых задач, например, при изучении движения жидкостей в трубках и каналах, допустимо рассматривать все пространство, занятое потоком жидкости, как одну единственную жидкую струйку. При таком способе исследования неодинаковость скоростей в поперечном сечении трубы или канала оставляется без внимания и весь расчет сводится к получению некоторых закономерностей для средней скорости течения.