§ 7. Равновесие весомого газа.

Условия равновесия весомого газа в основном совпадают с условиями равновесия весомой жидкости. Поэтому уравнения, выведенные в предыдущем параграфе, вполне применимы и для газа. Во многих случаях, например, если пространство, занимаемое газом, имеет умеренную высоту, можно считать удельный вес газа постоянным во всем пространстве. Тогда можно пользоваться уравнениями (6) и (7) предыдущего параграфа, т.е. принимать газ за однородную жидкость. Но если пространство, занимаемое газом, имеет большую высоту, исчисляемую километрами, то тогда принимать газ за однородную жидкость уже недопустимо. В этом случае разности давлений на разных высотах столь велики, что вследствие сжимаемости газа плотность его вверху и внизу имеет значения, сильно отличающиеся друг от друга. Большую роль играют также разности температур на разных высотах. Следовательно, теперь все расчеты надо вести, исходя из уравнения (8) для неоднородной жидкости. Зависимость удельного веса от высоты z заранее неизвестна, зависимость же его от давления может быть найдена на основе определенного допущения о распределении температуры по высоте. Поэтому, прежде чем интегрировать уравнение (8), разделим его на ; после интегрирования мы получим:

Вычислим этот интеграл для простейшего случая, когда температура постоянна на любой высоте пространства, занимаемого газом. Удельный вес , т.е. вес единицы объема газа, обратно пропорционален объему определенного выделенного количества газа; в то же время удельный вес, на основании закона Бойля-Мариотта, прямо пропорционален давлению. Поэтому

Подставив это значение в правую часть уравнения (10) и вычислив интеграл, мы получим:

Как легко видеть из уравнения (7), величина есть не что иное, как высота столба жидкости постоянного удельного веса , причем на нижнем конце этого столба давление равно а на верхнем конце — нулю. Эту высоту называют высотой однородной атмосферы. Никакого реального значения для действительной атмосферы эта величина не имеет, она вводится только для удобства расчетов. Для примера найдем ее численное значение. Для этого необходимо сначала определить численное значение , что можно выполнить следующим образом. Из сосуда, в котором имеется кран, выкачаем воздух и взвесим сосуд на чувствительных весах. Затем, открыв кран, дадим сосуду наполниться воздухом. При этом воздух, входящий в сосуд, нагревается за счет работы, совершаемой внешней атмосферой. Обождав некоторое время, пока не выравняется разность температур, взвесим сосуд еще раз. Разность полученных весов даст нам вес воздуха в сосуде. Наконец, определим объем V сосуда. Для этого еще раз откачаем из сосуда воздух и, наполнив его водой через кран, открытый под водой, опять взвесим его на весах. Зная вес и объем воздуха, заключенного в сосуде, мы найдем его удельный вес:

Это значение соответствует давлению у поверхности земли, равному Для другого значения этого давления удельный вес будет иметь иное значение, которое легко подсчитать из простой пропорции. Для простоты вычислений примем, что Тогда для воздуха средней влажности при температуре в мы найдем, что

бы мы приняли давление равным одной физической атмосфере, т.е. то в числителе вместо 1,245 мы получили бы 1,286 для воздуха средней влажности и 1,293 для искусственно высушенного воздуха.)

Теперь, определив мы можем подсчитать величину Для этого надо выразить давление в той же системе единиц, как и . Мы имеем: следовательно,

По этой формуле мы можем найти высоту однородной атмосферы при любой температуре у поверхности земли. При температуре 0°С она равна

Вернемся к уравнению (10), которое теперь мы можем переписать в следующем виде:

или, обозначая для краткости высоту однородной атмосферы через

Применяя это уравнение к двум высотам мы получим:

откуда найдем:

Эта формула называется барометрической формулой для измерения высот (такое название она получила потому, что она дает возможность измерять высоты при помощи измерения давлений барометром, см. § 9). Из формулы (12) мы получаем следующую зависимость давления от высоты:

Выделим в атмосфере вертикальный столб воздуха с поперечным сечением простирающийся от высоты z вверх вплоть до границы атмосферы. При помощи рассуждений, аналогичных тем, которые мы провели в предыдущем параграфе в связи с рис. 8, мы найдем, что вес выделенного столба воздуха равен Следовательно, величина есть не что иное, как вес столба воздуха, простирающегося от высоты z до верхней границы атмосферы и имеющего поперечное сечение с площадью,

равной единице. На рис. 10 формула (13) изображена графически. Мы видим, что с увеличением высоты давление непрерывно уменьшается, но постепенно все медленнее. На бесконечно большой высоте давление делается равным нулю. Уменьшение давления по мере увеличения высоты легко проследить в свободной атмосфере при подъеме с барометром на башню или гору. Его можно обнаружить даже в многоэтажном доме. Если одновременно с отсчетом разности давлений измерить также температуру воздуха в пунктах отсчета, то при помощи формулы (12) можно с большой точностью определить разности высот обоих пунктов. Этот способ определения высоты используется не только в геодезии, но и при полете самолетов. Наоборот, если известна разность высот, то этот способ дает возможность определить средний удельный вес промежуточного слоя воздуха.

Рис. 10. Распределение давления в атмосфере с постоянной по высоте температурой

Если температура воздуха не одинакова на разных высотах, то формулой (12) все же можно пользоваться, разбивая для этого всю высоту на ряд таких отрезков, внутри которых разности температуры не очень велики. При этом для каждого отрезка высоты необходимо подсчитать соответствующее ему значение исходя из среднего значения температуры в рассматриваемом слое.

Остается исследовать вопрос о том, когда равновесие расслоенной массы газа устойчивое и когда неустойчивое. В отличие от соответствующего случая равновесия жидкости теперь недостаточно, чтобы верхние слои были легче нижних. В самом деле, при подъеме или опускании массы газа на другую высоту изменяется давление, а это влечет за собой изменение плотности. Поэтому устойчивость равновесия будет определяться соотношением между плотностью массы газа, изменившей свою высоту, и плотностью окружающей массы газа, а именно, равновесие будет устойчивым, если при подъеме массы газа плотность ее при новом давлении будет больше плотности окружающей среды, а при опускании, наоборот, меньше плотности окружающей среды. В самом деле, в каждом из этих случаев масса газа, попав в новое положение, будет стремиться вернуться в свое прежнее положение. При определенном распределении температуры существует такое равновесное расслоение массы газа, которое в отношении устойчивости соответствует однородной жидкости, т.е. является безразличным равновесием. Очевидно, это будет иметь место в том случае, когда любая масса газа при

перемещении в новое положение, следовательно, при новом давлении, приобретает такое же в точности состояние, как и окружающая среда. Но, как мы знаем, изменение состояния газа при отсутствии теплообмена происходит по адиабатическому закону (§ 5). Поэтому, если давление и плотность изменяются в соответствии с адиабатическим уравнением состояния (5), т.е. давлениер изменяется пропорционально (это следует из того, что обратно пропорциональна объему), то любая масса газа после подъема или опускания попадает в среду с такой же температурой, какую сама масса газа приобрела вследствие адиабатического изменения своего состояния. Следовательно, в новом положении рассматриваемой массы газа исключена возможность какого бы то ни было теплообмена. Можно показать, что такое адиабатическое расслоение газа возникает из какого-либо другого расслоения в результате сильного перемешивания, совершенно подобно тому, как однородная жидкость получается из неоднородного раствора, например, солевого, после разбалтывания.

В атмосферном воздухе при адиабатическом расслоении температура понижается на 1 °С при увеличении высоты примерно на 100 м. Если понижение температуры меньше указанного значения, то это означает, что наблюдаемое расслоение устойчивое. Повышение температуры при увеличении высоты означает еще большую устойчивость. Понижения температуры больше чем на 1 °С на 100 м высоты в свободной атмосфере вообще не бывает, так как такому распределению температуры соответствует неустойчивое состояние равновесия. Однако вблизи поверхности земли, когда почва теплее, чем воздух, часто наблюдается понижение температуры, большее 1 °С на 100 м высоты. Но в таком случае воздух не находится в равновесии, напротив, отдельные его части совершают вертикальные восходящие и нисходящие движения.