С. ТЕЧЕНИЯ В РАССЛОЕННЫХ ВЕСОМЫХ ЖИДКОСТЯХ

§ 12. Две жидкости различной плотности

а) Если две жидкости различной плотности наслоены одна на другую, то для исследования возникающих в них движений целесообразно воспользоваться указанным в § 6 гл. II способом разложения действительного давления на весовое и на кинетическое давления. Отбросив в более легкой жидкости весовое давление, как не играющее роли при ее движении, мы получим, что в более тяжелой жидкости наряду с кинетическим давлением будет теперь такое же весовое давление, как в жидкости с плотностью таком случае более легкую жидкость можно рассматривать как невесомую, а более тяжелую — как весомую, но подверженную меньшему ускорению силы тяжести, а именно, равному только

Отсюда прежде всего следует, что более тяжелая жидкость всегда стремится занять самое низкое положение.

Рис. 294. Вторжение холодного воздуха в горах

В горных местностях иногда можно наблюдать, как в долине, закрытой с трех сторон горными склонами, дует сверху вниз сильный ветер. На первый взгляд такое явление кажется непонятным, так как горные склоны делают невозможным такое направление ветра. Объяснение заключается в следующем: на другой стороне горной цепи происходит так называемое вторжение холодного воздуха; этот воздух перетекает через перевалы горной цепи и врывается в долину подобно горной реке (рис. 294). Если, например, разность высот между уровнем долины и верхней границей холодного воздуха составляет

1000 м, а температурный скачок равен 10°, то

В таком случае, если предположить, что трение не даст себя знать, скорость ветра будет равна

т. е. будет такой же, как при довольно сильной буре. В основе этого расчета лежит предположение, что масса теплого воздуха, расположенная в долине над массой холодного воздуха, находится приблизительно в безразличном (адиабатическом) равновесии (см. стр. 30). При устойчивом расположении слоев разности температур в более низких слоях уменьшаются, так как стекающий вниз холодный воздух адиабатически сжимается. Это приводит к уменьшению величины следовательно, к уменьшению скорости

Если лавина из порошкообразного снега падает с вертикального уступа и при этом происходит перемешивание снега с воздухом, то может образоваться такая смесь, плотность которой в несколько раз больше плотности воздуха, но которая, тем не менее, обладает свойствами жидкости. Если, например, плотность смеси в пять раз больше плотности воздуха, то ускорение падения смеси будет составлять 4/5 ускорения свободного падения, следовательно, при падении с высоты скорость потока будет равна круглым числом а соответствующее динамическое давление около В действительности движение потока из смеси снега и воздуха является, конечно, турбулентным. Тем не менее в ядре потока все же может возникнуть чрезвычайно большое динамическое давление, чем и объясняется, что такие «пылевые» лавины иногда сносят со своего пути целью строения.

Остановимся несколько подробнее на форме, которую имеет фронт холодной массы воздуха, вторгающейся в теплую массу воздуха, принимаемую за неподвижную. Когда холодный воздух приходит в движение, то сначала он начинает свертываться совершенно так же, как это

Рис. 295. Идеализированная картина продвижения фронта холодной массы воздуха (система отсчета движется вместе с фронтом)

изображено на рис. 45 на стр. 77 (необходимо только отбросить нижние половины потока в обоих его положениях). Образующийся вихрь увеличивается в размерах, и так как плотность воздуха в этом вихре больше, чем в окружающем теплом воздухе, то постепенно под действием тяжести он немного сплющивается. Таким путем возникает поток, который в идеализированном виде изображен на рис. 295 для системы отсчета, движущейся вместе с фронтом. Скорость поступательного перемещения фронта можно вычислить из условия, что давление везде изменяется непрерывно и поэтому оно одинаково и слева и справа от критической точки. Если скорость вторгающегося холодного воздуха равна а первоначальная скорость теплого воздуха то для системы отсчета, движущейся вместе с фронтом, указанное условие приводит к уравнению

откуда следует, что скорость поступательного перемещения холодного фронта равна

Если обе плотности отличаются друг от друга не очень значительно, как это обычно и бывает, то приближенно

что подтверждается наблюдениями.

Рис. 296. Действительная картина продвижения фронта холодной массы воздуха (система отсчета неподвижна относительно поверхности земли)

В предыдущих рассуждениях мы не учли, во-первых, трение, а во-вторых неустойчивость тех границ теплого и холодного воздуха, вдоль которых тяжелый холодный воздух расположен над более легким теплым воздухом. Поэтому действительная картина продвижения фронта холодного воздуха имеет несколько иной вид, чем на рис. 295; она изображена на рис. 296. для системы отсчета, неподвижной относительно поверхности земли. В такой системе отсчета линии тока сразу дают представление о направлении скорости для наблюдателя, находящегося на поверхности земли. Наблюдения над движением пыли во время бурь подтверждают правильность картины, изображенной на рис. 2961.

Аналогичное течение возникает также в том случае, когда восходящая масса воздуха, часто делающаяся заметной в виде кучевого облака, достигает слоя, в котором температура выше, чем в нижележащих слоях. В такой слой восходящая масса воздуха не может проникнуть, и поэтому, сохраняя свою кинетическую энергию, она отклоняется в стороны и начинает двигаться горизонтально вдоль границы этого слоя. При этом фронт движущегося воздуха свертывается так же, как на рис. 295, но одновременно и вверх и вниз. При подходящих условиях этот двойной вихрь может сохраняться очень долго, причем в верхней его части возникает новая конденсация. Таким путем иногда возникают изолированные вытянутые в длину облака, простирающиеся от одного горизонта к другому.

Многократное повторение такого явления часто приводит к тому, что на некоторой высоте возникает последовательность тонких слоев воздуха с различными направлениями ветра и с различной степенью влажности. Эти тонкие слои иногда делаются заметными либо благодаря зигзагообразному движению ледяных игл, медленно падающих через эти слои (перистые облака), либо благодаря образованию тонких облаков в том случае, когда вся масса воздуха поднимается как целое.

b) На горизонтальной поверхности раздела двух жидкостей различной плотности могут возникать под действием силы тяжести волновые движения, сходные с такими же движениями на свободной поверхности жидкости. Если обе жидкости находятся в покое относительно друг

друга, то при достаточной толщине обоих слоев образуются волны, скорость распространения которых, как уже было упомянуто на стр. 134, равна

где есть длина волны. Скорости движения, вызванные волнами в обеих жидкостях, одинаковы и по мере удаления от поверхности раздела уменьшаются так же, как величина Горизонтальные скорости в обеих жидкостях направлены в разные стороны.

Так же как и на свободной поверхности, на поверхности раздела возможны стоячие волны. Они получаются, например, при наложении двух волн, движущихся навстречу друг другу. Период колебания таких волн равен

где с есть скорость распространения, определяемая формулой (56).

Формула (56) применима только в том случае, когда толщина каждого слоя жидкости велика по сравнению с При меньшей толщине слоев для скорости распространения волн получается значительно более сложная формула. Однако, если один из слоев, имеет очень большую толщину по сравнению с толщиной другого слоя и разность плотностей мала по сравнению со средним арифметическим то для скорости распространения очень длинных волн получается простая формула:

Кроме того могут образоваться волны на свободной поверхности, скорость распространения которых при большой длине волны равна

Формула (56) показывает, что если разность мала, то скорость распространения внутренних волн незначительна по сравнению со скоростью распространения поверхностных волн.

Такой случай имеет место, например, при наслоении пресной воды на соленую при таянии дрейфующего льда в полярных морях. Наблюдения показывают, что в этом случае при достаточной толщине слоя пресной воды скорость движения корабля не может превысить скорости распространения внутренних волн. Так происходит потому, что весь излишек мощности расходуется на образование внутренних волн с весьма значительной амплитудой, и поле давлений потока в верхнем слое удерживает корабль все время над гребнем волны. Для того чтобы дать возможность кораблю двигаться с нормальной скоростью, необходимо превысить критическую скорость движения, прежде чем в полной мере начнет проявлять себя тормозящее действие внутренних волн. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы переход от малой скорости движения к нормальной скорости происходил очень быстро. Достигнув нормальной скорости, корабль беспрепятственно продолжает двигаться с этой скоростью дальше.

Известный интерес представляют также волны, возникающие на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности, движущихся со скоростями В случае жидкостей, покоящихся относительно друг друга, для каждой заданной длины волны возможны два решения, одно из которых дает волны, распространяющиеся вправо, а другое — волны, распространяющиеся влево, причем скорость распространения с тех и других волн одинакова. Аналогичное положение мы имеем и в случае относительного движения обеих жидкостей. Для волн с настолько большой длиной, что скорость их распространения, вычисленная по формуле (56), значительно больше, чем или обе скорости имеют различные знаки; с уменьшением длины разница делается все меньше и, наконец, при предельном значении равном

обе скорости с совпадают друг с другом, причем общее значение с равно

При значениях меньших обычное волновое движение невозможно, так как в этом случае амплитуда возникающих волн с течением

времени нарастает (могут возникать также волны с амплитудой, с течением времени убывающей, однако такие волны не представляют интереса). Все волны с длиной, большей устойчивы. Характер их распространения ничем не отличается от случая относительного покоя обеих жидкостей. Все волны с длиной, меньшей имеют фазовую скорость (58). Амплитуда их возрастает по показательному закону, и в конце концов они опрокидываются. Это приводит к перемешиванию соприкасающихся жидкостей, вследствие чего вместо поверхности раздела со скачком плотности получается переходный слой конечной толщины с непрерывным изменением плотности. После образования такого слоя все возмущения волнового характера становятся устойчивыми. Рассмотренная здесь в общих чертах теория находит применение при изучении волн, возникающих на границе двух движущихся слоев воздуха разной температуры. Впервые изучением таких волн занимался Гельмгольц. Часто эти волны делаются видимыми благодаря образованию правильной последовательности облаков на их гребнях. В тех случаях, когда они остаются невидимыми, они всегда могут быть обнаружены по ритмичным колебаниям атмосферного давления.