§ 17. Теория крыла.

Если крыло имеет конечный размах, то на задней его кромке образуется, как об этом уже было рассказано в § 7 гл. II (см. рис. 46), поверхность раздела. Края этой поверхности свертываются, вследствие чего возникают два вихри, простирающиеся позади крыла на протяжении всего его пути. В каждый промежуток времени длина этих вихрей увеличивается на длину пути, пройденного крылом, поэтому кинетическая энергия вихрей должна все время возрастать. Но для этого, на основании закона сохранения энергии, необходимо, чтобы крыло все время совершало работу. Очевидно, что эта работа может состоять только в преодолении сопротивления. Таким образом, крыло конечного размаха испытывает сопротивленце даже при движении в жидкости, лишенной трения. Приближенное вычисление этого сопротивления возможно следующим образом.

Из § 11 гл. II мы знаем, что в жидкости, лишенной трения, подъемная сила всегда перпендикулярна к направлению скорости набегающего потока. При движении крыла конечного размаха жидкость около той его поверхности, на которой давление повышено, отклоняется к концам крыла и перетекает здесь на подсасывающую поверхность. Такое движение жидкости можно рассматривать как результат ее выдавливания под действием веса крыла; скорость этого движения определяется двумя составляющими, совпадающими по направлению с вертикальной и боковой составляющими градиента давления.

Поэтому результирующая скорость течения около крыла складывается геометрически из скорости набегающего потока и из скорости только что указанного движения, вызванного самим крылом. Из обеих составляющих этого движения основную роль играет вертикальная

составляющая направленная вниз перпендикулярно к скорости и измеренная непосредственно около крыла (заметим, что величина этой составляющей различна около различных точек крыла, поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду ее среднее значение). Вследствие наличия скорости w (рис. 165) поток около крыла отклоняется вниз в среднем на угол, определяемый из соотношения

Рис. 165. Возникновение индуктивного сопротивления

Результирующая сила сопротивления, согласно сказанному выше, перпендикулярна к направлению отклоненного потока и поэтому при разложении дает две составляющие: подъемную силу А, перпендикулярную к направлению движения крыла, и сопротивление

направленное против движения крыла. Задача теории крыла состоит в том, чтобы определить вызванную крылом скорость

Мы решим здесь эту задачу в предположении, что подъемная сила А достаточно мала, и поэтому отклонение набегающего потока от первоначального направления также невелико. Такое предположение значительно упрощает задачу, так как позволяет во всех вычислениях сохранить только величины самого низкого порядка малости. В частности, при рассмотрении углов, образуемых линиями тока относительного течения с направлением движения, можно вместо синуса и тангенса брать дугу, а косинус считать равным единице.

Для определения поля скоростей, вызванных крылом, заменим последнее и сбегающую с него поверхность раздела системой вихрей. Подъемная сила всегда связана с циркуляцией, а именно, согласно теореме Жуковского, которая применима и здесь, подъемная сила на единицу длины равна

где есть циркуляция (см. § 11 и 13 гл. II; другой вывод этого соотношения будет дан на стр. 289). Следовательно, крыло действует на

Рис. 166. Упрощенная система вихрей, заменяющих крыло

Рис. 167. Уточненная система вихрей, заменяющих крыло

части жидкости, более или менее удаленные от него, как отрезок вихревой нити с напряженностью (циркуляцией) Однако к этому вихрю, заменяющему собой крыло, теорема Гельмгольца о том, что вихрь состоит все время из одних и тех же частиц жидкости, неприменима. Поэтому такой вихрь принято называть несущим вихрем, в отличие от свободного вихря, удовлетворяющего теореме Гельмгольца.

Наиболее простой вихревой системой, заменяющей крыло конечного размаха, будет система, состоящая из одного несущего вихря с напряженностью (рис. 166) и двух параллельных свободных вихрей с такой же напряженностью, сбегающих с концов крыла и простирающихся до бесконечности (необходимость последнего обстоятельства вытекает из теоремы о том, что вихревая нить нигде внутри жидкости не может окончиться и должна состоять все время из одних и тех же частиц; эта теорема имеет чисто кинематический характер и поэтому одинаково приложима как к свободному вихрю, так и к системе, состоящей из несущего и свободных вихрей). Однако в действительности подъемная сила отдельных элементов (профилей) крыла по мере приближения к концам крыла уменьшается, поэтому указанная вихревая система является лишь первым приближением. Для получения системы вихрей, более точно заменяющей крыло конечного размаха, следует наложить друг на друга очень большое число упрощенных систем, каждая из которых имеет бесконечно малую напряженность и свой размах (рис. 167). Такая система вихрей дает приближенную картину поверхности раздела, сбегающей с задней кромки крыла, однако без учета тех изменений, которые эта поверхность испытывает по мере удаления от крыла вследствие возрастающего свертывания. Чем меньше подъемная сила, тем медленнее происходит свертывание поверхности раздела, и в предельном случае очень малой подъемной силы этим свертыванием при определении поля скоростей вблизи крыла можно полностью пренебрегать.

Для решения нашей задачи в ее упрощенной постановке надо определить около самого крыла только ту составляющую скорости, вызванную крылом, которая параллельна подъемной силе. Заменив крыло упрощенной системой вихрей, изображенной на рис. 166, мы получим для середины крыла следующий результат. Вихревая нить с напряженностью простирающаяся вперед и назад от крыла до бесконечности, вызывает на расстоянии а от себя скорость

(см. § 12 гл. II). Вихрь, простирающийся только назад от вертикальной плоскости, проведенной через крыло, вызывает в этой плоскости на расстоянии а от себя скорость, равную, из соображений симметрии, половине только что указанного значения, т. е.

В середине крыла скорости, вызванные вихрями, сбегающими с правого и левого концов крыла, складываются; так как здесь где I есть размах крыла, то после сложения мы получим:

На основании теоремы Жуковского мы имеем:

поэтому

Начиная от середины крыла к его концам, скорость как легко убедиться, возрастает, достигая на концах крыла бесконечно большого значения. Такой результат означает не что иное, как недопустимость предположения о сохранении подъемной силой постоянного значения на протяжении всего размаха. Более точная теория, исходящая из рассмотрения уточненной системы вихрей, изображенной на рис. 167, показывает, что скорость получается постоянной по всему размаху

только в том случае, если распределение подъемной силы вдоль размаха изображается половиной эллипса (рис. 168). Так как при таком распределении подъемной силы циркуляция в середине крыла в раз больше своего среднего значения и, кроме того, отдельные вихревые нити в среднем лежат ближе к середине крыла, чем в случае упрощенной системы вихрей, то скорость должна быть больше полученного выше значения Выполнение интегрирования для всех вихревых нитей дает для скорости значение:

Рис. 168. Эллиптическое распределение подъемной силы

Эта скорость, складываясь со скоростью набегающего потока, приводит к отклонению его от первоначального направления на угол определяемый из соотношения

Так как скорость при эллиптическом распределении подъемной силы остается, как было сказано, постоянной по всему размаху, то остается постоянным и угол Поэтому в данном случае непосредственно применимо соотношение (91), которое теперь принимает вид:

Это сопротивление, возникающее при движении крыла конечного размаха в жидкости без трения, называется индуктивным сопротивлением (такое название дано ввиду формальной аналогии рассматриваемого явления с электромагнитной индукцией). Скорость вызванная крылом, называется индуктивной скоростью. Более подробное исследование показывает, что индуктивное сопротивление, определяемое формулой (94) в виде функции от подъемной силы А, является минимальным при заданном размахе При всех других распределениях подъемной силы,

отличающихся от эллиптического, индуктивное сопротивление получается больше.

Минимальное свойство формулы (94) связано с постоянством индуктивной скорости вдоль размаха. Так как функция вблизи своего минимума изменяется обычно незначительно, то формулу (94) можно применять как приближенную формулу также для других распределений подъемной силы, при условии, что они не очень отличаются от эллиптического распределения. В частности, это вполне допустимо для прямоугольного крыла с не очень малым относительным размахом.

Формула (94) показывает, что индуктивное сопротивление, связанное с возникновением подъемной силы, тем меньше, чем на большем размахе распределена подъемная сила. Именно по этой причине крылья всех самолетов имеют размах, значительно больший, чем ширина крыла. Последняя не входит в формулу (94), что означает следующее: величина индуктивного сопротивления зависит от состояния потока позади крыла, но не от того, как это состояние создается: на малой ли ширине большими разностями давлений или на несколько большей ширине малыми разностями давлений.

Исследование возмущения, остающегося позади крыла при его движении, приводит к другому, весьма наглядному выводу формулы (94). Быстро движущееся крыло, встречая на своем пути все новые и новые массы воздуха, в течение очень короткого времени давит последовательно на каждую из этих масс. Вместо этого можно представить себе, что крыло давит мгновенно на массу воздуха на протяжении всего своего пути подобно доске, имеющей размах I и ширину и получающей резкое ускорение вниз. При таком мгновенном давлении возникает плоское потенциальное течение (см. § 10 п. с) гл. II), причем поверхность, на которую действует давление, превращается в поверхность раздела. Картина такого течения изображена на рис. 169. Ударные

Рис. 169. Течение позади крыла

давления

определяющие это течение, можно связать, с одной стороны, с потенциалом скоростей, а с другой стороны — с распределением подъемной силы. Выполняя вычисления, мы придем опять к соотношению (94).

Вычисления производятся следующим образом. Если пренебречь квадратами скоростей, вызванных возмущением течения, то уравнение (39) гл. II примет вид:

где есть невозмущенное давление в бесконечности. Интегрируя по времени от начала удара до его конца и принимая, что до удара везде было мы получим:

Обозначим давление под поверхностью раздела во время удара через а над поверхностью раздела — через тогда мы будем иметь:

Ударная сила на участке поверхности раздела длиной или, другими словами, количество движения на отрезке пути длиной равно

Подъемная сила представляет собой приращение во времени этого количества движения. Следовательно, имея в виду, что мы получим:

Это соотношение выражает собой не что иное, как теорему Жуковского в применении к крылу конечного размаха.

Скорость с которой поверхность раздела опускается вниз после удара, примем для простоты постоянной, т. е., согласно сказанному по поводу формулы (94), поставим задачу об отыскании минимального индуктивного сопротивления. Эта скорость равна удвоенной индуктивной скорости (см. приближенный расчет, сделанный на стр. 285 для случая, изображенного на рис. 165). Связь между циркуляцией на поверхности раздела и скоростью определяется однозначно из второй краевой задачи теории потенциала, а именно, циркуляция пропорциональна скорости Из соображений о размерностях можно принять, что

где есть некоторая площадь. Подставляя это значение интеграла в равенство (95), мы получим:

Для определения индуктивного сопротивления воспользуемся законом сохранения энергии. Работа индуктивного сопротивления в единицу времени равна а работа, совершаемая в эту же единицу времени подъемной силой для перемещения поверхности раздела, равна Приравнивая обе эти работы и подставляя для скорости ее значение, определяемое из соотношения (97), мы получим:

В случае прямоугольного крыла, для которого распределение циркуляции вдоль у имеет вид полуэллипса, величина равна площади окружности, описанной на размахе I как на диаметре, т.е. Внося это значение

в формулу (98), мы приведем ее к прежнему виду (94). Заметим, что при условии формула (98) применима к любой системе прямолинейно движущихся крыльев (к одиночному крылу, к биплану, к крылу с концевыми шайбами, а также к крылу в аэродинамической трубе). Необходимо только в каждом отдельном случае определять соответствующее значение площади

Для лучшего уяснения формул (97) и (98) выведем их еще раз упрощенным способом. Примем, что масса воздуха с поперечным сечением над которой пролетело крыло, движется с постоянной скоростью в направлении действовавшей на нее силы, остальная же масса воздуха остается в покое. В каждую секунду крыло приводит в двжение массу, равную

Следовательно, изменение количества движения в направлении эквивалентное действию подъемной силы А в течение одной секунды, равно

при этом масса воздуха приобретает кинетическую энергию,

которая, очевидно, должна быть равна работе производимой индуктивным сопротивлением на крыле в одну секунду. Таким образом, мы получаем:

Отсюда, имея в виду, что

мы получим опять формулу (98).

Индуктивное сопротивление можно вычислить также для таких распределений циркуляции которые не приводят к постоянной индуктивной скорости Учитывая, что индуктивная скорость получается наложением скоростных полей отдельных бесконечно малых вихрей с напряженностью (у есть переменная интегрирования), мы легко найдем, на основании сказанного на стр. 286, что

Из рис. 165 видно, что индуктивная скорость вызывает скос потока, набегающего на крыло, вследствие чего действительный угол атаки равен

где а есть геометрический угол атаки. Циркуляция определенным образом связана с углом атаки а, а именно, при надлежащем определении этого угла для того положения профиля, в котором подъемная сила равна нулю) она пропорциональна углу а, т.е.

Отсюда, имея в виду равенство (95), нетрудно найти, что

причем здесь а означает угол атаки при плоском обтекании (приближенное теоретическое значение коэффициента С равно см. стр. 280). Для исключения угла а воспользуемся соотношением

В результате исключения мы получим для интегрально-диференциальное уравнение, решение которого должно дать зависимость от геометрического угла атаки а и ширины крыла Так как это уравнение линейно относительно то решение его возможно путем разложения в ряд. Выли предложены многочисленные способы выполнения такого решения. Впервые это сделал Бетц для простого прямоугольного крыла, воспользовавшись следующим разложением в ряд:

где

При таком способе решения индуктивная скорость получается как сумма целых функций степени от Однако определение коэффициентов этого ряда требует утомительных вычислений. Трефти воспользовался рядом

сходным с предыдущим и получающимся путем введения вспомогательного угла при помощи соотношения

Индуктивная скорость при таком способе решения получается в виде ряда

Для прямоугольного крыла Трефтцу удалось свести решаемую задачу к краевой задаче теории потенциала. Однако вычисление коэффициентов в общем случае оказалось очень затруднительным. Значительно улучшила этот способ решения Ирмгард Лотц, предложившая разлагать функции ряды Фурье. При таком способе определение коэффициентов возможно путем итерации, начиная с коэффициента

Новый и решительный успех в рассматриваемый вопрос внес Мультгопп. Его метод получил сейчас всеобщее распространение.

В случае двойного крыла (биплана) каждое крыло индуцирует свое поле скоростей, а каждое из этих полей, в свою очередь, влияет на другое поле (самоиндукция и взаимная индукция). Если подъемная сила невелика, то все отдельные действия налагаются друг на друга, следовательно, полное индуктивное сопротивление будет равно:

где есть индуктивное сопротивление первого крыла под своим собственным действием, индуктивное сопротивление первого крыла под действием второго крыла и т. д. Полное индуктивное сопротивление биплана меньше, чем индуктивное сопротивление отдельного крыла с той же подъемной силой и с тем же размахом, так как поперечное сечение массы воздуха, отбрасываемой вниз бипланом, больше, чем такое сечение для отдельного крыла. Подробное исследование показывает, что в результате взаимного влияния обоих крыльев подъемная

сила верхнего крыла увеличивается, а подъемная сила нижнего крыла, наоборот, уменьшается; кроме того, около каждого крыла происходит такое изменение кривизны потока, которое равносильно уменьшению кривизны скелетной линии профиля. Опыты хорошо подтверждают эти результаты.

Для численного определения индуктивного сопротивления биплана заданной формы разработаны эффективные методы. Ограничимся здесь только ссылкой на работы Фукса и Кюхемана.

С задачей об определении индуктивного сопротивления биплана родственна задача о поведении крыла вблизи поверхности земли. Эту задачу можно свести к задаче о биплане в неограниченном пространстве, если ввести в рассмотрение зеркальное отражение крыла относительно поверхности земли. При таком решении поверхность земли играет роль плоскости симметрии; скорости всех частиц воздуха, лежащих в этой плоскости, направлены параллельно этой плоскости. Нетрудно видеть, что действие отраженного крыла сводится к уменьшению индуктивной скорости следовательно, к понижению индуктивного сопротивления и к уменьшению скорости натекания. Эти теоретические выводы подтверждаются опытами.

Исследование обтекания крыла способом зеркального отражения может быть применено в несколько измененном виде также к случаю крыла, помещенного в замкнутой трубе или в свободной струе. Таким путем можно определить порядок поправки, которые необходимо сделать при пересчете результатов измерений, полученных в аэродинамической трубе, к неограниченному воздушному пространству. Теория этих поправок для аэродинамических труб с круглым поперечным сечением хорошо согласуется с результатами опыта. Поправки для труб прямоугольного поперечного сечения, а также для свободных струй даны Глауэртом.