§ 13. Теорема о количестве движения и теорема о моменте количества движения для установившихся движений.

Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения, хорошо известные из общей механики, находят своеобразное применение к установившимся движениям жидкостей, а также к таким неустановившимся движениям, которые во времени могут рассматриваться в среднем как установившиеся. Ценность этих теорем состоит в том, что для их применения требуются только данные о состоянии потока на граничных поверхностях рассматриваемой области, но не внутри области; это позволяет получать из них выводы о таких гидродинамических явлениях, детали которых не могут быть полностью учтены.

Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду (§ 2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы.

При установившемся движении какой-либо ограниченной массы жидкости изменение ее количества движения возникает

исключительно вследствие перемещения ее границ. В самом деле, при установившемся движении каждая частица жидкости внутри выделенной массы заменяется на своем месте другой частицей, принимающей здесь скорость первой частицы. Поэтому для определения изменения количества движения достаточно выяснить только то, что происходит на границах выделенной массы жидкости. Для этой цели рассмотрим жидкую струйку, изображенную на рис. 73.

Рис. 73. Пояснение к теореме о количестве движения

Прежде всего заметим, что жидкая струйка должна состоять все время из одних и тех же частиц жидкости, так как иначе нельзя будет основываться на теореме общей механики о количестве движения системы. Следовательно, во все время движения частицы жидкости, принадлежащие к жидкой струйке, не должны ее покидать, а частицы жидкости, не принадлежащие к ней, не должны в нее проникать. Это означает, что поверхности, ограничивающие выделенную массу жидкости, должны перемещаться вместе с жидкостью, т.е. они должны быть жидкими поверхностями. Таким образом, в нашей жидкой струйке ее концевые поперечные сечения должны перемещаться вместе с жидкостью, первоначально заключенной в жидкой струйке. Перемещение левого сечения А струйки приводит к переносу массы

а перемещение правого сечения В — к переносу массы

В правых частях этих равенств обозначают площади концевых поперечных сечений жидкой струйки, скорости течения в этих сечениях. Вследствие неразрывности потока мы имеем:

Полное изменение количества движения за время около сечения В равно следовательно, в единицу времени оно равно

Направление этого изменения количества движения совпадает с направлением скорости Изменение количества движения в единицу

времени около сечения А равно

и по направлению противоположно скорости Векторную сумму этих изменений количеств движения, отнесенных к единице времени, следует приравнять результирующей всех внешних сил, действующих на выделенную массу жидкости. Вместо изменений количеств движения можно рассматривать соответствующие им «реакции», т. е. силы такой же абсолютной величины, но противоположного направления. Векторная сумма этих реакций, очевидно, уравновешивается внешними силами, приложенными к выделенной массе жидкости. Следовательно, в случае жидкой струйки, изображенной на рис. 73, реакция в сечении А направлена в сторону скорости а в сечении В — в сторону, обратную скорости

Для правильного применения теорем о количестве движения и о моменте количества движения целесообразно ограничивать рассматриваемую массу жидкости замкнутой, так называемой контрольной поверхностью (на следующих ниже рис. 77 и 78 эта поверхность отмечена пунктиром). Векторная сумма всех внешних сил, действующих на жидкость, заключенную внутри контрольной поверхности, должна, согласно сказанному выше, уравновешиваться с векторной суммой реакций, вычисленных для всех жидких струек, проходящих через выделенную область. Следовательно, должны быть равны нулю суммы проекций всех сил и суммы моментов всех сил для всех координатных осей. Однако очень часто можно ограничиться составлением уравнения равновесия только для одного координатного направления.

При неустановившемся движении изменение количества движения выделенной массы жидкости происходит не только вследствие перемещения границ, но и вследствие изменения скоростей внутри выделенной жидкости. Если, как это часто бывает при турбулентных движениях, скорость неустановившегося потока в среднем не изменяется, то сумма изменений количеств движения внутри выделенного объема в среднем получается равной нулю, и тогда можно применять к неустановившимся потокам теоремы о количестве движения и моменте количества движения также, как и к установившимся. Правда, в таких случаях необходимо соблюдать осторожность при составлении средних значений на контрольной поверхности (см. § 14).

Рассмотрим несколько примеров применения теорем о количестве движения и моменте количества движения.

а) Сила, с которой жидкость, текущая по изогнутому каналу, действует на его стенки. Пусть жидкость входит в канал со скоростью при давлении и выходит из канала со скоростью при давлении Пусть далее, есть площадь входного поперечного сечения, площадь выходного поперечного сечения.

Рис. 74. Движение жидкости в изогнутом канале

Тогда изменение количества движения во входном поперечном сечении будет равно и направлено против скорости Этому изменению количества движения соответствует равная по величине, но противоположно направленная сила, с которой текущая жидкость действует на стенки канала. К этой силе прибавляется еще сила давления, равная и направленная в ту же сторону. Следовательно, жидкость, вступающая в канал, действует на его стенки с силой Аналогичным образом, жидкость при выходе из канала действует на его стенки с силой направленной против скорости опять внутрь контрольной поверхности. Геометрическая сумма сил представляет собой полную реакцию жидкости, текущей по изогнутому каналу, на его стенки.

Ъ) Реакция вытекающей струи. Пусть струя вытекает через отверстие в стенке из области, давление в которой равно в область, давление в которой равно Количество движения, переносимое струей, равно

где есть скорость истечения струи, площадь поперечного сечения струи. Подставляя вместо его значение согласно формуле (17), мы получим:

Следовательно, количество движения, переносимое струей, равно удвоенной силе давления на площадь поперечного сечения струи, причем направлено оно в сторону скорости истечения. Этому переносу количества движения соответствует реакция вытекающей струи, равная по величине, но противоположно направленная. Удвоенная величина давления объясняется тем, что в отверстии, кроме исчезновения избыточного статического давления происходит дополнительное уменьшение давления на такую же величину вследствие притекания

жидкости к отверстию. Реакцию вытекающей струи легко обнаружить, если поместить сосуд, из которого происходит истечение, на легкую тележку. Тогда тележка вместе с сосудом будет двигаться в направлении, противоположном направлению истечения струи. На реакции вытекающей струи основано действие так называемого сегнерова колеса (рис. 75). С помощью такого колеса можно поднимать на высоту груз, как это показано на рис. 75, или выполнять другую работу. В прежние времена сегнеровы колеса строились часто больших размеров.

Рис. 75. Колесо Сегнера

Рис. 76. Насадок Борда

В одном частном случае, а именно при истечении через так называемый насадок Борда (рис. 76), теорема о количестве движения позволяет вычислить коэффициент сжатия струи, т. е. отношение поперечного сечения струи к поперечному сечению отверстия (см. § 5). В самом деле, при истечении через насадок Борда на любую часть стенок сосуда действует в направлении истечения струи полное избыточное давление Поэтому количество движения переносимое струей, должно уравновешиваться силой давления во входном поперечном сечении, следовательно, должно соблюдаться равенство

откуда находим:

т.е. коэффициент сжатия равен 1/2.

с) Внезапное расширение трубы. Если поток жидкости, текущий по цилиндрической трубе со скоростью внезапно переходит в более широкую, также цилиндрическую трубу, то образуется струя, отделенная от остальной жидкости поверхностью раздела. Вследствие неустойчивости этой поверхности (§ 7), струя быстро, на коротком участке, смешивается с окружающей жидкостью, и в дальнейшем движение жидкости происходит приблизительно равномерно со средней скоростью меньшей Скорости соответствует давление большее давления отвечающего скорости

Рис. 77. Внезапное расширение трубы

Для вычисления повышения давления теорема Бернулли теперь неприменима, так как мы не знаем деталей движения струи в области, в которой происходит смешение. Однако при помощи теоремы о количестве движения это повышение давления можно вычислить, не зная указанных деталей. Проведем контрольную поверхность, ограничивающую область, в которой происходит смешение так, как показано на рис. 77. Внешние силы действуют только на основания этой цилиндрической поверхности, и их равнодействующая равна где есть площадь поперечного сечения широкой трубы. Согласно теореме о количестве движения мы имеем:

Изменения количества движения на обоих основаниях контрольной поверхности равны соответственно

следовательно,

откуда

Если бы труба расширялась не внезапно, а постепенно, то изменение давления при переходе от узкого к широкому поперечному сечению определялось бы уравнением Бернулли и было бы равно

Следовательно, внезапное расширение трубы приводит к тому, что происходит потеря давления, равная, как легко вычислить,

Из общей механики известно, что такой же формулой выражается потеря кинетической энергии при неупругом ударе твердых тел. Поэтому прежде часто говорили, что при внезапном расширении потока происходит потеря давления на удар, хотя в действительности при смешении двух потоков жидкости не происходит никакого удара. Единственная общая черта этих двух явлений состоит в том, что при обоих явлениях происходит некоторая потеря скорости.

d) Парение тяжелого тела в воздухе. Для того чтобы тяжелое тело парило в неподвижном воздухе, необходимо, чтобы оно отбрасывало вниз все время новые массы воздуха, сообщая им определенную скорость Примем для простоты расчета, что в потоке воздуха, который тело отбрасывает вниз, устанавливается на некотором расстоянии от тела постоянная скорость. Масса воздуха, приводимая в движение в единицу времени, равна где есть площадь поперечного сечения отбрасываемого потока. Обозначим ту массу через Далее предположим, что разностью давлений в движущемся вниз потоке можно пренебречь. Тогда, согласно теореме о количестве движения, мы будем иметь:

где есть вес тела. Реакция воздуха на покоящееся тело равна

следовательно, направлена вверх, т. е. дает подъемную силу. Из полученного соотношения можно определить скорость необходимую для поддержания тяжелого тела в неподвижном воздухе в неподвижном состоянии. Этот расчет с большой степенью точности применим для свободного геликоптерного винта при условии, что винт находится на достаточном расстоянии от поверхности земли. В таком случае образуется направленная вертикально вниз струя воздуха, переносящая количество движения Эта струя, смешиваясь на достаточно большом пути с окружающим ее неподвижным воздухом, замедляет свою скорость, однако переносимое ею количество движения остается неизменным, так как по мере уменьшения скорости струи происходит

увеличение увлекаемой ею массы воздуха. В конце концов струя достигает поверхности земли и, теряя при этом свое количество движения, передает вес винта на поверхность земли в виде силы давления.

При движении самолета движущиеся вниз массы воздуха создаются вихревой системой, оставляемой позади себя крылом (§ 12). Однако теперь, в отличие от случая геликоптерного винта, разностью давлений в нисходящем потоке воздуха пренебрегать нельзя, и поэтому получаются более сложные соотношения. Следовательно, реакция воздуха на крыло, т. е. подъемная сила крыла будет определяться не только изменением количества движения отбрасываемой массы воздуха, но также разностью давлении в струе, и поэтому от формы контрольной поверхности будет зависеть, какая доля подъемной силы будет возникать за счет изменения количества движения и какая доля — за счет давления. Нисходящий вниз поток воздуха создает на поверхности земли увеличение давления и тем самым передает вес самолета на поверхность земли в виде силы давления.

Рис. 78. Решетка из крыльев

е) Решетка из крыльев. Теорема Жуковского. Для того чтобы изучить взаимодействие лопаток турбины или лопастей воздушного винта с обтекающим их воздухом, целесообразно сначала рассмотреть более простой случай обтекания решетки из одинаковых бесконечно длинных крыльев или лопаток, установленных на равном расстоянии и параллельно друг другу (рис. 78). Применяя к этому случаю теорему о количестве движения и прибегая одновременно к помощи уравнения Бернулли и уравнения неразрывности, можно получить очень важные соотношения между силами, действующими на крылья, и скоростью течения. На рис. 78, кроме крыльев, изображены также в схематическом виде линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно крыльев. Расположение крыльев, показанное на этом рисунке, соответствует случаю винта; в турбине лопатки обращены своей выпуклостью в обратную сторону, и составляющие реакции жидкости на лопатку имеют противоположные

направления. Однако приводимый ниже расчет одинаково применим и к винту и к турбине. Теорему о количестве движения теперь следует применить для двух направлений — параллельного и перпендикулярного к плоскости, проходящей через соответственные точки крыльев (будем называть эту плоскость для краткости плоскостью решетки). Составляющие скорости в направлениях, параллельном и перпендикулярном к плоскости решетки, обозначим через а соответствующие составляющие силы реакции на единицу длины крыла — через считая последние положительными в направлениях, указанных на рис. 78. Индексом 1 будем отмечать скорости и давления перед решеткой, а индексом 2 — позади решетки.

Предположим, что движение жидкости происходит без потерь энергии. Тогда мы будем иметь потенциальное движение с циркуляцией вокруг крыльев решетки. При таком движении скорость течения на некотором расстоянии впереди и позади решетки практически одинаковая. Это обстоятельство и позволяет применить теорему о количестве движения к выяснению связи между реакцией потока и скоростью течения, не прибегая при этом к анализу тех явлений, которые происходят в промежутках между крыльями, правда, при условии, что здесь не возникают большие вихри (это может иметь место при неудачной форме профиля крыльев). Уравнение неразрывности дает нам:

где а есть расстояние между соседними крыльями и секундное количество жидкости, протекающее между каждой парой крыльев в слое, параллельном продольной оси крыльев и имеющем толщину, равную единице. Отсюда следует, что

Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем обе составляющие обозначать просто через Так как результирующие скорости перед и позади крыла равны соответственно

то из уравнения Бернулли следует:

или

Для применения теоремы о количестве движения проведем контрольную поверхность, пересекающую плоскость рис. 78 по двум линиям тока, проходящим над и под крылом и отстоящим друг от друга на расстоянии а, равном расстоянию между крыльями, и по двум прямым длиной а, параллельным плоскости решетки (основания этой поверхности образованы двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно единице). Сквозь обе боковые части контрольной поверхности, образованные линиями тока, жидкость не протекает, следовательно, эти поверхности не дают составляющих изменения количеств движения. Далее, так как эти поверхности совершенно одинаковые, то распределение давления на них также совершенно одинаковое, а поэтому они не влияют на результирующую сил давления. Таким образом, необходимо вычислить только изменения количеств движения и силы давления, возникающие на частях контрольной поверхности, параллельных плоскости решетки. Масса жидкости, протекающая сквозь эти части в одну секунду, равна

Применяя теперь теорему о количестве движения к направлениям, параллельным осям х и у, мы получим:

Введем в эти формулы циркуляцию вокруг крыла. Для ее вычисления воспользуемся опять пунктирной линией на рис. 78. Так как верхняя и нижняя линии тока совершенно одинаковые и при вычислении циркуляции они обходятся в противоположных направлениях, то криволинейные интегралы вдоль них взаимно уничтожаются. Прямые участки контура при составлении циркуляции дают значения следовательно, циркуляция вокруг крыла равна

Далее, имея в виду, что

из уравнений (49) и (52) мы получим:

Таким образом, формулы (50) и (51) могут быть переписаны в следующем виде:

Пропорция

вытекающая из формул (53) и (54), показывает, что равнодействующая сил перпендикулярна к результирующей скорости

получающейся при геометрическом сложении скоростей . В этом легко убедиться, рассматривая соответствующие подобные треугольники на рис. 78. Обозначив равнодействующую сил через мы можем вместо формул (53) и (54) написать одну формулу

Будем теперь увеличивать расстояние а между каждыми двумя соседними лопатками, сохраняя при этом циркуляцию постоянной. Тогда разность скоростей будет уменьшаться и в пределе, для она сделается равной нулю. Следовательно, на достаточном расстоянии перед и позади единственной оставшейся лопатки скорости потока будут совпадать, и поэтому среднюю скорость можно принять равной скорости невозмущенного потока в бесконечности. Перейдем от системы отсчета, связанной с неподвижной лопаткой, к системе отсчета, связанной с потоком в бесконечности. В этой системе отсчета жидкость в бесконечности будет покоиться, а лопатка будет двигаться со скоростью Обозначив эту скорость через V, мы получим из уравнения (55), что на единицу длины лопатки действует сила

перпендикулярная к направлению скорости Следовательно, на участок лопатки или крыла длиной I действует сила

Сила А называется поперечной, или подъемной силой. Соотношение, выражаемое уравнением (56), называется теоремой Жуковского о подъемной силе. Эта теорема может быть доказана также другим путем. Так, например, Н. Е. Жуковский вывел ее, применив теорему о количестве движения к контрольной поверхности в виде круглого цилиндра очень большого радиуса и с осью, совпадающей с осью крыла. При этом одна половина подъемной силы А получается вследствие переноса количества движения, а другая половина как результирующая сил давления. Теорема Жуковского важна прежде всего потому, что она дает возможность вычислить по заданной подъемной силе соответствующую циркуляцию, определяющую напряженность вихря позади крыла.

f) Уравнение Эйлера для турбины. Пусть в рабочее колесо турбины (рис. 79) на расстоянии от центра колеса вступает поток воды, абсолютная скорость которого в точке входа равна а направление образует с направлением движения колеса угол масса воды, протекающая в одну секунду, пусть равна Внутри колеса вода движется в направлении, приближенно совпадающем с направлением лопаток. На расстоянии от центра колеса вода стекает с лопатки, имея абсолютную скорость направление которой образует с направлением движения колеса угол

Рис. 79. К выводу теоремы Эйлера о турбине

Абсолютная скорость получается векторным сложением скорости движения воды вдоль лопатки и окружной скорости той точки лопатки, в которой вода покидает колесо. Применяя к этому движению теорему о моменте количества движения, мы получим независимо от того, что происходит внутри колеса, следующее соотношение:

называемое уравнением Эйлера для турбины. Из этого уравнения видно, что вращающий момент, передаваемый водой на турбину, будет наибольшим, следовательно, условия работ турбины будут наивыгоднейшими в том случае, когда когда вода покидает лопатку в радиальном направлении (очевидно, что в этом случае потеря кинетической энергии водой, выходящей из колеса, будет наименьшей). Умножая вращающий момент на угловую скорость вращения мы получим мощность. Для указанного наивыгоднейшего случая она равна

Применяя уравнение Эйлера к потоку жидкости в неподвижной спиральной камере с отверстием в середине мы получим:

откуда

где через обозначены углы, образуемые скоростью потока с направлением, перпендикулярным к отрезку, соединяющему центр отверстия с рассматриваемой точкой потока. Если все углы достаточно малы, следовательно, можно принять, что то мы получим:

т. е. тот же результат, который мы нашли в § 6 иным путем.