§ 3. Неразрывность.

В действительно существующих потоках жидкостей и газов материя нигде не исчезает и нигде вновь не создается. Поэтому мы можем рассматривать только такие скоростные поля, которые удовлетворяют требованию сохранения материи или массы.

Проще всего математически сформулировать это требование для установившихся движений, для которых форма линий тока достаточно известна. В таком случае очевидно, что через каждое поперечное сечение трубки тока должна протекать в единицу времени одна и та же масса жидкости. В самом деле, если бы эта масса для двух поперечных сечений не была одинакова, то масса жидкой струйки между обоими поперечными сечениями должна была бы неограниченно возрастать или убывать, что противоречит условию установившегося состояния течения. Пусть есть поперечное сечение трубки тока в каком-либо месте, средняя скорость в этом сечении, плотность в этом сечении; тогда объем жидкости, протекающий в единицу времени через рассматриваемое сечение, будет равен а масса жидкости, протекающая через это же сечение, будет равна Таким образом, требование сохранения массы сводится к тому, чтобы во всех поперечных сечениях одной и той же трубки тока величина имела постоянное значение, т.е. чтобы соблюдалось уравнение

Отсюда следует, что внутри установившегося потока жидкая струйка нигде не может закончиться. Она либо должна простираться от одной границы рассматриваемого пространства до другой, либо должна быть замкнутой.

Для потоков, в которых не происходит изменений объема, т.е. для потоков несжимаемой жидкости, все приведенные выше соображения о массе распространяются и на объем. Но так как теперь через рассматриваемое поперечное сечение трубки тока за данное время не может пройти больший объем, чем через какое-нибудь другое поперечное сечение, то все предыдущие соображения могут быть применены не только к установившимся, но и к неустановившимся потокам. Таким образом, для несжимаемых потоков, безразлично, установившихся или

неустановившихся, всегда имеет место уравнение:

Согласно этому уравнению скорость жидкой струйки обратно пропорциональна ее поперечному сечению. Разделим все пространство, занимаемое потоком жидкости, на такие трубки тока, чтобы через каждую из них в единицу времени протекали равные количества жидкости. Тогда в тех местах потока, где скорость больше и, следовательно, поперечные сечения трубок тока меньше, трубки тока будут расположены гуще и, наоборот, в тех местах потока, где скорость меньше, трубки тока будут расположены реже. Число трубок тока, пронизывающих единицу площади в каком-нибудь месте потока, пропорционально скорости течения в этом месте. Следовательно, картина трубок тока несжимаемого потока дает представление об этом потоке не только направлением линий тока в каждом месте, но и густотой расположения трубок.

Уравнение (4) приобретает особенно простой и наглядный смысл в том случае, когда весь поток можно рассматривать как одну единственную жидкую струйку. В этом случае поперечные сечения жидкой струйки заранее известны, и средняя скорость в каждой точке такого несжимаемого потока определяется из уравнения

где есть так называемый объемный расход жидкости (или мощность потока), т.е. объем, протекающий через поперечное сечение потока в единицу времени.

Для потоков, в которых происходят изменения объема, имеет место аналогичное уравнение

где есть масса, протекающая через поперечное сечение потока в единицу времени. Но так как в сжимаемых потоках плотность зависит от давления, то теперь для определения скорости одного только приведенного уравнения недостаточно (см. по этому поводу гл. IV).

Если поток установившийся и несжимаемый, то при указанном упрощенном представлении потока для его описания достаточно только одной независимой переменной, а именно, расстояния рассматриваемого поперечного сечения от какой-нибудь начальной точки, измеренного вдоль центральной линии трубки тока. В таком случае говорят об одномерном представлении потока в отличие от трехмерного представления, когда полностью учитывается пространственное изменение

скорости и других величин. Совокупность задач о движении жидкости, рассматриваемых путем одномерного представления, принято называть гидравликой. Задачи же, рассматриваемые путем трехмерного (или двухмерного) представления, составляют предмет гидродинамики. Наконец, совокупность задач о движении воздушных потоков часто называют аэродинамикой.

При трехмерном рассмотрении течений математическое выражение условия сохранения массы проще всего получить, если вычислить количества жидкости, втекающей и вытекающей в небольшой параллелепипед со сторонами (рис. 27), и приравнять эти количества друг другу. Выполним эти вычисления для несжимаемой жидкости. Обозначим проекции скорости на оси координат через Тогда в направлении оси х в параллелепипед втекает слева в одну секунду количество жидкости а справа, где скорость и уже изменилась и стала равной и вытекает количество жидкости Следовательно, в одну секунду из параллелепипеда вытекает в направлении оси х жидкости больше, чем втекает, на величину

Рис. 27. К выводу уравнения неразрывности

Аналогичные выражения получаются и для направлений Условие сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю, следовательно, мы получаем уравнение:

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Пусть жидкость где-либо граничит с твердым телом или с другой жидкостью. Из условия неразрывности потока следует, что нигде не должно возникать ни разрывов жидкости, ни взаимного проникновения обоих веществ. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы составляющие скорости, перпендикулярные к поверхности соприкосновения обоих веществ, были одинаковы с обеих сторон этой поверхности. Если рассматривается неподвижное тело или твердая стенка, обтекаемая

жидкостью, то составляющая скорости жидкости, перпендикулярная к поверхности тела или к стенке, должна быть здесь равна нулю. На составляющую скорости, параллельную стенке, условие неразрывности не налагает никаких ограничений, следовательно, эта составляющая может иметь любые значения.