§ 3. Одномерный установившийся поток газа со значительными изменениями объема.

Будем рассматривать поток газа как одномерный. В таком случае вдоль линии тока соблюдается обобщенное уравнение Бернулли [см. § 4 гл. II, уравнение (11)]. Если пренебречь силой тяжести, а также, как мы всегда будем делать в этой главе, трением, то обобщенное уравнение Бернулли примет вид:

где есть функция давления, равная

или, если свести удельный объем

Если удельный объем известен как функция давления, то величину можно вычислить как площадь, ограниченную кривой

В дальнейшем мы будем рассматривать только адиабатические изменения состояния, при которых плотность и давление идеального газа связаны между собой соотношением:

Подставив это значение в интеграл (8) и выполнив вычисления, мы получим:

Если есть давление, при котором скорость движения газа равна нулю, следовательно, в случае истечения газа из напорной камеры — давление в камере, то из уравнения (7), после подстановки в него значений мы получим:

Легко видеть, что скорость движения, приобретаемая газом при расширении до самого крайнего вакуума, имеет конечное значение. Этой скорости в уравнении (10) соответствует давление следовательно, она равна

Подставляя в эту формулу численные значения входящих в нее величин (измеренные в для воздуха, начальное состояние которого определяется температурой 15 °С и нормальным атмосферным давлением, мы получим:

Зависимость скорости от давления графически изображена на рис. 215. На этом же рисунке изображена кривая связывающая удельный объем давление при адиабатическом изменении состояния. Заштрихованная площадь представляет собой интеграл

Рис. 215. Зависимость удельного объема скорости течения и отношения от давления

Условие неразрывности установившегося движения сжимаемой жидкости требует, чтобы через каждое поперечное сечение струйки газа в одну секунду протекала одна и та же масса гл. II), т.е. чтобы вдоль струйки газа соблюдалось уравнение

Отсюда мы имеем:

Следовательно, зависимость поперечного сечения струйки газа от давления изображается функцией (третья кривая на рис. 215). Характер связи между можно выяснить, исходя из уравнений (10) и (12), следующим образом. Когда давление равно скорость и поэтому поперечное сечение При уменьшении скорость постепенно возрастает, однако плотность изменяется при этом сначала незначительно, следовательно, поперечное сечение струйки газа уменьшается. В дальнейшем, после того как давление делается очень малым, скорость приближается к своему максимальному значению и поэтому изменяется сравнительно слабо, но зато плотность уменьшается очень сильно; это означает, что при неограниченном уменьшении поперечное сечение увеличивается и стремится к бесконечности. Очевидно, что при таком характере изменения сечения оно должно где-то проходить через минимум. Этот минимум имеет место при том давлении при котором относительное

приращение скорости равно относительному уменьшению плотности Вычисления показывают, что давлению соответствует скорость течения, равная скорости звука для того состояния газа, в котором он находится в минимальном поперечном сечении. Вследствие адиабатического охлаждения эта скорость звука меньше скорости звука, соответствующей начальному состоянию (для воздуха при начальной температуре 15°С она равна круглым числом

В существовании минимума поперечного сечения можно убедиться также без всяких вычислений, исходя из соображений предыдущего параграфа. В самом деле, будем рассматривать распространение волны давления, изображенное на рис. 209, в системе отсчета, движущейся вправо со скоростью звука с. Тогда в тех местах пространства, в которых газ покоится, в новой системе отсчета он будет казаться движущимся справа налево со скоростью с, а волна давления будет оставаться на месте. Таким образом, в новой системе отсчета мы будем иметь установившееся течение с той особенностью, что в нем происходит изменение давления, не сопровождающееся изменением поперечного сечения струйки газа. Но такое состояние является характерным свойством того места струйки газа, где поперечное сечение имеет минимум, т.е. не увеличивается и не уменьшается.

После того как поперечное сечение струйки газа, пройдя через минимум, опять начинает увеличиваться, скорость течения делается больше скорости звука. Таким образом, теперь, в сверхзвуковой зоне, при уменьшении давления, следовательно, при увеличении скорости течения, поперечное сечение струйки газа увеличивается (вместо того чтобы уменьшаться, как это происходит при движении несжимаемой жидкости); наоборот, при увеличении давления, следовательно, при уменьшении скорости, оно уменьшается. Это обстоятельство делает потоки, движущиеся со сверхзвуковой скоростью, совершенно непохожими по своим свойствам на дозвуковые потоки.

Пусть разность давлений обусловливающая движение газа, такова, что его скорость может сделаться больше скорости звука; в таком случае постепенное увеличение скорости до своего конечного — сверхзвукового — значения, определяемого формулой (10), может быть достигнуто только в том случае, если движение происходит в трубе, сначала суживающейся, а затем вновь определенным образом расширяющейся (такая труба называется соплом Лаваля, см. ниже). Поэтому, если газ вытекает из резервуара в пространство (в котором давление достаточно мало, чтобы могла возникнуть сверхзвуковая

скорость) через простое отверстие в стенке, без добавления расширяющегося насадка, то в самом отверстии устанавливается только звуковая скорость истечения, равная

и соответствующее ей критическое давление

Для воздуха и других двухатомных газов это давление равно круглым числом 0,53 давления в покоящемся газе. При таком истечении количество вытекающего газа совершенно не зависит от противодавления. После выхода из отверстия струя газа расширяется и притом, вследствие инерции, настолько сильно, что давление внутри нее делается меньше давления в окружающем пространстве. Это приводит к тому, что на некотором расстоянии от отверстия струя перестает расширяться и начинает суживаться, причем в результате сужения в ней достигается приблизительно опять такое же давление, как и в отверстии, вследствие чего весь процесс несколько раз повторяется. На рис. 216 изображена фотография такой многократно расширяющейся и суживающейся воздушной струи. Эта фотография получена по способу Теплера, о котором будет сказано в § 5.

Рис. 216. Истечение сжатого воздуха из отверстия

Рис. 217. Измерение давления в выходном сечении

Давление в выходном сечении насадка можно измерить, сделав отверстие вблизи самого края насадка (рис. 217). Если внешнее

давление меньше критического давления то давление почти постоянно и равно критическому давлению. При более высоком противодавлении давление практически совпадает с давлением Количество газа, вытекающего из отверстия в одну секунду при противодавлении равно

При постепенном уменьшении противодавления расход увеличивается и достигает максимума при противодавлении, равном критическому давлению Этот максимум равен

При дальнейшем уменьшении противодавления расход остается постоянным и равным Мтах. Зависимость давления и расхода от противодавления графически изображена на рис. 218.

Рис. 218. Зависимость давления и расхода от противодавления

Кривая значений по своему виду весьма близка к четверти эллипса. Это обстоятельство позволяет вывести приближенные формулы для расхода удобные для практических вычислений. Для атмосферного воздуха эти формулы имеют вид:

где есть абсолютная температура в напорном резервуаре. Если давление измерять в а площадь или то обе эти формулы дают количество вытекающего газа в килограммах.

Рис. 219. Истечение сжатого воздуха из отверстия через дополнительную камеру с вентилем

В том, что при истечении из простого отверстия в условиях, допускающих возникновение сверхзвуковой скорости, в нем устанавливается постоянное давление при любом противодавлении, легко убедиться при помощи рассуждений предыдущего параграфа о распространении давления. Предположим, что к выходному концу отверстия примыкает камера, давление в которой может регулироваться при помощи вентиля или другого подобного приспособления (рис. 219). Пусть давление в этой камере больше критического давления Если открыть вентиль, то давление в камере понизится и образуется волна разрежения, двигающаяся к отверстию. Эта волна изменяет состояние течения в отверстии — скорость истечения увеличивается. При дальнейшем понижении давления скорость истечения будет продолжать увеличиваться, но лишь до тех пор, пока не будет достигнута звуковая скорость. Новое понижение давления не изменит состояния течения в отверстии. В самом деле, скорость распространения этого понижения давления не может превысить скорости звука, и поэтому оно не достигнет отверстия, следовательно, состояние течения в нем, начиная с момента достижения звуковой скорости, будет оставаться неизменным.

Для получения правильной сверхзвуковой струи шведский инженер Лаваль конструируя свою паровую турбину, применил насадок особой формы, изображенный на рис. 220а и называемый теперь соплом Лаваля. Такие насадки имеют большое практическое значение, поэтому явления, происходящие в них при течении газа, очень подробно изучены и теоретически и экспериментально. Результаты этого изучения позволили получить ответ на многие принципиальные вопросы движения газов и паров.

Здесь мы рассмотрим только такое течение через сопло Лаваля, при котором можно пренебрегать трением. Пусть давление до сопла задано. Тогда значения скорости и отношения соответствующие каждому давлению меньшему могут быть либо вычислены по формулам, либо отсчитаны по графикам на рис. 215. Так как расход газа, т.е. количество его массы, протекающей в одну секунду, равен

Рис. 220. Течение через сопло Лаваля

то для каждого заданного расхода можно вычислить значения соответствующие определенным значениям площади поперечного сечения Зная же можно из рис. 215 найти соответствующие значения давления. Очевидно, что при нормальном режиме работы сопла минимум поперечного сечения струнки газа, следовательно, и минимум функции должны совпадать с минимумом поперечного сечения сопла. При таком режиме расход получается максимальным и определяется, как и при истечении из простого отверстия, формулой (14). Найденное указанным способом изменение давления вдоль оси сопла (от значения до самого низкого конечного давления изображено на рис. 220б жирной линией. Но так как, согласно рис. 215, каждому значению соответствуют всегда два разных давления, то в расширяющейся части сопла — после самого узкого поперечного сечения — давление может изменяться также по второй кривой, изображенной на рис. 220б тонкой линией и ведущей к верхнему конечному давлению

Найдем теперь изменение давления вдоль оси сопла при меньших расходах мы получим кривые, вычерченные на рис. 220б тонкими линиями и оканчивающиеся ординатами, большими Изменение расхода в зависимости от противодавления в конце сопла изображено на рис. При уменьшении противодавления от значении до значения расход возрастает от нуля до . Как только расход достигает своего максимального значения, в самом узком поперечном сечении сопла устанавливается звуковая скорость течения. Следовательно, даже не зная в точности, какие явления происходят в этом

месте, можно предполагать, что дальнейшее понижение противодавления не влияет на часть потока, расположенную вверх по течению от самого узкого места сопла, и поэтому теперь расход должен оставаться постоянным. Многочисленные опыты хорошо подтверждают это предположение.

Из предыдущих рассуждений следует, что если в газе при движении через сопло давление уменьшается от значения до значения лежащего между то обязательно должна происходить потеря энергии. А. Стодола (A.Stodola), наблюдая за изменением давления в таких потоках, обнаружил, что в них возникают прерывные изменения давления, так называемые скачки уплотнения, предсказанные теоретически Риманом (см. конец § 2). При скачках уплотнения действительно возникает потеря энергии, следовательно, изучение их на основе уравнений, выведенных для потоков без потерь энергии, невозможно. Для вывода уравнений, пригодных для исследования скачков уплотнения, необходимо исходить из теоремы о количестве движения (§ 13 гл. II) в сочетании с теоремой об энергии для течений, сопряженных со значительными изменениями объема и с сопротивлениями.

В связи с большой важностью последней теоремы для изучения сжимаемых потоков, мы посвятим ей весь следующий параграф.