В. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ТЕЛА И ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

§ 8. Уравнение Бернулли во вращающейся системе отсчета.

а) В этой подглаве мы рассмотрим движения жидкости, которые возникают около вращающегося тела или во вращающемся пространстве, причем остановимся только на случае равномерного вращения, как наиболее важном. При изучении таких движений жидкости целесообразно рассматривать их с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с телом или пространством. В самом деле, для такого наблюдателя вращающееся тело или пространство находятся в покое, и поэтому в ряде случаев течение жидкости будет казаться ему установившимся. Как известно, законы механики остаются справедливыми и во вращающихся системах при условии, что к силам, действующим в абсолютной системе координат, добавляются еще две массовые силы, из которых одна является функцией только положения в пространстве, а другая зависит также от скорости. Первая из этих добавочных сил равна рассматриваемой массе, умноженной на взятое с отрицательным знаком ускорение (в абсолютном пространстве) той точки вращающейся системы отсчета, которая совпадает с мгновенным положением массы. Этим ускорением, называемым переносным ускорением, в нашем случае является центростремительное ускорение где есть угловая скорость вращения; поэтому добавочная сила, направленная в противоположную сторону, представляет собой не что иное, как центробежную силу Вторая добавочная сила равна рассматриваемой массе, умноженной на взятое с отрицательным знаком поворотное, или кориолисово ускорение, которое равно по модулю где есть относительная

скорость массы, и направлено перпендикулярно к оси вращения системы отсчета и, кроме того, перпендикулярно к относительной скорости. Следовательно, вторая добавочная сила, называемая кориолисовой силой, равна и направлена перпендикулярно к относительной скорости.

Для пояснения приведем два простых примера. Пусть материальная точка с массой покоится в абсолютном пространстве. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе координат, вращающейся с угловой скоростью эта точка описывает окружность с угловой скоростью —из. Для того чтобы к этому движению можно было применить законы механики, необходимо, согласно сказанному выше, присоединить к силам, действующим в абсолютном пространстве (такие силы в данном случае отсутствуют) центробежную силу и кориолисову силу, равную по модулю

и направленную, согласно приведенному выше правилу, к центру вращения, следовательно, в сторону, обратную центробежной силе. Таким образом, результирующая сила, приложенная к материальной точке в ее движении относительно вращающейся системы координат, равна

и направлена к центру вращения, т. е. представляет собой именно ту центростремительную силу, которая во вращающейся системе отсчета необходима для создания кругового движения.

В качестве второго примера рассмотрим материальную точку в виде маленького шарика с массой помещенную в гладкую прямолинейную трубку, вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к центральной линии трубки. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, на шарик действует прежде всего центробежная сила, поэтому шарик будет двигаться ускоренно вдоль трубки по направлению от центра вращения. Кроме того, на шарик действует кориолисова сила где есть относительная скорость шарика в рассматриваемый момент времени; кориолисова сила прижимает шарик к стенке трубки, которая, в свою очередь, действует на шарик с равной, но противоположно направленной силой. Кинетическая энергия шарика с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, все время возрастает за счет работы, совершаемой центробежной силой. Кориолисова сила перпендикулярна к пути шарика и поэтому не совершает никакой работы. В абсолютной системе отсчета шарик в радиальном направлении совершенно свободен, тем не менее его кинетическая энергия все время возрастает, но на этот раз за счет работы той силы реакции, с которой стенка трубки действует на шарик; эта сила, вызывающая в абсолютном движении

все большее и большее увеличение окружной скорости шарика, направлена не перпендикулярно к перемещению шарика и, следовательно, совершает определенную работу.

b) Выведем уравнение Бернулли для относительного движения в равномерно вращающейся системе координат. Для этой цели достаточно присоединить к силам, рассмотренным на стр. 56, составляющую центробежной силы в направлении течения; вводить в расчеты кориолисову силу нет никакой необходимости, так как она направлена всегда перпендикулярно к скорости относительного течения и поэтому не дает составляющей в направлении течения. Согласно сказанному на стр. 41 центробежная сила имеет потенциал, равный

Поэтому уравнение движения можно сразу проинтегрировать, и мы получим уравнение Бернулли в следующем виде:

В общем случае постоянная имеет разные значения для различных линий тока, поэтому уравнение (24) применимо вообще только к точкам, лежащим на одной и той же линии тока. Но в том случае, когда жидкость покоится относительно вращающейся системы координат (скорость везде равна нулю), следовательно, когда линии тока вообще отсутствуют, уравнение (24) совпадает с уравнением (19) на стр. 41 и поэтому применимо для любых точек в занятом жидкостью пространстве.

Постоянная в уравнении (24) не связана с линиями тока также в таких относительных потоках, которые, если их рассматривать в неподвижной системе отсчета, свободны от вращений, т. е. представляют собой вообще неустановившиеся потенциальные потоки. С этим практически важным случаем мы встречаемся, например, в турбинах или центробежных насосах, когда поток жидкости из неподвижной системы каналов переходит во вращающуюся систему каналов (предполагается, что трение отсутствует). В неподвижной системе отсчета каждая частица такого потока остается свободной от вращения, поэтому во вращающейся системе отсчета она должна иметь вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси, параллельной оси вращения системы каналов. Общее доказательство того, что в таком потоке постоянная

Рис. 286. Движение жидкости во вращающемся канале

в уравнении (24) имеет одинаковое значение для всех линий тока, мы дадим ниже, здесь же мы ограничимся рассмотрением поучительного простого примера. Пусть прямоугольный канал (рис. 286) равномерно вращается вокруг оси z, перпендикулярно к продольной оси канала. Для простоты рассуждения примем, что эта ось вращения вертикальна, следовательно, плоскость вращения горизонтальна. Пусть в канале движется поток жидкости, который, если рассматривать его в неподвижной системе отсчета, свободен от вращений, т. е. является потенциальным потоком. Обозначим составляющие скорости по осям х, у и z соответственно через Примем, что

Следовательно,

Кориолисова сила на единицу объема равна и направлена в отрицательную сторону оси у. Составляющая центробежной силы вдоль оси у равна

Следовательно, повышение давления в направлении оси у равно

Интегрируя это уравнение, мы получим:

Левая часть уравнения (24) после подстановки в нее этого значения и замены скорости на принимает вид:

Правая часть уравнения (24) равна

Для того чтобы выражение (25) совпадало с выражением (26), очевидно, функцию необходимо выбрать в виде

Таким образом, постоянная в уравнении (24) для рассмотренного класса потоков действительно не зависит от

Для того чтобы доказать это в общем виде, применим уравнение (39) гл. II (стр. 91) к абсолютному движению и при этом учтем, что относительное движение должно быть установившимся, следовательно, в каждой точке вращающегося потока (линейная скорость которой равна потенциал скоростей должен оставаться постоянным. В таком случае должно соблюдаться соотношение

где есть линейный элемент в направлении вращения. Величина , очевидно, есть не что иное, как составляющая скорости абсолютного течения по направлению вращения. В теории турбин эта составляющая обозначается через Из соотношения (27) мы имеем:

Переходя в этом равенстве от абсолютной скорости к относительной, мы придем к искомому доказательству.

с) Разложение так называемого статического давления на весовое давление и на кинетическое давление выполненное в § 6, п. а) гл. II, может быть применено также к случаю движения жидкости во вращающейся системе координат. В нашем случае весовое давление равно

Подставляя в уравнение мы получим:

следовательно, кинетическое давление во вращающейся системе отсчета формально совпадает с кинетическим давлением в неподвижной системе отсчета, хотя формы течения в обеих системах различные. Постоянная в уравнении (29) в общем случае имеет разные значения для разных линий тока, но для класса потенциальных потоков, рассмотренных в предыдущем пункте, она одинакова для всех линий тока.

Рис. 287. Движение в пограничном слое вращающегося гребного винта. Поверхность, на которой давление понижено. Поверхность, на которой давление повышено

Если при вращении твердого тела происходит отрыв потока от него, то оторвавшиеся части жидкости в какой-то мере продолжают вращаться и поэтому отбрасываются наружу («центрифугируются»). Такое же центрифугирование испытывают части пограничного слоя, наиболее близкие к поверхности вращающегося тела; при этом возникают вторичные течения такого же вида, как и рассмотренные в § 8 гл. III, и происходит как бы отсасывание пограничного слоя от центра вращения наружу (см. § 7 гл. III). На рис. 287 изображены полученные

Гутче снимки течения в пограничном слое на подсасывающей и противоположной поверхностях водяного гребного винта с профилем в виде сегмента круга. Перед опытом на обе поверхности винта была нанесена в виде маленьких бугорков масляная краска; при вращении эта краска, увлекаемая пограничным слоем, оставила на поверхности винта следы, указывающие направление течения. Ясно видно, что на подсасывающей поверхности происходит отрыв потока.

Отрыв пограничного слоя может возникнуть только в том случае, если кинетическое давление возрастает в направлении течения. Центробежная сила действует на покоящиеся и движущиеся частицы жидкости совершенно одинаково и поэтому не влияет на отрыв потока.

По поводу примера, рассмотренного в предыдущем пункте (рис. 286), заметим еще следующее. Вследствие вращения канала с угловой скоростью на той стороне его, где давление повышается, скорость уменьшается, а на противоположной стороне, где давление понижается, скорость увеличивается. Возникающая вследствие этого разность кинетических давлений уравновешивается кориолисовыми силами. Действие этой разности давлении на стенки канала складывается во вращающий момент, который препятствует вращению канала и должен преодолеваться машиной, вращающей канал. Мощность этой машины должна быть равна произведению момента сопротивления на угловую скорость. Полезная мощность радиального канала, вращающегося с угловой скоростью и ограниченного радиусами определяется повышением давления — вызванным центробежной силой, при условии, что не происходит преобразования скорости в давление при выходе жидкости из канала в неподвижный направляющий аппарат или в спиральную камеру. Указанные соотношения находят применение при расчете центробежных насосов и воздуходувок, а также радиальных турбин.