§ 11. Движение жидкостей в прямых трубах и каналах с постоянным поперечным сечением.

Выведенный в § 1 закон Гагена-Пуазейля, согласно которому падение давления увеличивается пропорционально скорости, применим только для скоростей, меньших критической (см. § 4). Для скоростей, больших критической (т.е. для турбулентных движений), падение давления, как об этом уже было упомянуто в §4 более или менее точно пропорционально второй степени скорости. В этом случае касательное напряжение на стенке (для некруглых поперечных сечений — среднее значение касательных напряжений на стенке) может быть принято равным

где А есть число, зависящее от ряда обстоятельств, в первую очередь — от шероховатости стенок, средняя скорость. Падение давления на участке трубы или канала длиной I должно уравновешиваться касательными напряжениями на поверхности стенок (см. рис. 91 и относящиеся к нему вычисления в § 1). Следовательно, обозначая через площадь поперечного сечения и через смоченный периметр, мы будем иметь:

откуда

Величина

называется гидравлическим радиусом. Для потока, движущегося под действием силы тяжести (примером такого потока является река), обычно задается уклон его свободной поверхности

(рис. 126), связанный с падением давления вдоль горизонтальной линии соотношением:

(см. § 6 гл. 1). Используя соотношения (57), (58) и (59), мы получим из уравнения (55):

а из уравнения (56):

Рис. 126. Течение в русле с уклоном

Решая последнее уравнение относительно мы найдем:

В приложениях к рекам и каналам эта формула обычно записывается в следующем виде:

Формула (63) называется формулой Шези (Chezy). Коэффициент С является функцией только гидравлического радиуса и шероховатости. При глубине воды от 0,5 до этот коэффициент равен для стенок из гладкого дерева или гладкой оштукатуренной каменной кладки, от 30 до для земляных стенок и от 24 до для стенок из гальки.

Было предложено большое количество формул для коэффициента С, более точно передающих результаты наблюдений. Среди формул разной структуры имеются и степенные. При равной шероховатости

стенок коэффициент С может быть принят пропорциональным корню от 6 до 8 степени из гидравлического радиуса. Однако для определения коэффициента пропорциональности необходимо правильно оценить шероховатость стенок, а это именно и является наиболее трудным. Для широких рек с естественным дном из гравия и песка можно принять по Штриклеру, что

где есть глубина воды, средний диаметр зерен гравия и песка).

Влияние различных форм поперечного сечения удовлетворительно учитывается величиной гидравлического радиуса. Это указывает на то, что касательное напряжение во всех точках стенок приблизительно одинаковое [заметим, что при выводе формулы (63) мы это подразумевали].

В § 16 предыдущей главы мы упомянули, что скорость с которой распространяется низкий вал, является граничной между спокойным и стремительным течением. Полагая что для широких рек вполне допустимо, мы получим для граничного случая:

следовательно,

Таким образом, для мы имеем: Если для указанного значения С уклон то имеет место покойное течение, если же то течение в реке стремительное.

Для труб с круглым поперечным сечением радиуса диаметра гидравлический радиус равен

Подставляя в уравнение (56) вместо и обозначая через А, мы получим:

Величина называется коэффициентом сопротивления. Вводя такое определение коэффициента сопротивления, т.е. полагая мы следуем практике инженеров, предпочитающих пользоваться в своих расчетах диаметром вместо радиуса В физической литературе, наоборот, пользуются чаще радиусом а не диаметром поэтому соответствующим коэффициентом сопротивления будет

Наглядный смысл коэффициента сопротивления А состоит в следующем: величина

есть тот отрезок трубы, на протяжении которого теряется динамическое давление, соответствующее средней скорости

Из соображений о подобии следует, что для двух шероховатых труб различного диаметра коэффициент сопротивления А будет одинаковым в том случае, если размеры выступов шероховатости в обеих трубах относятся так же, как диаметры труб. Гопф и Фромм нашли, что для геометрически подобных шероховатостей коэффициент сопротивления А пропорционален величине

где к есть линейный размер шероховатости, например, высота выступов, образующих шероховатость. Такое соотношение между А и гидравлическим радиусом хорошо согласуется с указанным выше правилом, устанавливающим связь между коэффициентом

Сравнивая равенство (65) с равенством (61) и имея в виду, что

мы получим:

Отсюда следует, что указанным выше значениям С соответствуют значения А от 0,012 до 0,136.

Турбулентное течение в гладких трубах служило предметом многочисленных опытных исследований, некоторые из которых выполнены с очень большой точностью. Относительно такого течения с точки зрения теории можно заранее утверждать только то, что коэффициент сопротивления имеет одинаковое значение во всех случаях, когда остается постоянным число Рейнольдса Следовательно, может быть функцией только от В самом деле, наблюдения показывают, что при увеличении коэффициент сопротивления уменьшается. Блазиус в результате обработки опытов Сафа (Saph) и Шодера (Schoder) показал, что примерно до можно принять следующую зависимость между

Несколько позже Лис, обработав опыты Стантона (Stanton) и Паннела (Pannel), а также Якоб и Эрк на основе собственных опытов нашли, что зависимость между вплоть до лучше передается формулой

В дальнейшем Герман провел опыты почти до числа Рейнольдса и получил формулу:

К теоретическому изучению проблемы сопротивления при движении в трубах впервые удалось подойти Карману. Исходя из соображений о подобии, он установил, что имеет место следующее соотношение:

т. е. разность между наибольшей скоростью в середине трубы и скоростью на расстоянии у от стенки равна динамической скорости умноженной на некоторую универсальную функцию от отношения Это соотношение одинаково применимо и к гладким, и к шероховатым трубам, однако вполне строго только для очень больших чисел Рейнольдса, т. е. для случая, когда вязкостью можно пренебрегать. Карман теоретически вывел для функции формулу, которая дает хорошее совпадение с опытом. В этой формуле только один коэффициент, именно коэффициент к упоминавшийся уже в § 5, должен быть определен из опыта.

Рис. 127. График функции построенный на основании результатов опыта

На рис. 127 изображен график функции построенный на основании результатов опыта. Пользуясь рис. 127 и уравнением (69), легко вывести формулу для средней скорости

Имея в виду, что падение давления — можно выразить через а итах, на основании формулы (70), — через мы можем из уравнения (69) и из одного из уравнений (28), (29) и (33) вывести соотношение между для гладких и шероховатых труб. Не приводя здесь вычислений, укажем лишь окончательные результаты. Для гладких труб, если взять в основу уравнение (28), получается соотношение:

практически применимое для всех чисел Рейнольдса в турбулентной области.

Если же взять в основу уравнение (29), то получается более точное для больших соотношение:

В обоих уравнениях (71) и (72) А входит и в левую, и в правую части. Однако это обстоятельство не вносит каких-либо трудностей в вычисление А. В самом деле, достаточно в правую часть подставить какое-нибудь предположительно верное значение А, а затем, в случае необходимости, повторить вычисление еще раз.

Для шероховатых труб, если взять за основу уравнение (33) и для принять значение 8, 5 (шероховатость, создаваемая зернами песка), то при течении, когда шероховатость проявляет себя в полной мере, получается следующее соотношение:

Рис. 128. Зависимость коэффициента сопротивления А от числа Рейнольдса (сплошные кривые — по измерениям Никурадзе, штрихпунктирная кривая — по измерениям Бауэра и Галавича)

На рис. 128 зависимость А от числа Рейнольдса для гладких и шероховатых труб изображена в логарифмическом масштабе. Кривые для шероховатых труб (вплоть до самой нижней) получены, путем

измерений, Никурадзе. В его опытах шероховатость стенок была создана путем наклейки на них песчинок определенного диаметра. Все эти кривые показывают, что переход от «гидравлически» гладкого состояния течения при малых числах Рейнольдса к состоянию, когда влияние шероховатости проявляет себя в полной мере, совершается очень быстро. Это обстоятельство является характерным для шероховатости, образованной близко лежащими друг к другу выступами одинакового размера.

Шероховатость, возникающая в технических условиях, обычно состоит из слоя небольших бугорков, среди которых распределены бугорки большей высоты. В этом случае переход от «гидравлически гладкого» состояния к состоянию развившегося влияния шероховатости совершается значительно постепеннее. Примером может служить кривая, изображенная на рис. 128 штрихпунктиром и полученная Бауэром и Галавичем путем измерений для движения горячей воды в «технически гладкой» железной трубе.

Ориентировочное представление о зависимости А от R в гладких трубах дает следующая табличка (числа округлены):

Подставив в уравнение (4), выражающее закон Гагена-Пуазейля, , можно переписать его в следующем виде:

Сравнивая уравнение (74) с уравнением (65), мы видим, что они формально совпадают, если ввести в уравнение (74) коэффициент сопротивления

Кривая, соответствующая этой зависимости от изображена на рис. 128 штрихами.

Рис. 129. Профиль скоростей в начальном участке трубы

Уравнения (66)-(68) и (71)-(74), а также рис. 128 передают падение давления в трубе правильно только в том случае, когда отрезок трубы, в начале и конце которого измеряются давления (см. § 8 гл. II), находится на достаточном расстояний от входа, например, на расстоянии, равном 60 диаметрам трубы. Но даже при соблюдении этого условия могут быть отклонения от указанных уравнений, если состояние течения — ламинарное. В том же случае, когда давление измеряется вблизи от входа в трубу или когда измеряется разность давлений между началом и концом трубы, уравнения (66)-(68) и (71)-(74) неприменимы. Объясняется это тем, что течение в трубе принимает свою окончательную форму не сразу, а только после разгона на протяжении некоторого так называемого начального участка. Если жидкость поступает в трубу из резервуара через закугленный вход, то при входе происходит падение давления, равное за счет этого падения давления жидкость получает во входном поперечном сечении скорость В этом сечении скорость во всех точках практически одинакова, так как перемещению каждой частицы соответствует одинаковое падение давления. Однако трение жидкости о стенки сейчас же приводит к тому, что в возникающем потоке, сначала ламинарном, образуется растущий слой заторможенной жидкости (рис. 129). Вследствие этого скорость ядра течения в середине трубы должна возрастать в такой мере, чтобы через каждое поперечное сечение протекало одно и то же количество жидкости. Увеличение скорости ядра течения влечет за собой падение давления вдоль оси трубы в соответсвии с уравнением Бернулли (составленным для ядра течения). Это падение давления, отражающееся также на скорости пограничного слоя (оно увеличивает эту скорость), больше, чем при течении по закону Гагена-Пуазейля. По мере удаления от входа в трубу пограничный слой расширяется и постепенно устанавливается состояние

течения, соответствующее закону Гагена-Пуазейля, если только в этот период времени не возникает турбулентность (см. ниже). Переход от разгонного течения к нормальному, вполне развившемуся течению Гагена-Пуазейля, происходит, согласно расчетам и наблюдениям Шиллера, на протяжении начального участка длиной

Следовательно, для чисел Рейнольдса от 200 до 20000 длина начального участка составляет от 6 до 600 диаметров трубы.

Это означает, что в коротких трубах с закругленным входом распределение скоростей по поперечному сечению не может изображаться уравнением (3), за исключением того случая, когда число Рейнольдса имеет очень малое значение. Если жидкость поступает в короткую трубу из большого резервуара, то обычно скорость распределяется по поперечному сечению равномерно, за исключением пограничного слоя, где вследствие трения происходит торможение. Аналитическая теория для соответствующей плоской задачи (разгон в широком прямоугольном канале) развита Шлихтингом.

Разгон турбулентного течения происходит на сравнительно более коротком участке, чем разгон ламинарного течения, если только условия входа в трубу обеспечивают быструю турбулизацию течения (для этой цели вход в трубу должен иметь острые края или жидкость должна поступать в трубу через колено). Если же вход в трубу имеет закругленные края, то на некотором участке трубы течение остается ламинарным и только в конце этого участка делается турбулентным. При больших числах Рейнольдса и при отсутствии возмущений у входа длина ламинарного начального участка может достигать величины

(см. о сопротивлении пластинок в § 15).

Подчеркнем, что все сказанное выше справедливо только для прямых труб. В криволинейной трубе сопротивление всегда больше, чем в прямой трубе. При ламинарном течении даже небольшая кривизна трубы значительно увеличивает сопротивление, если только число Рейнольдса не очень мало. При движении по закруглению центральная часть потока, движущаяся более

быстро, отбрасывается, как уже было упомянуто в § 8, вследствие центробежной силы наружу и вытесняет более медленную часть потока, прилегающую к внешней стороне закругления, внутрь трубы, т. е. по направлению к центру кривизны. Теория этого явления дана Дином.

В качественном отношении это явление можно, проследить следующим образом. Пусть радиус кривизны велик по сравнению с радиусом поперечного сечения трубы. Скорость в центре при параболическом распределении скоростей равна удвоенной средней скорости, т. е. Следовательно, в центре сечения градиент давления, обусловленный центробежный силой, равен (на единицу длины). В точках, близких к краям поперечного сечения, центробежная сила невелика. Поэтому разность давлений между внутренней и внешней стенками приближенно равна

Эта разность давлений обусловливает возникновение вторичных потоков, о которых шла речь в § 8. Оценку для скорости вторичного потока в случае очень слабой кривизны можно получить следующим образом. Пусть центральная полоса имеет в середине трубы скорость направленную наружу, а две внешние полосы — такую же скорость, но направленную внутрь закругления (см. рис. 113). Если касательное напряжение на границе обеих полос равно то сила, действующая на центральную полосу на единице длины в направлении оси, равна приблизительно Эта сила должна уравновешиваться срезультирующей сил давления где есть толщина центральной полосы. Для упрощения расчетов примем, что С другой стороны, можно принять, что

(см. вычисления в § 1). Следовательно,

откуда

Мы получили безразмерную характеристику рассматриваемой задачи. Конечно, эту характеристику можно было бы получить также из соображений о размерностях.

Если кривизна закругления не мала, то тогда вторичный поток полностью изменяет профиль скоростей; наибольшая скорость теперь имеет место вблизи внешней стенки, и вторичное течение происходит главным образом только в своего рода пограничном слое вблизи стенок. Уайт на основе опытов нашел, что сопротивление при ламинарном течении в криволинейной трубе равно сопротивлению при таком же течении в прямой трубе, умноженному на некоторую функцию где есть половина среднего геометрического из числа Рейнольдса и указанной выше безразмерной величины т.е.

Для функция лишь немного отличается от единицы; в области можно пользоваться для определения приближенной формулой

При турбулентном течении влияние небольшой кривизны на сопротивление не столь велико, однако резкие закругления значительно повышают сопротивление.

Если вслед за коленом, поворачивающим течение на определенный угол, следует прямолинейный участок трубы, то в последнем сопротивление также увеличивается. Это связано с тем, что при входе жидкости в прямую трубу под углом профиль скоростей имеет иную форму, чем при прямом входе. Полное добавочное сопротивление при повороте течения, например, на 90°, сравнительно мало зависит от радиуса кривизны закругления, так как короткое закругление с большой кривизной увеличивает сопротивление в целом приблизительно на столько же, на сколько его увеличивает более длинное закругление с малой кривизной.

Потеря давления в закруглениях определяется по формуле:

где есть коэффициент сопротивления закругления. Для ориентировочных расчетов потерь в закруглениях с гладкими стенками и с радиусом кривизны от до можно пользоваться следующими значениями коэффициента

Для закруглений с шероховатыми стенками коэффициент несколько выше.