§ 14. Гидродинамическая теория сопротивления жидкости.

а) Если тело движется равномерно в жидкости, лишенной трения и простирающейся во все стороны до бесконечности, то при обычном потенциальном обтекании тела не возникает ни сопротивления движению, ни подъемной силы, перпендикулярной к направлению движения, какова бы ни была форма тела. Этот, на первый взгляд, парадоксальный результат легко объяснить, если применить теорему о количестве движения для контрольной поверхности, проведенной вокруг тела на некотором расстоянии от него. Более подробное исследование показывает, что добавочные скорости, а также разности давлений, вызванные движением тела, очень быстро уменьшаются по всем направлениям по мере удаления от тела — по крайней мере пропорционально третьей степени расстояния. Если мы будем увеличивать контрольную поверхность, например, сферу, отодвигая ее в бесконечность, то площадь ее будет возрастать пропорционально квадрату радиуса, и поэтому составляющие количества движения, а вместе с ними и составляющие сопротивления будут стремиться к нулю. Такой же результат мы получим для любой другой контрольной поверхности, следовательно, сопротивление тела может быть равно только нулю.

Если мы составим моменты количества движения относительно осей, т. е. введем в вычисления расстояние в виде плеча, то увидим, что эти моменты не должны обязательно обращаться в нуль. В самом деле, наблюдение показывает, что пластинка, установленная в набегающем потоке под углом к его направлению, поворачивается так, что в конце концов устанавливается перпендикулярно к потоку, следовательно, набегающий поток передаст ей определенный вращающий момент.

На тело, равномерно движущееся вблизи стенки или вблизи другого тела, жидкость действует с вполне определенной силой. Так, например, шар, движущийся параллельно стенке, «притягивается» к ней пропорционально квадрату своей скорости и обратно пропорционально четвертой степени

расстояния от нее. Это ни в какой мере не противоречит сказанному выше, так как теперь нельзя отодвинуть контрольную поверхность в бесконечность.

Более подробное исследование показывает, что при движении очень удлиненного тела (см. рис. 57) равно нулю не только сопротивление в целом, но также результирующие силы давления и на переднем, и на заднем конце тела.

При ускоренном движении тела в жидкости без трения сопротивление возникает, однако это сопротивление такого рода, как если бы масса тела увеличилась на величину массы жидкости, увлекаемой телом при своем движении. Для шара величина такой присоединенной массы равна половине массы жидкости, вытесняемой шаром. Так как при возникновении движения из состояния покоя вначале образуется всегда приближенно потенциальное течение, то понятие о присоединенной массе имеет значение и для реальных жидкостей.

Равенство нулю сопротивления тела, равномерно движущегося в жидкости без трения, можно вывести также из энергетических соображений. В самом деле, при отсутствии трения работа, необходимая для преодоления сопротивления, может накапливаться в жидкости только в виде кинетической энергии. Между тем при потенциальном течении, когда жидкость позади равномерно движущегося тела так же смыкается, как расступается впереди него, за телом не остается никакого возмущения течения, в котором могла бы накапливаться кинетическая энергия. Следовательно, при таком движении не может быть и сопротивления. Однако могут быть и такие случаи движения в жидкости без трения, когда позади тела в жидкости остается кинетическая энергия и, следовательно, возникает сопротивление. Одним из таких случаев является движение крыла самолета, упомянутое в § 13, п. Ь); подробно это движение будет рассмотрено в § 17 и 18 при изложении теории крыла самолета. Возникновение подъемной силы без продолжающегося накопления в жидкости кинетической энергии не противоречит закону сохранения энергии, так как подъемная сила перпендикулярна к пути тела в жидкости и поэтому при установившемся движении для ее сохранения не требуется никакой затраты работы. Вопрос о возникновении подъемной силы был нами уже рассмотрен в § 11 предыдущей главы.

Другим примером, когда в жидкости без трения позади движущегося тела остается кинетическая энергия, является движение корабля на свободной поверхности жидкости. Как уже было сказано в § 13, п. Ь), в этом случае позади корабля образуется расширяющаяся система волн, в которой происходит рассеяние энергии. Этому рассеянию энергии соответствует волновое сопротивление.

Возникновение сопротивления при ускоренном движении также легко понять с точки зрения закона сохранения энергии. В самом деле, если бы сопротивление при таком движении не возникало и, следовательно, не требовалось бы силы для преодоления этого сопротивления, то присоединенная масса не могла бы накапливать кинетическую энергию.

В действительности полное сопротивление почти всех тел значительно больше всегда неизбежного сопротивления трения (см. § 3 и 5). Причина этого заключается в том, что при движении таких тел образуются поверхности раздела и вихри, описанные в § 6. Именно эти вихри и являются основной причиной сопротивления. Они препятствуют смыканию потока позади обтекаемого тела и обусловливают несимметричное распределение давления на поверхности тела; кроме того, для их образования требуется постоянная затрата энергии.

Ь) Из различных попыток определить сопротивление тел, не выходя из рамок теории идеальной жидкости, рассмотрим две, наиболее типичные, предпринятые Кирхгофом и Карманом.

Рис. 141. Обтекание плоской пластинники с образованием поверхностей раздела

Кирхгоф исследовал обтекание плоской пластинки, поставленной перпендикулярно к потоку (рис. 141). Перед пластинкой поток разделяется и затем сбегает с ее краев, образуя поверхности раздела. Позади пластинки пространство между поверхностями раздела заполнено покоящейся жидкостью. Так как давление в этом пространстве, если пренебрегать силой тяжести, везде одинаковое, то должно быть одинаковым также давление во всех точках поверхностей раздела, следовательно, на основании теоремы Бернулли, должна быть одинаковой и скорость. Вычисления показывают, что при соблюдении этого условия возможны только такие решения задачи, при которых поверхности раздела простираются до бесконечности, а скорость на поверхностях раздела равна скорости невозмущенного потока, т. е. скорости жидкости в бесконечности. Что касается распределения давления, то перед пластинкои в ее центре мы имеем динамическое давление по мере

приближения к краям пластинки давление уменьшается и на краях делается равным давлению в невозмущенном потоке; на задней стороне пластинки имеет место постоянное давление, равное давлению в невозмущенном потоке. Отсюда следует, что сопротивление пластинки пропорционально ее площади и динамическому давлению, и поэтому коэффициент сопротивления с должен иметь постоянное значение. Согласно вычислениям Кирхгофа, это значение равно

Однако в действительности, как уже неоднократно подчеркивалось, поверхности раздела очень неустойчивы и быстро распадаются, образуя большие и малые вихри. Поэтому зона мертвой воды за пластинкой не доходит до бесконечности, и поток на некотором расстоянии за пластинкой опять смыкается. В связи с этим давление позади пластинки значительно ниже, чем в невозмущенном потоке. Таким образом, задняя поверхность пластинки оказывает подсасывающее действие, и сопротивление получается значительно больше, чем по расчетам Кирхгофа. Для бесконечно широкой пластинки (т.е. практически для пластинки, ограниченной параллельными боковыми стенками) измерения показывают, что При обтекании прямоугольных пластинок с конечным отношением сторон жидкость огибает узкие стороны и попадая в подсасывающее пространство, значительно уменьшает существующее в нем разрежение. Для различных отношений сторон прямоугольника эксперимент дает следующие значения коэффициента сопротивления:

Расчет Кирхгофа относится к бесконечно длинной пластинке, следовательно, он очень плохо согласуется с результатом опыта. Наоборот, хорошее совпадение расчета с опытом получается в том случае, когда при обтекании водой пластинки пространство позади пластинки заполняется воздухом (или парами жидкости, как это имеет место при очень высоких скоростях). В этом случае поверхности раздела совсем или почти не распадаются, и поэтому условия, положенные в основу теории, хорошо удовлетворяются. На рис. 142 изображена такая устойчивая поверхность раздела, получившаяся в результате выстрела в воду через стенку стеклянного сосуда.

Рис. 142. Выстрел через воду

Рис. 143. Вихревая дорожка позади узкой пластинки (при фотографировании неподвижной камерой)

При обтекании узких пластинок или других подобного рода препятствий, когда поток жидкости перед телом не разделяется на две части, так как это было в только что рассмотренном случае, иногда образуется позади тела довольно правильная последовательность вихрей, попеременно срывающихся то с одного, то с другого края тела (рис. 143). Такая последовательность вихрей называется вихревой дорожкой. Наблюдения над вихревыми дорожками побудили Кармана исследовать устойчивость различных двухрядных систем параллельных и прямолинейных вихревых нитей. Вычисления показали, что все такие системы, за исключением одной, либо совсем, либо почти совсем неустойчивы. Единственная устойчивая система изображена на рис. 144. Для нее

отношение расстояния между обоими рядами вихрей к расстоянию I между вихрями в каждом ряду равно 0,283. Вихревые дорожки, наблюдающиеся в действительности, обладают расположением, очень близким к этому (при условии, что вихри имеют более или менее четко выраженные ядра). Однако по мере того, как форма вихрей вследствие трения расплывается, расстояние между ними постепенно увеличивается, как это ясно видно из рис. 143.

Рис. 144. Линии тока в вихревой дорожке

Постоянное образование за обтекаемым телом новых вихрей означает, что тело испытывает определенное сопротивление, так как иначе не соблюдался бы закон сохранения энергии. Для вычисления сопротивления можно было бы воспользоваться законом сохранения энергии, но для этого надо знать диаметр ядра вихрей. Другой способ вычисления сопротивления, основанный на теореме о количестве движения, не требует знания указанного диаметра. Такое вычисление было выполнено Карманом. Измеряя фотографический снимок вихревой дорожки и скорость вихрей относительно тела, Карман в результате своих вычислений получил для коэффициента сопротивления значения, хорошо совпадающие со значениями, определенными экспериментальным путем. Опыт показывает, что размеры вихревой дорожки зависят от размеров тела, однако установить эту зависимость теоретическим путем до сих пор не удалось.

с) Сопротивление движущегося тела определенным образом связано с состоянием кильватерного потока на большом расстоянии от тела. Выясним прежде всего, какой вид имеет поле скоростей кильватерного потока на большом расстоянии от тела. Кильватерный поток

Рис. 145. Источник и кильватерный поток

представляет собой жидкость, увлекаемую движущимся телом. При движении тела жидкость впереди него расходится во все стороны в виде источника [см. § 10, п. Ь) гл. II]. Следовательно, в системе отсчета, в которой невозмущенная жидкость покоится, картина течения должна иметь вид, схематически изображенный на рис. 145. Мощность источника т. е. количество жидкости, вытекающей из него в течение одной секунды, совпадает с количеством жидкости, протекающей в кильватерном потоке, и тесно связана с сопротивлением. Пусть скорость кильватерного потока относительно неподвижной жидкости равна Тогда на достаточно большом расстоянии от тела, где скорость источника уже ничтожно мала, количество жидкости, протекающей в кильватерном потоке, будет равно

где буква К означает, что интеграл следует распространить только на область кильватерного потока. Применяя теорему о количестве движения к области источника и кильватерного потока на большом расстоянии от тела, мы получим соотношение

где есть скорость тела. Из равенств (79) и (80) следует, что сопротивление тела можно определить, если измерить распределение скоростей в кильватерном потоке. Ниже мы увидим, что скорость кильватерного потока по мере удаления от тела уменьшается значительно медленнее,

чем быстро затухающее возмущение давления. Это обстоятельство позволяет очень просто осуществить измерения скорости в кильватерном потоке, необходимые для определения сопротивления. В самом деле, скорость движения жидкости в кильватерном потоке относительно тела равна При помощи трубки Пито [см. § 5, п. с) гл. II], покоящейся относительно тела, измеряется полное давление в кильватерном потоке, равное

Если полное давление в невозмущенной жидкости равно

то на достаточно большом расстоянии от тела, где мы будем иметь:

откуда

Но из уравнений (79) и (80) мы имеем:

Подставляя сюда значение и имея в виду, что на большом расстоянии от тела величина очень мала, мы получаем:

А. Бетц, впервые указавший на возможность такого способа вычисления сопротивления, развил этот способ также для случая небольших расстояний от тела (см. § 22, п. с)).

Только что рассмотренные свойства потока, создаваемого движущимся телом, позволяют получить представление о поле давлений вокруг тела. Это поле давлений определяется полем скоростей источника. В случае точечного источника его радиальная скорость равна

При плоском течении, когда вместо точечного источника рассматривается линейно распределенный источник, радиальной скоростью будет

где есть мощность источника на единицу длины. При составлении квадрата результирующей скорости, на большом расстоянии от центра источника играет роль только составляющая радиальной скорости в направлении движения тела, равная

Применяя уравнение Бернулли, мы получим:

откуда, принимая скорость равной скорости тела и отбрасывая член с как весьма малую величину, мы найдем:

Подставляя сюда значение и имея в виду уравнение (80), мы получим для точечного источника:

а для линейно распределенного источника:

Отсюда видно, что в случае линейно распределенного источника возмущения давления на большом расстоянии от тела могут быть довольно значительными. Это обстоятельство всегда необходимо учитывать

при измерениях в потоке, в котором имеется поставленный поперек него стержень (например, рукоятка измерительного прибора). Из формул (81) и (82) следует, что впереди движущегося тела давление повышено по сравнению с давлением в невозмущенном потоке, а позади — понижено. В кильватерном потоке, к которому уравнение Бернулли вследствие трения неприменимо, давление почти везде одинаково.

Относительно закона изменения скорости в кильватерном потоке заметим следующее. Периодический отрыв вихрей с кормовой части тела начинается только после того, как число Рейнольдса достигает некоторого, для каждого тела вполне определенного, значения. Для цилиндра, движущегося в направлении, перпендикулярном к своей образующей, это значение равно Пока число Рейнольдса меньше этого значения, ширина кильватерного потока на большом расстоянии от тела возрастает пропорционально величине

т. е.

Следовательно, ширина кильватерного потока изменяется по такому же закону, как и толщина пограничного слоя при обтекании пластинки [см. формулы (12) и (13) в § 3]. Соотношение (79) показывает, что скорость кильватерного потока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения; но последнее в свою очередь пропорционально при плоском течении и пропорциональн при течении, симметричном относительно оси вращения. Следовательно, на основании соотношения (82а), скорость кильватерного потока пропорциональна при плоском течении и пропорциональна при течении, симметричном относительно оси вращения. Что касается распределения скорости по поперечному сечению, то оно изображается функцией

Поле скоростей и поле напряжений, возникающие при движении шара при числе Рейнольдса математически определил Озин. Аналогичную задачу для движения круглого цилиндра решил Ламб. Полученные ими результаты хорошо совпадают, с картиной течения, изображенной на рис. 145.

Рис. 146. (см. скан) Движение масла позади круглого цилиндра

Особенностью движения при числах Рейнольдса, меньших единицы, является «мешок» вязкой жидкости, окружающий со всех сторон движущееся тело и увлекаемый последним вместе с собою. В этом случае источник и кильватерный поток начинаются не от тела, а от мешка. Как известно, в области применимости закона Стокса сопротивление пропорционально не площади поперечного сечения тела, а его поперечнику (диаметру), и поэтому при уменьшении тела его коэффициент сопротивления возрастает. Это обстоятельство тесно связано с только что указанной особенностью движения при числах Рейнольдса, меньших единицы.

Как происходит переход от рассмотренного «ламинарного» обтекания к вихревой дорожке, ясно видно из фотоснимков движения круглого цилиндра в масле, изображенных на рис. 146.

При возрастании числа Рейнольдса вихревая дорожка теряет свой правильный характер и движение в кильватерном потоке делается турбулентным. Зависимость скорости кильватерного потока от расстояния х от тела теперь получается иной, чем прежде. Эту зависимость можно определить следующим образом. Длина пути перемешивания, очевидно, пропорциональна ширине кильватерного потока, поэтому, согласно сказанному в § 4, пульсационные скорости пропорциональны средней скорости кильватерного потока. Возрастание ширины кильватерного потока можно принять пропорциональным следовательно, пропорциональным Таким образом,

Но на основании уравнения (79) мы имеем, что в случае плоского течения и в случае течения, симметричного относительно оси вращения. Отсюда, интегрируя выражение можно легко найти, что при плоском течении ширина пропорциональна а при течении, симметричном относительно оси вращения, пропорциональна следовательно, средняя скорость пропорциональна соответственно . Более строгое исследование обоих случаев течения имеется в работах Шлихтинга и Свен. Результаты, полученные для плоского течения, очень хорошо подтверждены опытом.