§ 5. Следствия из уравнения Бернулли.

При помощи уравнения Бернулли очень просто решаются многие задачи о движении жидкости. Приведем три особенно важных примера.

Рис. 30. Истечение из открытого сосуда

а) Истечение из открытого сосуда под действием силы тяжести. В выходном отверстии В (рис. 30) линии тока направлены перпендикулярно к выходному поперечному сечению. Внутри же сосуда все линии тока начинаются, очевидно, на свободной поверхности жидкости А, уровень которой по мере вытекания жидкости постепенно понижается. Частицы жидкости на свободной поверхности А находятся под атмосферным давлением Под таким же давлением находятся частицы жидкости и

в свободной струе В. Если свободная поверхность А велика по сравнению с площадью выходного отверстия В, то скорость частиц жидкости на свободной поверхности столь мала, что квадрат ее будет ничтожно мал по сравнению с квадратом скорости в выходном отверстии. Следовательно, обозначая через геометрические высоты в мы получим на основании уравнения Бернулли:

откуда найдем:

или

Таким образом, скорость жидкости в выходном отверстии такова, как если бы вытекающие частицы жидкости свободно падали с высоты Равенство (16) выражает собой так называемую теорему Торичелли.

Рис. 31. Истечение из круглого отверстия в тонкой стенке

Рис. 32. Истечение из круглого отверстия с закругленными стенками

Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, вообще не совпадает с поперечным сечением выходного отверстия. Так, например, при истечении через круглое отверстие в тонкой стенке площадь поперечного сечения струи составляет от 0,61 до 0,64 площади отверстия. Это явление, называемое сжатием струи, возникает вследствие того, что жидкость внутри сосуда притекает к отверстию в радиальном направлении (рис. 31) и, достигнув края отверстия, не может здесь внезапно

изменить свое направление. Отношение площади поперечного сечения струи к площади поперечного сечения отверстия называется коэффициентом сжатия струи и обозначается буквой а. Если края отверстия закруглены, как на рис. 32, то линии тока перед истечением имеют возможность постепенно изменить свое направление на параллельное оси отверстия. Для такого отверстия коэффициент сжатия равен приблизительно единице. Объем жидкости вытекающей в одну секунду через отверстие площадью называемый объемный расход), равен

При истечении из некруглого отверстия в тонкой стенке коэффициент сжатия мало отличается от своего значения для круглого отверстия, но зато форма струи получается, как правило, довольно сложной. Так, например, при истечении из квадратного отверстия получается струя с поперечным сечением в виде тонкого креста, а струя, вытекающая из прямоугольного отверстия, принимает вид ленты, перпендикулярной к длинной стороне прямоугольника.

Ь) Истечение из закрытого сосуда под действием внутреннего давления. Пусть в закрытом сосуде (рис. 33) имеет место давление а во внешнем пространстве — атмосферное давление причем Для линии тока, идущей горизонтально, Скоростью около стенки в точке А вследствие ее малости можно пренебречь, и на основании уравнения Бернулли мы получим:

Рис. 33. Истечение из закрытого сосуда под действием внутреннего давления

Следовательно,

Обозначим высоту т.е. высоту столба жидкости с удельным весом , создающего на своем нижнем основании давление через Тогда формула (17) примет вид:

Формула (17) позволяет вычислить то наибольшее значение скорости, при движении с которой газ можно рассматривать практически как несжимаемую жидкость. Очевидно, эта предельная скорость зависит от того, какое изменение плотности принимается за допустимое при оценке несжимаемости газа; следовательно, скорость тем меньше, чем выше требования к точности. Примем за допустимое изменение плотности величину При адиабатическом изменении состояния (см. § 5 гл. I) плотность связана с давлением при помощи соотношения

или, так как удельный объем с обратно пропорционален плотности

Изменению плотности соответствует изменение давления

откуда получаем:

или

Подставив сюда (нормальное давление воздуха), мы найдем:

Внесем это значение в формулу (17), причем для плотности примем среднее значение мы получим:

Следовательно, при скоростях движения воздуха, не превышающих воздух можно считать практически несжимаемым при условии, что допускается изменение плотности на 1%. Если допускается

изменение плотности на 10%, то, повторяя вычисления, мы найдем для предельной скорости значение

Таким образом, действие изменения плотности проявляется двояким образом: кинематически оно изменяет поперечное сечение жидких струек, а динамически — величину давления.

Рис. 34. Обтекание препятствия

с) Подпор жидкости перед препятствием. Когда равномерный поток жидкости встречает на своем пути какое-нибудь препятствие (рис. 34), он расходится во все стороны и обтекает препятствие. При этом непосредственно перед препятствием происходит подпор, т.е. замедление потока. В центре области подпора, в так называемой критической точке, поток полностью останавливается, скорость его здесь равна нулю. Пусть скорость потока вдали от препятствия равна Рассмотрим линию тока, проходящую через критическую точку. Обозначим давление в критической точке через а давление в невозмущенной жидкости, т.е. вдали от препятствия, на одинаковой высоте с критической точкой, — через Тогда, применяя уравнение Бернулли к рассматриваемой линии тока, мы получим:

откуда

Приращение давления, возникающее в критической точке и равное

называется динамическим, или скоростным давлением. Зная динамическое давление, можно определить скорость течения.

Если тело движется со скоростью в покоящемся воздухе (или в воде), то в системе отсчета, неподвижной относительно тела, т.е. движущейся вместе с ним, тело будет покоиться, а жидкость — набегать на тело со скоростью равной, но противоположной скорости Поэтому и в этом случае будет происходить подпор жидкости с приращением давления в критическои точке, равным

Если в критической точке тела, осуществляющего препятствие, просверлено отверстие, то давление передается внутрь тела и может быть отсюда подведено к измерительному прибору. Выполняя препятствие в виде изогнутой под прямым углом трубки, обращенной одним концом против течения, мы получим простой прибор для измерения давления Этот прибор называется, по имени изобретателя, трубкой Пито (рис. 35).

Рис. 35. Трубка Пито

Пусть давление в какой-либо точке потока жидкости равно Это есть то давление жидкости, которое показал бы прибор для измерения давления, движущийся вместе с жидкостью. Давление принято называть статическим давлением. Если мы поместим в рассматриваемую точку потока трубку Пито, то здесь произойдет подпор жидкости, и давление станет равным которое будет обнаружено трубкой Пито. Давление принято называть полным давлением. Таким образом, из формулы (18) следует, что полное давление равно сумме статического и динамического давлений. Заменяя в уравнении Бернулли

статическое давление его значением согласно формуле (18), мы получим:

или

Это равенство показывает, что полное давление изменяется в потоке жидкости по статическому закону, следовательно, в том случае, когда постоянная в уравнении Бернулли одинакова для всех линий тока, оно постоянно в каждой горизонтальной плоскости.

Для того чтобы использовать формулу (18) для определения скорости течения, необходимо, кроме измерения полного давления измерить также статическое давление Последняя задача значительно труднее первой, так как введение зонда в поток несколько изменяет статическое давление именно в той точке, где его желательно измерить. О том, как измеряется статическое давление, будет сказано ниже, в § 8.