§ 10. Гидродинамическая теория смазки.

Третьим, технически очень важным примером течения, при котором вязкость играет преобладающую роль, является движение масла в слое смазки между цапфой и подшипником или между ползуном (башмаком) и направляющей опорной поверхностью. Тщательные наблюдения показывают,

что при вращении смазанной цапфы в подшипнике или при скольжении смазанного башмака по опорной поверхности образуется тонкий слой масла, полностью предохраняющий движущуюся часть машины от соприкосновения с опорной поверхностью, и что сам этот слой находится в определенном движении. Способность смазанного подшипника воспринимать большие нагрузки при незначительном трении следует рассматривать именно как результат течения, происходящего в слое смазки.

Рассмотрим сначала случай движения ползуна на плоской поверхности, причем для упрощения исследования предположим, что обе скользящие поверхности простираются в направлении, перпендикулярном к движению, столь далеко, что течение жидкости в слое смазки можно рассматривать, по крайней мере в центральной зоне, как плоско-параллельное. Для того чтобы получить установившееся движение, будем рассматривать движение в системе отсчета, в которой ползун покоится, а опорная поверхность (значительно более длинная) движется со скоростью вправо. Предварительно исследуем течение через щель высотой верхнюю стенку которой образует неподвижный ползун, а нижнюю стенку, параллельную верхней, — движущаяся со скоростью и опорная поверхность. Пусть в направлении движения давление повышается или понижается. Ось х направим в сторону движения опорной поверхности, а ось у — перпендикулярно к стенкам. Тогда градиент давления в направлении движения будет равен Для сокращения записи будем обозначать его через Вследствие малой толщины

слоя смазки следует считать, что градиент не зависит от у. Скорость течения, направление которого в рассматриваемом случае совпадает с осью х, обозначим через и (в более общем случае, когда стенки не совсем параллельны, для характеристики движения также вполне достаточно одной только составляющей скорости и; составляющая скорости по оси у нужна только для составления уравнения неразрывности). Пренебрежем инерцией и допустим, что состояние движения в направлении оси х изменяется медленно, точнее, медленнее по сравнению с более быстрым изменением в направлении оси у (такое допущение означает, что можно пренебречь величиной по сравнению Тогда, имея в виду сказанное в конце § 1, мы можем написать:

откуда после интегрирования получим:

Интегрируя еще раз, найдем:

Для скорость и должна быть равна скорости опорной поверхности относительно ползуна; этому требованию мы удовлетворим, приняв Для должно быть следовательно,

Подставляя эти значения постоянных в уравнение (38), мы получим:

Сила трения на единицу площади, считаемая положительной, равна на нижней стенке:

а на верхней стенке:

При использовании полученного результата необходимо иметь в виду, что повышению давления в положительном направлении оси х соответствует положительное значение следовательно, отрицательное значение означает, что в положительном направлении оси х происходит падение давления.

Определим теперь количество жидкости протекающей в единицу времени через щель. Знание этого количества нам потребуется для формулирования условия неразрывности. Через поперечное сечение высотой протекает на единицу длины, в направлении, перпендикулярном к осям х и у, количество жидкости

Выполняя интегрирование, мы получим:

После этих предварительных вычислений мы можем приступить к решению поставленной задачи. Найдем такое ее решение, при котором давление под ползуном начинаясь от атмосферного давления около края ползуна, сначала сильно возрастает вместе с а затем опять уменьшается до атмосферного давления Только при таком распределении давления ползун, несмотря на большую нагрузку, не будет соприкасаться с опорной поверхностью. При постоянной высоте щели такое распределение давления невозможно. В самом деле, вследствие неразрывности движения должно быть но есть скорость ползуна, следовательно, также есть постоянная величина, поэтому при постоянном градиент давления не может изменяться. Следовательно, мы должны принять, что высота изменяется вместе с х. Решая уравнение (42) относительно мы получим:

Интегрируя это уравнение, мы найдем как функцию от

Постоянную интегрирования С и пока неизвестное значение мы определим из условия, что на обоих концах ползуна должно быть Зная мы будем знать распределение давления под ползуном, после чего сумеем вычислить путем еще одного интегрирования результирующую сил давления на ползун, равную на единицу длины в направлении, перпендикулярном к осям х и у, интегралу и момент этих сил, равный Отношение момента к результирующей силе даст нам расстояние точки пересечения результирующей сил давления с осью х от точки Полная сила трения, на основании уравнения (40), равна то Складывая ее с силой мы найдем результирующую силу, действующую на ползун, по величине, направлению и положению для каждого заданного закона изменения высоты щели. Так как обычно результирующая сил давления задана, то выполнение указанных вычислений дает возможность определить высоту щели.

Можно было бы вычислить полную силу трения, исходя из выражения для касательного напряжения на верхней стенке щели, т. е. на нижней поверхности ползуна. Однако при таком вычислении необходимо иметь в виду, что на нижней поверхности ползуна, наклоненной к оси х на угол, тангенс которого равен

давление дает составляющую в направлении движения. Так как на верхней поверхности ползуна имеет место атмосферное давление эта составляющая равна

Интегрируря по частям и имея в виду, что для мы получим:

Используя теперь уравнения (40) и (41), мы найдем для полной силы трения такое же выражение, как и в том случае, когда расчет ведется, исходя из выражения для касательного напряжения то на опорной поверхности.

Простейший случай переменной высоты щели мы получим, если примем ползун и опорную поверхность плоскими, но наклоненными друг относительно друга на малый угол (рис. 122). Пусть абсциссы концов ползуна равны а высота щели пусть равна

что означает, что прямая пересечения обеих плоскостей находится на расстоянии а от левого края башмака

Рис. 122. Щель переменной высоты

Подставим выражение в уравнение (44) и вычислим оба интеграла; мы получим:

следовательно,

Из условия, что для должно быть находим:

поэтому

Для того чтобы также при выражение в квадратных скобках в правой части уравнения (46) должно быть равно нулю, следовательно,

Подставляя это значение в уравнение (46) и заменяя опять на после легких преобразований мы получим:

Для оценки среднего давления вычислим сначала давление под серединой ползуна Давление не совпадает с максимальным давлением под ползуном, так как высота щели, согласно уравнению (45), изменяется вместе с однако, если это изменение происходит не слишком быстро, то величина будет близка к максимальному давлению. Подставляя в уравнение (48)

мы получим:

Предположим, что давление под ползуном распределяется приближенно по параболе; тогда среднее избыточное давление под ползуном следует принять равным

или, на основании уравнения (49),

Эта формула ясно показывает, что очень малая толщина слоя смазки обеспечивает очень большое давление под ползуном даже при сравнительно малой вязкости смазочного вещества. Так как высота щели уменьшается в направлении течения, то максимум давления на основании уравнения (48) лежит за серединой ползуна в направлении течения, поэтому там же проходит и результирующая сила. В верхней части рис. 123 показано распределение давления согласно уравнению (48), а в нижней части — распределение скоростей в нескольких сечениях щели. Различная кривизна кривых распределения

Рис. 123. Распределение давления под башмаком

Рис. 124. Башмак с шарниром

скоростей ясно показывает, что давление в разных сечениях — разное. Распределение давления зависит также от отношения положение же результирующей силы давления зависит только от этого отношения. Мичел (E.Michell) снабдил башмак подшипника, названного его именем, шарнирным соединением, расположенным немного дальше середины башмака по направлению движения (рис. 124), и достиг таким путем хорошей работы подшипника при любой нагрузке. Башмак такого подшипника автоматически устанавливается под определенным углом наклона к опорной поверхности.

В действительности в подшипнике Мичела часть масла, попадающая под башмак во входном сечении щели, вытекает с боков башмака. Это приводит к довольно значительному уменьшению давления под башмаком, но в качественном отношении все остается по-прежнему.

Характер поля давления под башмаком приводит к тому, что касательные напряжения на поверхности башмака около входного сечения меньше, а около выходного сечения больше обычного трения; на опорной поверхности имеет место обратное соотношение. Значения этих касательных напряжений легко найти при помощи уравнений (40), (41), (43) и (47).

Вместо определения этих значений мы ограничимся нахождением оценки для силы трения, которая будет тем точнее, чем больше отношение у. Для этой цели примем, что распределение касательных напряжений изображается трапецией, поэтому среднее значение силы

трения на единицу площади можно считать приближенно равлым силе трения на средней линии трапеции. Так как на этой линии величина очень мала, то, на основании равенства (40), мы имеем:

Определим из уравнения (50) толщину слоя смазки:

Подставляя это значение в уравнение (51), мы получим:

Величина есть не что иное, как то напряжение трения (очень малое), которое возникло бы в том случае, если толщина слоя смазки была бы равна Следовательно, действительное напряжение трения по порядку своей величины равно среднему геометрическому из только что указанного малого напряжения трения и среднего значения нагрузки. Таким образом, при заданных значениях I и а сопротивление скольжению изменяется пропорционально корню квадратному из вязкости, из нагрузки и из скорости. При точном вычислении касательных напряжений получилась бы совершенно такая же зависимость, но, конечно, с другим коэффициентом, чем в формуле (53).

В теории трения скольжения твердых тел вводится, как известно, коэффициент трения скольжения, равный отношению силы трения к нормальной силе давления. В рассматриваемом случае этот коэффициент равен

Следовательно, при заданных значениях I и а, т. е. при заданных длине и наклоне башмака, коэффициент пропорционален величине Рассмотрим числовой пример. Пусть . В таком случае

Далее, пусть тогда числовой множитель в равенстве (53) будет равен следовательно,

Переписав равенство (52) в виде

мы найдем, что средняя толщина слоя смазки равна

Рис. 125. Вращение цапфы в подшипнике

Для смазанной цапфы, вращающейся в подшипнике, соотношния получаются не столь простыми, как для ползуна. Это вполне понятно, так как теперь в расчет должна быть введена новая постоянная величина — так называемый зазор, т.е. ширина щели при центральном положении цапфы в подшипнике (разность между радиусом подшипника и радиусом цапфы кроме того, две неизвестные величины — горизонтальное и вертикальное перемещения центра цапфы относительно центра подшипника. Общая картина явления получается такая же, как и при движении ползуна: под цапфой образуется клинообразная прослойка масла, увлекаемая вращающейся цапфой от широкой стороны щели к узкой (рис. 125). Вычисления получаются очень сложными, но они упрощаются, если эксцентриситет цапфы мал по сравнению с зазором Такой случай имеет место при быстром вращении хорошо смазанной и умеренно нагруженной цапфы в полностью закрытом подшипнике. В этом случае можно принять, что

где у есть центральный угол, и развернуть квадрат величины который входит в вычисления, в ряд по биному Ньютона. Эти вычисления выполняются совершенно так же, как и в случае ползуна, причем по-прежнему принимается, что ширина цапфы — бесконечная. В результате получается, что

есть среднее давление в слое смазки, радиус цапфы и окружная скорость. Обе части этого соотношения представляют собой безразмерные величины. Структуру правой части этого соотношения можно было бы предвидеть на основании формулы (50). В самом деле, формулу (50) можно переписать в следующем виде:

Левая часть этого равенства имеет чисто геометрический характер и по своему смыслу аналогична отношению правая же часть отличается от правой части соотношения (54) только тем, что в нее вместо входит а вместо радиуса величина

В более общем случае, когда эксцентриситет цапфы нельзя считать малым по сравнению с зазором отношениение является функцией числа

Функцией этого же числа является и угол а, образуемый направлением результирующей силы с прямой, соединяющей центры цапфы и подшипника. Угол а в большинстве случаев близок к 90°. Результирующая сила пересекает окружность подшипника в определенной точке, впереди которой по направлению вращения расположена та точка, которая ближе всего отстоит от цапфы.

Безразмерное число учитывает влияние на работу подшипника его нагрузки, зазора, вязкости масла и окружной скорости. Поэтому результаты опытов целесообразно относить к определенным значениям этого числа.

Для коэффициента трения подшипника, т.е. для отношения силы трения, действующей вдоль окружности подшипника, к нагрузке на подшипник, получается такое же выражение, как и для коэффициента трения ползуна, а именно:

Вальгер, производивший опыты с подшипником, охватывавшим цапфу примерно наполовину (длина его по окружности составляла получил для последнего числа значение 2,4.

В предыдущих рассуждениях мы молча предполагали, что достаточный приток масла и не слишком малая скорость вращения цапфы (или не слишком большая нагрузка на нее) обеспечивают существование масляной пленки, покрывающей всю поверхность подшипника и предупреждающей соприкосновение металлических поверхностей цапфы и подшипника. Так как точность обработки этих поверхностей имеет некоторый предел, то при слишком малой ширине щели нельзя избежать соприкосновения цапфы и подшипника. В таком случае возникают явления, которые лучше объясняются обычной теорией трения твердых тел. При пользовании выведенными формулами необходимо исключить также случай возникновения в масляной пленке давлений, значительно меньших атмосферного. Возникновение таких давлений сразу приводит к разрыву масляной пленки. Тщательные измерения, выполненные Фресселем для подшипника, целиком погруженного в масло, показали, что в месте разрыва отнюдь не образуется вакуум, как этого можно было бы ожидать по аналогии с таким движением воды, при котором возникает кавитация (см. гл.У). Наоборот, давление здесь только незначительно отличается от атмосферного, что объясняется сильным выделением газов из масла. Разрыв пленки наблюдается, как правило, при большой нагрузке цапфы; в результате разрыва создаются условия, сходные с условиями работы подшипника, лишь частично закрывающего цапфу. На теории такого подшипника мы не можем здесь останавливаться.

Выведенные здесь соотношения хорошо подтверждаются опытом для случая умеренной нагрузки цапфы или ползуна. При большой нагрузке происходит нагревание смазки, что приводит к значительному уменьшению ее вязкости, в результате чего возникают значительные отклонения от выведенных формул. Фогельполь показал, что получающиеся в этом случае весьма сложные зависимости доступны точному теоретическому исследованию. Из полученных им результатов упомянем лишь о следующем: более выгодны для смазки те масла, вязкость которых уменьшается с температурой незначительно. В частности,

Фогельполь указал также на то, что при так называемом полужидкостном или смешанном трении преобладающая часть нагрузки воспринимается «гидродинамически» тем небольшим количеством масла, которое содержится между неровностями обеих соприкасающихся поверхностей.

Вязкость масел довольно значительно возрастает с увеличением давления. Это несколько улучшает условия работы подшипника при больших нагрузках, правда, при условии, что окружная скорость вращения остается небольшой. Согласно опытам Кискальта при нагрузке в 600 кг вязкость от двух до четырех раз больше, чем при нагрузке в