§ 10. Влияние трения

а) В предыдущих рассуждениях мы намеренно пренебрегали трением. Между тем вязкость и прилипание жидкости к вращающемуся основанию приводят к тому, что в пограничном слое (или, в случае атмосферы, в слое, близком к поверхности земли) возникает вторичное течение (см. § 8 гл. III). Поле давлений, которое в свободном потоке уравновешивается с кориолисовыми силами, существует также в слоях, близких к вращающемуся основанию; однако здесь, вследствие меньших скоростей течения, кориолисовы силы меньше, чем на большой высоте, и поэтому они не в состоянии уравновесить поле явлений. Вследствие преобладающего действия поля давлений Вблизи вращающегося основания возникает течение в направлении перепада давления, и при этом с такой скоростью, которая обусловливает появление сил трения, компенсирующих уменьшение кориолисовых сил. Однако вследствие увлекающего действия верхних слоев отклонение вторичного потока от направления основного потока составляет только около 45° при ламинарном движении и от 20 до 30° при турбулентном движении (в этом случае отклонение получается меньше вследствие более сильного увлекающего действия основного потока).

Рассмотрим наиболее простой пример. Пусть относительно вращающейся плоскости над зоной трения движется параллель поток со скоростью в направлении оси х. Давление в этом потоке пусть равно

следовательно, кориолисова сила, обусловленная скоростью уравновешивается с градиентом давления — (уменьшением давления кверху вследствие уменьшения плотности можно пренебречь). В пограничном слое скорость и не равна она является функцией расстояния z от основания. Кроме скорости и в направлении оси х в пограничном слое имеется скорость в направлении оси у, также являющаяся функцией от z. Для должно быть

При ламинарном движении согласно уравнениям Навье-Стокса, в направлении оси х на единицу объема действует сила вязкости

а в направлении оси у — сила вязкости гл. III). Так как каждый слой, согласно предположению, движется равномерно, то ускорения, за исключением кориолисова ускорения, отсутствуют. Далее мы имеем:

Следовательно, уравнения движения принимают вид:

Полагая

мы получим:

Из четырех комплексных корней этого уравнения два имеют положительные вещественные части. Этим двум корням соответствует затухание составляющих скорости ииипо направлению вниз, следовательно, эти корни дают решение задачи для возмущений, исходящих от верхней ограничивающей поверхности.

Примером таких возмущений являются морские течения, вызванные ветрами. Два другие комплексные корня уравнения (31) имеют отрицательные вещественные части. Этим корням соответствует затухание составляющих в и и по направлению кверху, следовательно, эти корни дают решение рассматриваемой задачи, которое можно представить в следующей вещественной форме:

где

есть кинематическая вязкость. Проекция годографа результирующей скорости на горизонтальную плоскость изображена на рис. 289.

Рис. 289. Ламинарное приземное течение

Рис. 290. Турбулентное приземное течение

Полученная кривая называется спиралью Экмана. Мы видим, что направление ветра у поверхности земли отклонено от направления высотного ветра на 45°.

Для решения аналогичной задачи в случае турбулентного движения следует ввести в расчет вместо вязкости коэффициент турбулентного перемешивания А [§ 4, п. е) гл. III]. Так как этот коэффициент во много раз больше, чем и приблизительно пропорционален скорости ветра, то пограничный слой получается значительно толще, чем при ламинарном движении, причем тем более толстым, чем больше скорость ветра. Кроме того, поскольку величина коэффициента А не постоянна по высоте z, для распределения скорости в пространство получаются иные формулы, чем при ламинарном движении. В частности, наибольший градиент скорости получается, как вообще всегда при турбулентных течениях, вблизи поверхности земли. Поэтому средняя скорость в пограничном слое больше, чем при ламинарном движении, что несколько сглаживает разность между кориолисовыми силами вблизи поверхности земли и на высоте; этим и объясняется, что при турбулентном движении отклонение направления ветра в зоне трения от направления высотного ветра меньше, чем при ламинарном движении. Проекция годографа скоростей на горизонтальную плоскость изображена на рис. 290.

Подчеркнем, что полученные результаты являются точными

только для случая прямолинейных установившихся изобар. В действительности же изобары обычно непрямолинейные и изменяются во времени, поэтому измерения скорости и направления ветра, производимые путем наблюдения за движением шаров-пилотов или путем записи курса и скорости свободных аэростатов, дают результаты, более или менее отклоняющиеся от указанных выше теоретических значений.

b) Для получения численных соотношений необходимо знать составляющие и касательного напряжения на поверхности земли. Общие формулы для этих составляющих легко вывести, исходя из значений кориолисовых сил в приземном течении. Мы получим:

В этих формулах означает ту высоту, на которой величины можно считать равными нулю. Результирующее касательное напряжение должно иметь направление ветра в зоне трения, следовательно, угол а между этим направлением и направлением высотного ветра определяется из соотношения:

Согласно сказанному в § 5, п. d) гл. III, касательное напряжение при турбулентном течении вдоль шероховатой поверхности приблизительно пропорционально квадрату скорости. Из этого в сочетании с уравнением (32) следует, что высота пограничного слоя при увеличении скорости ветра возрастает приблизительно пропорционально этой скорости.

Дальнейшие точные вычисления невозможны, так как пока мы еще не знаем точных закономерностей, имеющих место при ускоренных турбулентных течениях. Поэтому мы ограничимся здесь только приближенной оценкой.

Примем, что вблизи поверхности земли составляющая скорости и равна

т. е. изменяется пропорционально корню степени из Составляющую с вблизи поверхности земли примем равной

Для того чтобы при было заменим равенство (36) следующим равенством:

Высота меньше той высоты которая была введена в формулы (32) и (33); выберем ее так, чтобы изменение составляющей и по формуле (35) в среднем совпадало с изменением ее по точному закону. [Кривые, изображающие изменение по формулам (35) и (37), изображены на рис. 290 пунктиром.] Подставляя значения из формул (35) и (37) в формулы (32) и (33), мы получим после простых вычислений следующее соотношение:

Касательное напряжение поверхности земли, согласно формуле (32), равно

где величина

есть барометрический градиент, который должен быть выражен в таких же единицах, как и напряжение

Показатель степени в формуле (35) зависит от а также от шероховатости поверхности земли. Если развитию нормальной турбулентности не препятствует устойчивое температурное расслоение воздуха, то для определения и можно воспользоваться формулой (33) гл. III. Эта формула, выражающая скорость турбулентного течения над шероховатой поверхностью, имеет вид:

причем, согласно сказанному на стр. 178, величина зависит от высоты выступов, образующих шероховатость. Для шероховатости, образованной растительностью или строениями, величина колеблется между 5 и 8,5. Так

как при должно быть то из равенства (40) мы имеем:

Использование для составляющей и, в противоположность предыдущему, логарифмической формулы почти не отражается на оценке, так как при подходящем выборе величины ход изменения обеих функций (35) и (40) почти одинаковый. Необходимо только, чтобы обе функции давали одно и то назначение интеграла

что приводит к соотношению:

Исключая из равенств (39) и (41), мы получим:

Из этого уравнения нетрудно найти путем проб для заданного значения соответствующее значение (удобнее поступить наоборот — для взятого значения вычислить соответствующее значение Формула (42) подтверждает, что высота приблизительно пропорциональна скорости ветра Рассмотрим численный пример. Примем, что и что

В таком случае

следовательно, Этим значениям соответствуют углы отклонения . Наконец, из уравнения (42) находим:

На широте 50° угловая скорость вращения равна

Для получаем из равенств (43):

Соответствующие значения к равны:

с) Важным следствием возникновения приземного течения, направленного под определенным углом к заданному высотному или градиентному ветру, является постепенное ослабление поля давлений. Приземное течение непрерывно перемещает воздух из области высокого давления в область низкого давления. Поток массы воздуха в направлении перепада давления на единицу длины вдоль направления и градиентного ветра равен

или, на основании равенства (32),

Перемещение массы воздуха в нижних слоях атмосферы должно компенсироваться перемещением в верхних слоях в противоположном направлении, т.е. из области низкого давления в область высокого давления. Такого рода перемещения влекут за собой, на основании сказанного в §9, изменение первоначальных полей скоростей и давлений. Эти изменения, как легко видеть, всегда сводятся к тому, что оба поля ослабляются. Таким образом, трение, проявляющееся только в сравнительно тонком слое вблизи поверхности земли, приводит в сочетании с кориолисовыми силами к уменьшению кинетической энергии не только нижних, но и верхних слоев атмосферы. Энергия, расходуемая в единицу времени для преодоления сил трения на единице площади, равна

в то же время эта энергия равна секундной работе перепада давления, т. е.

В самом деле, умножая равенство

на и интегрируя в пределах от до мы получим, на основании формулы (32):

Определение быстроты уменьшения энергии можно выполнить следующим приближенным способом. Полагая, например, мы получим:

или, имея в виду, что на основании первого из равенств

Если высоту всей массы воздуха, пересчитанную на постоянную плотность, обозначить через то кинетическая энергия на единицу площади будет равна

Подставляя это выражение в уравнение (44) и интегрируя по всей площади области возмущения, мы найдем быстроту уменьшения энергии (при условии, что термические явления не приводят ни к притоку, ни к отводу энергии). Можно не интегрировать уравнения (44) и ограничиться подсчетом для единицы площади. Для этого надо взять для скорости ее среднее значение тогда мы получим:

Пользуясь этой формулой, можно вычислить время в течение которого скорость уменьшается на определенное число процентов. Так, например, если то для уменьшения скорости на 10% требуется

Подчеркнем, что это время подсчитано для наблюдателя, движущегося вместе с областью возмущения; для наблюдателя, неподвижного относительно поверхности земли, получается совсем другое время. Формула (45) показывает,

что уменьшение скорости ветра происходит тем быстрее, чем больше скорость.

В § 9, п. b) нами было рассмотрено обтекание длинной возвышенности в предположении, что трение отсутствует. В действительности трение всегда существует, и поэтому возникает вторичное течение рассмотренного выше вида, которое влечет за собой постепенное ослабление поля давлений. Из формы линий тока, изображенных на рис. 288, видно, что вторичный поток, перпендикулярный к направлению ветра, расширяется над возвышенностью; таким путем создается отток воздуха (такой же, как из области высокого давления), который компенсируется притоком воздуха сверху. Расчеты Гёртлера показали, что это явление оказывает значительное влияние на течение верхних слоев атмосферы только в случае очень слабых ветров или очень большой шероховатости почвы.

d) В морях следует различать поверхностные течения, вызванные ветрами, и глубинные течения, связанные, согласно сказанному в § 9, п. b), с разностями высот уровня свободной поверхности. Если плотность воды в области глубинного течения всюду одинаковая, то скорость этого течения по всей глубине постоянна по величине и направлению, за исключением нижних, придонных слоев, где вследствие трения возникает вторичное, придонное течение.

Все выводы, полученные нами в этом параграфе для ветров, могут быть непосредственно перенесены на глубинные течения.

Поверхностные течения возникают вследствие трения ветра о свободную поверхность воды, точнее говоря, главным образом вследствие переноса количества движения ветра на волны. Приведенные в движение слои воды получают вследствие вращения Земли отклонение вправо в северном полушарии и влево — в южном полушарии. В результате образуется морское течение, отклоненное от направления ветра вправо или влево, в зависимости от полушария. При ламинарном течении распределение скоростей по глубине изображается опять спиралью Экмана. Однако, в общем случае, главным образом вследствие неравномерности ветра, поверхностное течение получается турбулентным, и

поэтому распределение скоростей по глубине изображается спиралью турбулентного типа. На рис. 291 изображена проекция годографа скоростей турбулентного поверхностного течения на горизонтальную плоскость. Так как ветер, дующий около поверхности воды, не совпадает по направлению с градиентным ветром, то отклонение поверхностного течения относительно градиентного ветра получается иным, чем относительно ветра около поверхности воды. Как легко видеть, направление поверхностного течения около самой поверхности воды приблизительно совпадает с направлением градиентного ветра, следовательно, поверхностное течение почти перпендикулярно к барометрическому градиенту. Небольшие отклонения от этого правила могут возникать вследствие влияния расслоения атмосферы, которое дает себя знать в виде усиления или ослабления турбулентности.

Глубинные течения обусловливаются в основном поверхностными течениями. Если, например, поверхностное течение направлено к берегу, то необходимо должно возникнуть глубинное течение, отводящее от берега воду, пригоняемую поверхностным течением. Поэтому при установившемся движении возникает наклон поверхности моря, а вместе с ним и горизонтальный градиент давления в воде. Составляющая этого градиента, параллельная береговой линии, направлена в сторону, противоположную соответствующей составляющей барометрического градиента.

Рис. 291. Годограф скоростей поверхностного течения в море (точка О соответствует поверхности воды, точка нижнему слою течения)