§ 18. Естественные конвективные потоки

а) Если единственной причиной движения жидкой среды являются разности плотности, вызванные тепловым расширением среды, то потоки, возникающие таким путем, называются, в отличие от вынужденных потоков, естественными конвективными потоками. Если естественные потоки возникают в пространстве, не ограниченном стенками, то они называются также свободными конвективными потоками. В свободных потоках поле давлений получается обычно почти в точности таким же, каким оно было бы в невозмущенной среде под действием силы тяжести. Поэтому для исследования таких потоков можно воспользоваться искусственным приемом, изложенным в § 12, п. а), т.е. вычесть из действительного давления весовое давление. Тогда полученная разность, т. е. кинетическое давление, на основании только что сказанного, практически будет равна нулю, и в качестве единственной причины движения останется только сила, равная разности между весом и статической подъемной силой, т.е. на единицу объема, где есть невозмущенная плотность, которую обычно можно рассматривать как постоянную. Этой силе соответствует ускорение, равное

и направленное вертикально вниз. При условии линеаризации задачи это ускорение можно заменить ускорением

В случае газа с абсолютной температурой в невозмущенной области и абсолютной температурой где-нибудь в возмущенной области, плотность в рассматриваемом месте возмущенной области равна

или приближенно (после отбрасывания вторых и более высоких степеней

Подставляя это значение в равенство (118), мы получим, что результирующее ускорение поля тяжести равно

если положительным считается ускорение, направленное вниз, и

если положительным считается ускорение, направленное вверх.

В случае жидкости, для которой коэффициент теплового расширения равен результирующее ускорение равно

и направлено, согласно предыдущему, вверх, если положительно.

Рассмотрим прежде всего следующий простой пример. Пусть в вертикальной трубке диаметром наполненной жидкостью и открытой сверху и снизу, температура на больше, чем снаружи. Тогда, согласно формуле (119), сила, действующая на единицу объема жидкости, будет равна В случае ламинарного течения эта сила уравновешивается силон трения, пропорциональной где есть средняя скорость течения. Следовательно, мы можем написать:

откуда, имея в виду, что получим среднюю скорость:

Соответствующее число Рейнольдса равно

Если мы теперь предположим, что движение жидкости в трубе происходит без трения, то при входе в трубу, на основании уравнения Бернулли, будет иметь место падение давления Из уравнения

мы найдем скорость течения:

Составляя формально при помощи этой скорости число Рейнольдса, мы получим:

Мы видим, что в обоих случаях безразмерная величина

играет при течении существенную роль. В честь И. Грасгофа, впервые разработавшего теорию тяги в трубе, эта величина называется числом Грасгофа и обозначается буквой Таким образом

причем для газов следует подставить где есть средняя абсолютная температура в рассматриваемом процессе.

b) Число Грасгофа входит во все соотношения, получающиеся для естественных потоков в тех случаях, когда задана разность температур. Исключение составляют случаи, для которых задана не разность температур, а количество тепла, отдаваемое в единицу времени. Примером таких потоков могут служить восходящие потоки воздуха около пламени свечи или других источников тепла. Аналитическое исследование подобного рода потоков возможно только на таких расстояниях

от источника тепла, на которых разности между температурой воздушного потока и окружающей средой малы по сравнению с имеющей здесь место абсолютной температурой. Для турбулентных потоков такое исследование было сделано В. Шмидтом. Его расчеты, основанные на результатах, полученных Толмином для расширяющейся струи, показали, что ширина турбулентного естественного потока, так же, как и ширина турбулентной струи, увеличивается пропорционально расстоянию от начала потока, т. е. в нашем случае пропорционально высоте z над источником тепла. В случае осесимметричного потока распределение температур и скоростей имеет приблизительно такой же вид, как распределение скоростей на рис. 96 (стр. 169). Скорость, получаемая вследствие статической подъемной силы нагретого воздуха, наибольшая около пламени; по мере удаления от источника тепла она уменьшается пропорционально в то время как уменьшение температуры происходит пропорционально Результаты, полученные Шмидтом, хорошо подтверждаются опытом.

Аналитическое исследование ламинарного естественного потока до сих пор, по-видимому, не выполнено. Приближенные расчеты автора показывают, что скорость восходящего движения не зависит от z, а температура в середине струи пропорциональна Ширина струи увеличивается пропорционально

Эти приближенные расчеты выполняются так же, как и расчеты, сделанные на стр. 169 для расширения струи. В основе этих расчетов лежит допущение, что секундное количество тепла, переносимое струей и пропорциональное имеет одно и то же значение на любой высоте над источником тепла скорость в середине струи, разность между температурой в середине струи и вне струи, ширина струи). Уравнение движения для центральной линии тока имеет вид:

Если между имеет место степенная зависимость, то отношение отдельных членов этого уравнения друг к другу должно быть одинаковым для всех должна соблюдаться пропорциональность:

Полагая для турбулентного потока и для ламинарного потока, мы получим из соотношений (121) указанные выше оценки.

В дополнение к сказанному выше добавим еще следующее: в случае турбулентного потока для заданного

а в случае ламинарного потока

Плоская задача (восходящий поток воздуха от источника тепла, имеющего большое протяжение в горизонтальном направлении) отличается от рассмотренной осесимметричной пространственной задачи в отношении вычислений только тем, что количество тепла переносимого в одну секунду на единицу длины, следует принять пропорциональным а не Поэтому показатель степенной зависимости от получается иным, чем в пространственной задаче. Решение Шмидта для турбулентного потока приведено выше. Для ламинарного потока опять но зато

с) Естественный поток около нагретой вертикальной стенки. Если в пространстве имеется вертикальная нагретая стенка, то около нее образуется слой нагретого воздуха, который поднимается кверху. В общем случае поток получается ламинарным, так как возникают не очень большие скорости. Если разности температур в потоке малые, то для приближенного определения зависимости скорости от высоты можно воспользоваться приемом, очень сходным с рассмотренным в предыдущем пункте. Пусть есть максимальная скорость в поперечном сечении положительная разность между температурой стенки и средой и толщина поднимающегося кверху слоя воздуха.

Уравнение движения имеет вид:

В этом уравнении для должно быть

кроме того, следует положить пропорциональным Если искомая зависимость между должна быть степенной, то необходимо, чтобы было

откуда следует, что

и поэтому окончательно

Так как секундное количество тепла уносимого от пластинки потоком с высоты через единицу ширины, пропорционально то на основании соотношения (123) мы имеем:

При выполнении этих вычислений осталось не использованным дифференциальное уравнение распределения температуры, которое для пограничного слоя имеет вид:

При точном решении задачи распределение скоростей, как нетрудно видеть из структуры уравнений, всегда зависит от распределения температуры. Поэтому оба распределения всегда зависят от отношения

Отсюда следует, что «числа» в полученных нами оценках для являются некоторыми функциями от отношения

Составляя при помощи приведенных выше формул безразмерные числа

мы найдем:

Если теперь, вместо того чтобы рассматривать перенос тепла посредством конвекции в направлении потока, мы рассмотрим перенос тепла посредством теплопроводности в направлении, перпендикулярном к потоку, то мы должны будем положить

и поэтому получим, что

Отсюда ясно видно, что путем примитивных соображений приведенного рода ни в коем случае нельзя точно выяснить, в каком виде должна войти в формулы безразмерная величина

Рис. 309. Распределение температур и скоростей около нагретой вертикальной стенки

Строгое решение системы дифференциальных уравнений (122) и (124), после подстановки в них приведенных выше степенных выражений основных величин, дал Польгаузен для случая (воздух). Из этого решения следует, что в том месте где

Зависимость величин и от изображена на рис. 309. Эти теоретические результаты очень хорошо подтверждены тщательными опытами Шмидта и Бекмана.

Герман теоретически исследовал естественный поток, возникающий около нагретого круглого цилиндра с горизонтальной осью, в предположении, что мало по сравнению с диаметром цилиндра Это предположение позволило применить к рассматриваемому случаю приемы, применяемые для расчета пограничных слоев. Оказалось, что функции, изображенные графически на рис. 309, применимы и для потока около цилиндра; кроме того, для этого потока получаются такие же степенные зависимости, как и для потока около вертикальной пластинки, с заменой только на Зависимость скорости и толщины пограничного слоя от центрального угла подчиняется, конечно, особым законам, свойственным для рассматриваемого случая (см. рис. 311). Все результаты вычислений хорошо подтверждены опытами Иодльбауэра. Для переноса тепла теоретический расчет дает соотношение

Из опытов при значениях для коэффициента при радикале получилось значение 0,395, т.е. лишь немного большее теоретического значения.

Конвективные потоки около вертикальной пластинки и цилиндра остаются ламинарными до весьма больших чисел Грасгофа. Герман наблюдал потоки около вертикальной пластинки высотой и цилиндра диаметром 58,5 см и нашел, что переход ламинарного течения в турбулентное происходит при числах Грасгофа, равных соответственно Критическое число Рейнольдса в обоих случаях было равно около 500 (столь низкое значение этого числа связано с особым видом профиля скоростей).

Рис. 310. Снимок конвективного потока около нагретой вертикальной пластинки

Рис. 311. Снимок конвективного потока около нагретого круглого цилиндра с горизонтальной осью

При числах Грасгофа, меньших 105, толщина «пограничного слоя» не мала по сравнению с высотой пластинки или диаметром цилиндра, и выведенные выше формулы становятся тем менее точными, чем меньше число Грасгофа Между тем задача о теплоотдаче в воздухе горизонтально натянутой проволоки, нагреваемой электрическим током, имеет большой практический интерес. Герман, обработав чужие экспериментальные результаты, составил для связи между числами числовую таблицу. Приводим небольшую выдержку из этой таблицы для малых разностей температур и при неподвижном воздухе:

В движущемся воздухе теплоотдача проволоки значительно увеличивается.

Потоки около нагретых тел могут быть визуально обнаружены

тем фотосъемки по способу, разработанному Шмидтом и сходному со способом Теплера. Этот способ особенно пригоден для исследования плоских потоков, так как позволяет получать для таких потоков не только качественные, но и количественные выводы. Суть способа Шмидта заключается в следующем. Горячее тело проектируется на достаточно удаленный экран при помощи параллельного пучка света. Так как плотность нагретого слоя воздуха, прилежащего к телу, меньше, чем плотность невозмущенного воздуха, то лучи света, проходящие через этот слой параллельно отдающей тепло поверхности, отклоняются наружу, причем сильнее всего там, где градиент плотности имеет наибольшее значение, т. е. непосредственного около нагретого тела. Вследствие этого на снимке получается отчетливая светлая кайма. Так как теплоотдача в каждом месте тела пропорциональна градиенту плотности в этом месте, то расстояние внешнего контура полученной каймы от контура тени ненагретого тела дает численную оценку для местной теплоотдачи. Вне пограничного слоя лучи света не отклоняются, внутри же пограничного слоя они отклоняются наружу, но слабее, чем в самом близком к телу слое воздуха. Отсюда следует, что при достаточном удалении экрана от тела все пространство, занятое нагретым слоем, получается на снимке темным. На рис. 310 изображен снимок с потока около нагретой вертикальной пластинки. Контур тени холодной пластинки отмечен пунктиром. Из снимка ясно видно, что толщина пограничного слоя пропорциональна а теплоотдача пропорциональна На рис. 311 изображен снимок потока около нагретого круглого цилиндра с горизонтальной осью. Теплоотдача вдоль нижней половины цилиндра почти постоянная, но по мере перехода на верхнюю половину она сильно уменьшается.

d) Конвективный поток около горизонтальной пластинки. В этом случае условия для движения около нижней и верхней поверхностей пластинки совершенно различные. Под пластинкой возникает устойчивое расслоение. Нагретый воздух оттекает постепенно, огибая боковые края пластинки. Над пластинкой расслоение получается, наоборот, неустойчивым, движение нагретого воздуха здесь происходит очень неправильно, он то поднимается, то опускается (рис. 312). Экспериментальные исследования, выполненные до настоящего времени, дают не совсем одинаковые результаты.

Неустойчивость потока над нагретой пластинкой представляет особый интерес в связи с особой формой течения, которая при этом

Рис. 312. Снимок конвективного потока около нагретой горизонтальной пластинки

возникает. Эта форма течения обнаруживается в особенно чистом виде при нагревании снизу тонкого слоя жидкости с не очень малым коэффициентом теплового расширения. Своеобразные явления, возникающие при таком нагревании, очень подробно изучены Бенардом и его учениками, а также многочисленными другими авторами. Выяснилось, вопреки элементарным соображениям об устойчивости, изложенным на стр. 24 и 28, что при одновременном действии теплопроводности и вязкости возможно, при умеренной разности температур, такое устойчивое расслоение жидкости, в котором плотность увеличивается снизу вверх. Если разность температур становится больше некоторого определенного значения, зависящего от толщины слоя жидкости (см. ниже), то внутри жидкости возникают восходящие и нисходящие движения, которые после некоторой беспорядочной стадии приводят к разделению всего слоя жидкости на систему ячеек более или менее правильной структуры. При незначительном превышении критической разности температур получаются правильно расположенные шестиугольные ячейки такого же вида, как ячейки в пчелиных сотах. В середине каждой ячейки жидкость поднимается, а вдоль контура ячейки опускается. При большей разности температур или при большей толщине слоя ячейки получаются более или менее неправильными (рис. 313), но движение остается устойчивым. При еще большей разности температур правильное «ячейковое» движение заменяется беспорядочной совокупностью неустановившихся восходящих и нисходящих движений, поток становится турбулентным (рис. 314).

Рис. 313. Устойчивый конвективный поток (2/5 натуральной величины). Слева высота слоя жидкости равна 4 мм, справа 10 мм. Для придания течению видимости к жидкости были добавлены маленькие алюминиевые блестки

Рис. 314. Турбулентный конвективный поток. Высота слоя жидкости равна 20 мм

Если на вертикальное движение налагается горизонтальное движение, то в устойчивом случае образуются вместо «ячейковых» вихрей параллельные вихревые трубки, причем каждые две соседние трубки вращаются в разные стороны.

Теория такого рода движений впервые была дана Релеем, правда, в упрощенной форме. Тем не менее Релей получил вполне правильный результат, согласно которому сохранение устойчивости зависит от величины

которую в настоящее время можно представить также в следующем виде

Критическое значение этой величины впервые было вычислено Джеффри. Правильность вычислений Джеффри была затем подтверждена работами Лоу и Авсека. Для твердых стенок, хорошо проводящих тепло и снизу и сверху, это критическое значение равно приблизительно 1705. Шмидт и Сондерс, производившие опыты с водой при средней температуре от 18 до 20°, откладывали измеренные значения в функции от мощности электрического тока, нагревавшего стенку, и обнаружили, что полученные кривые имеют один четко выраженный перелом при А, равном от 1700 до 1800,6 и второй перелом приблизительно при (переход к турбулентному потоку). Далее они нашли, что при значениях А от 47000 до 150 000 (наибольшее значение А, которого они достигли в своих опытах), теплоотдача определяется формулой

Указанный выше теоретический результат можно получить следующим путем. Рассмотрим для простоты плоское течение в плоскости Составляющие скорости обозначим через Распределение

Рис. 315. Конвективный поток

температуры представим в виде уравнения

обозначения — см. на рис. 3151, а распределение плотности — в виде уравнения

Предполагая, что движение ползущее, т. е. пренебрегая силами инерции, мы будем иметь для решения задачи следующие уравнения:

и, кроме того, уравнение неразрывности

в котором плотность можно считать приближенно постоянной. Если требуется определить условия возникновения критического состояния, то величины следует принять очень малыми. В таком случае после отбрасывания величин второго порядка малости в левой части уравнения (127) остается только член

Таким образом, задача сводится к решению системы из четырех линеаризованных дифференциальных уравнений. Исключая из четырех неизвестных три, мы получим одно дифференциальное уравнение, решение

которого сводится к задаче о собственных значениях. Вместо того чтобы приводить такое решение, мы ограничимся здесь только приближенной оценкой, вполне достаточной для наших целей. Если протяжение каждого отдельного вихря вдоль оси х такого же порядка, как и протяжение вдоль оси z, то нам достаточно выяснить зависимость искомых величин только от Давление есть величина, зависящая от других искомых величин; следовательно, если будут известны эти величины, то можно будет определить и Поэтому при нашей приближенной оценке давление можно вообще не рассматривать. Величина в правой части уравнения равна

Первое слагаемое влияет только на давление в состоянии покоя, для движения же существенно только второе слагаемое; поэтому первое слагаемое можно отбросить. Порядок величины производных будет соответственно — и Следовательно, имея в виду, что мы получим из уравнении (126) и (127) следующее соотношения:

и

Так как произведение левых частой должно быть пропорционально произведению правых частей, то мы имеем:

откуда следует, что

Аналогия рассмотренных явлений с процессом образования некоторых видов облаков очевидна; поэтому теория этих явлении часто используется в метеорологической литературе. В условиях атмосферы

вместо нагреваемого горизонтального дна мы имеем нижнее основание устойчивого расслоения воздуха, а вместо свободной поверхности — верхнее основание этого слоя. Для возникновения «ячейковой» циркуляции необходимо, чтобы происходило нагревание или охлаждение какого-нибудь отдельного слоя и, как следствие, нарушение равновесия. Так, например, сильное охлаждение верхней поверхности устойчивого слоя в ночное время (вследствие излучения тепла) приводит к образованию характерных слоистых облаков, которые легко наблюдать при свете Луны. Впрочем, необходимо заметить, что некоторые кратковременные явления очень сходного вида, например, небольшие кучевые облака (барашки), могут возникать также вследствие обычной неустойчивости расслоения воздуха [такая неустойчивость получается в том случае, когда влажная масса воздуха, расположенная под слоем сухого воздуха, поднимается; при этом влажный воздух расширяется по влажной адиабате и образует облако, а сухой слой расширяется по сухой адиабате и поэтому охлаждается сильнее влажного].

Структура солнечной поверхности, явственно обнаруживаемая на фотоснимках и называемая грануляцией, представляет собой, по Зидентопфу, не что иное, как конвективный поток, вызванный ионизацией тонкого слоя атмосферы Солнца вблизи его поверхности ионами водорода. Движение в этом потоке турбулентное, и отдельные элементы его очень недолговечны.

е) Горный и долинный ветры в расслоенном воздухе. Склон горы можно рассматривать как пластинку, наклоненную под некоторым углом а к горизонту. При нагревании склона днем и охлаждении его ночью около него создается температурное поле, вследствие чего возникают конвективные потоки. Если бы в данном случае отсутствовало расслоение воздуха, то закономерности для таких потоков можно было бы получить из закономерностей для потока около вертикальной пластинки путем замены в них на При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство. В случае, если пластинка имеет температуру, более высокую, чем окружающая среда, то возмущение температурного поля над пластинкой влечет за собой появление статической неустойчивости, что создает благоприятные условия для возникновения турбулентности. Наоборот, под нагретой пластинкой или над

охлажденной пластинкой возникает статическая устойчивость, затрудняющая возникновение турбулентности.

Совсем иные соотношения получаются при расслоении массы воздуха. В этом случае, если потенциальная температура возрастает с высотой, с самого начала создается устойчивое расположение всей массы воздуха. В таком расслоении нагретая частица воздуха может подняться только на ту высоту, на которой она будет окружена другими частицами воздуха с той же температурой. Однако если теплоотдача от нагреваемой поверхности будет продолжаться, то нагретые частицы будут подниматься выше.

Рис. 316. Склоновый ветер

Проще всего для исследования случай ламинарного течения (рис. 316). Результаты вычислений показывают, что для плоскости, наклоненной под углом а к горизонту и имеющей везде одинаковую температуру, большую температуры воздуха, движение каждой частицы воздуха приблизительно равномерное, следовательно, инерция не влияет на движение.

Для выполнения вычислений введем сначала систему координат от которой затем перейдем в координатам (рис. 316). Потенциальная температура воздуха с учетом температурного возмущения вследствие теплопроводности от нагретой поверхности равна

Скорость в направлении х примем зависящей только от Тогда от уравнений Навье-Стокса останется только одно уравнение, которое после исключения весового давления примет вид:

Уравнением переноса тепла, как нетрудно видеть, будет:

Подставляя сюда значение из уравнения (128) и имея в виду, что мы получим:

Дважды дифференцируя это уравнение и подставляя значение — в уравнение (129), мы будем иметь:

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

где

а с есть возмущение температуры около поверхности. Наконец, после небольших вычислений мы найдем из уравнения (129), что

Примечательно, что скорость не зависит от угла наклона а поверхности. Это объясняется следующим образом: хотя статическая подъемная сила, связанная с неодинаковой плотностью воздуха вследствие нагревания, уменьшается при уменьшении угла наклона а, но одновременно в равной мере уменьшается и торможение движения через расслоенную массу воздуха в направлении Уменьшение торможения выражается в том, что увеличивается величина [Согласно расчету пограничного слоя, изложенному на стр. 153, удвоению «незаторможенного пробега» отвечает увеличение толщины пограничного слоя I в раз, в соответствии с формулой (133)].

Графики уравнений (132) и (134) изображены на рис. 316. На первый взгляд кажется странным, что температурные возмущения могут принимать также отрицательные значения. Однако нетрудно убедиться в закономерности такого явления. В самом деле, нагретые части воздуха при своем подъеме приводят в движение вследствие трения и такие слои воздуха, которые сами не нагреты; эти слои воздуха, поднявшись на большую высоту, приобретают там температуру, меньшую температуры окружающих слоев воздуха, не участвовавших в движении. На рис. 316 приведены две кривые

изображающие деформированные потенциальные изотермы для случая сильного нагревания, делающего вполне вероятным возникновение турбулентности.

Выведенные выше формулы можно сделать более наглядными, если подставить в них и ввести такую высоту чтобы соблюдалось равенство

Тогда, например, формула (134) примет вид

Для случая турбулентного движения ограничимся оценкой. Вместо уравнения (129) будем исходить из следующего соотношения: примем, что касательное напряжение на шероховатой поверхности, которое приближенно равно

где есть максимальная скорость, пропорционально статической подъемной силе, вызванной нагреванием, всего нагретого слоя толщиной Следовательно, будем считать, что

К этому соотношению надо присоединить еще уравнение (130), предварительно заменив в нем температуропроводность величиной где а есть коэффициент турбулентного перемешивания. Подставляя в равенство и имея в виду, что

мы получим из равенства (135):

следовательно,

Подставляя это значение а в соотношение (130), мы получим:

откуда

Наконец, подставляя эта значение I в соотношение (136), мы найдем скорость

Следовательно, скорость по-прежнему не зависит от угла а. Необходимо, однако, заметить, что коэффициент трения С, зависит не только от отношения (см. стр. 178), а также — особенно при небольших углах наклона — от степени турбулентности, определяемой числом Ричардсона (см. стр. 505). Вследствие этого, а также вследствие возрастания I уменьшение угла наклона а влечет за собой постепенный переход к закономерностям, имеющим место над горизонтальной нагретой плоскостью и рассмотренным выше, в пункте

Возникновение воздушных потоков на склонах гор (восходящих при нагревании и нисходящих при охлаждении) равносильно тому, что для окружающего воздуха около подножия горы и на ее гребне образуются стоки и источники. Так, например, восходящий поток нагретого воздуха в длинной долине между высокими горами, наполненной устойчиво расслоенной массой воздуха, равносилен появлению стока в нижнем конце долины. В этот сток устремляется равнинный воздух и создается так называемый долинный ветер, который вследствие устойчивого характера расслоения воздуха в долине может двигаться в основном только горизонтально. Так как сток расположен в самых низких слоях, то следует ожидать, что скорость долинного ветра достигает наибольших значений именно в нижних слоях. При охлаждении горных склонов вследствие ночного излучения холодные массы воздуха скапливаются на дне долины и текут по ней, подобно реке, вниз — возникает так называемый горный ветер. Верхнее течение воздуха, возникающее вследствие наличия стока в верхнем конце долины, мало заметно, так как оно распространяется в верхних слоях беспрепятственно, не встречая суживающихся стенок.

Исследования склоновых ветров с количественной точки зрения, например, в отношении их мощности вдоль направления (рис. 316) или степени их турбулентности, насколько известно автору, до сих пор не производились.