§ 14. Теорема о количестве движения для потоков с пульсациями скорости.

Среди неустановившихся течений часто встречаются такие, в которых скорость в каждой точке пространства хотя и изменяется со временем, причем иногда даже значительно и очень неравномерно, тем не менее в среднем она остается постоянной для любого достаточно большого промежутка времени. Совокупность таких средних значений скорости во всех точках пространства определяет собой некоторое установившееся течение. Действительное, т. е. неустановившееся, течение в таких случаях принято называть течением, в среднем установившимся. Простой случай такого течения мы рассмотрели в примере с) предыдущего параграфа.

Обозначим для течения, в среднем установившегося, средние значения составляющих скорости вдоль осей координат через а мгновенные отклонения составляющих фактической скорости от соответствующих средних значений — через Тогда мы будем иметь:

причем, согласно определению, средние значения величин называемых пульсациями скорости, или пульсационными скоростями, равны нулю.

Применяя теорему о количестве движения к течениям, в среднем установившимся, нельзя оперировать только со средней скоростью. Необходимо, как мы сейчас увидим, учитывать также пульсации скорости, составляя для этого средние значения всех количеств движения, переносимых через неподвижную контрольную поверхность.

Вычислим сначала составляющую количества движения вдоль оси х для участка контрольной поверхности, перпендикулярного к оси х. В промежуток времени через единицу площади контрольной поверхности проходит масса она переносит с собой количество движения Изменение количества движения за одну секунду равно

где интеграл представляет собой изменение количества движения в течение более или менее длительного промежутка времени Обозначая для краткости среднее значение чертой над буквой, мы можем написать:

Мы имеем:

Для того чтобы вычислить среднее значение от учтем, что среднее значение от равно опять так как уже является средним значением от и. Среднее значение от и равно, согласно определению, нулю. Среднее значение от не может быть равно нулю, так как все величины положительны. Следовательно,

Таким образом, в рассматриваемом случае к количеству движения течения, в среднем установившегося, надо прибавить количество движения являющееся средним значением количеств движения пульсации и. Если вместо количеств движения рассматривать соответствующие им реакции, то количеству движения будет соответствовать,

как всегда, реакция, направленная внутрь контрольной поверхности и действующая как дополнительное давление на стенки, ограничивающие жидкость.

Вычислим теперь составляющую количества движения опять вдоль оси х, но для участка контрольной поверхности, перпендикулярного к оси у. В промежуток времени через единицу площади контрольной поверхности проходит масса но так как мы вычисляем составляющую количества движения вдоль оси х, то теперь количество движения, переносимое массой равно Среднее значение этого количества движения за промежуток времени будет

Для вычисления перемножим мы получим:

Составляя среднее значение, мы найдем:

Так как

Следовательно, и в этом случае к количеству движения потока в среднем установившегося, необходимо прибавить величину представляющую собой среднее от количеств движения пульсаций. Величина может не быть равной нулю. В самом деле, если положительным пульсациям и соответствуют главным образом положительные пульсации а отрицательным пульсациям и — главным образом отрицательные пульсации то преобладающее число произведений будет положительным. Если же, наоборот, положительным пульсациям и соответствуют главным образом отрицательные пульсации а отрицательным пульсациям и — главным образом положительные пульсации то в этом случае преобладающее число произведений будут отрицательными. Таким образом, в обоих случаях среднее от произведений не будет равно нулю. Реакция, соответствующая количеству движения направлена вдоль оси х, т.е. по

касательной к взятому участку контрольной поверхности, следовательно, эта реакция представляет собой не что иное, как касательное напряжение. Учитывая ее направление, мы можем написать:

Остается выяснить еще следующий вопрос: не дает ли масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, какую-либо составляющую изменения количества движения. Легко видеть, что если скорость в каждой точке потока в среднем не изменяется, то пульсации этой скорости должны состоять из положительных и отрицательных отклонений, в сумме приводящихся к нулю. Следовательно, при осреднении по времени масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, не может дать изменения количества движения.

Таким образом, в потоках, в среднем установившихся, пульсации скорости обусловливают появление касательных напряжений, которые, как мы увидим в § 1 следующей главы, аналогичны касательным напряжениям, возникающим при движении вязких жидкостей. Полученные результаты будут нами использованы при изучении турбулентных течении (§ 4 гл. III).

Рис. 80. Волновое движение