§ 12. Движение жидкостей в каналах с переменным поперечным сечением

а) Простейшим примером течения в канале с переменным сечением является истечение жидкости из сосуда через насадок. Случай истечения без гидравлических потерь был рассмотрен нами в § 5, гл. II. Напомним, что вследствие сжатия струи ее поперечное сечение обычно меньше поперечного сечения отверстия а именно, оно равно а, где а есть коэффициент сжатия струи (при истечении через отверстие с острыми краями а и 0,61). Скорость в середине струи при истечении из сосуда, поперечное сечение которого велико по сравнению с поперечным сечением насадка, обычно очень точно равна Однако ближе к краям струи скорость вследствие трения притекающей жидкости о стенки насадка меньше указанной величины; при истечении из насадка, изображенного на рис. 32, это уменьшение значительнее, чем при истечении через отверстие в стенке (рис. 31). Таким образом, средняя скорость истечения несколько меньше теоретической и может быть принята равной

где есть коэффициент уменьшения скорости. Для малых отверстий и небольших скоростей истечения (т. е. для малых чисел Рейнольдса) этот коэффициент значительно меньше единицы; для больших же отверстий и больших скоростей он почти всегда очень близок к единице (при условии, что поперечное сечение сосуда значительно больше поперечного сечения отверстия). Процесс истечения может быть использован для измерения количества вытекающей жидкости. Для этого надо измерить площадь поперечного сечения отверстия и высоту уровня жидкости в сосуде и подсчитать секундный расход жидкости по формуле

Произведение обычно обозначается одной буквой и называется коэффициентом расхода. Для определения этого коэффициента достаточно взвесить количество жидкости, вытекшее из насадка за определенный промежуток времени.

Ь) При истечении через насадок с острыми краями (рис. 130) гидравлические потери довольно велики. При входе в насадок происходит такое же сжатие струи, как при истечении из отверстия в стенке, но затем струя опять расширяется и при этом перемешивается с жидкостью из мертвой зоны, окружающей струю (на рис. 130 эта зона зачернена точками). Для истечения через такой насадок теория,

изложенная в § 1-3 п. с) предыдущей главы, приводит к следующему результату. Если есть средняя скорость истечения в концевом сечении насадка, то скоростью в самом узком сечении струи будет где а есть коэффициент сжатия струи. Следовательно, кроме напора теряется еще напор Сумму обоих этих напоров следует приравнять высоте уровня жидкости в сосуде.

Рис. 130. Насадок с острыми краями

Решив полученное уравнение относительно скорости, мы найдем коэффициент уменьшения скорости:

Если то .

с) При внезапном сужении в трубе (рис. 131), кроме падения давления в соответствии с уравнением Бернулли, возникает еще потеря давления, аналогичная рассмотренной в предыдущем пункте.

В самом деле, при переходе жидкости в суженную часть трубы происходит такое же сжатие струи, как и при истечении через насадок с острыми краями. Коэффициент сжатия струи, согласно Вейсбаху (Weisbach), равен

где есть площадь поперечного сечения трубы до сужения, после сужения.

Если вслед за сужением поперечное сечение трубы опять расширяется (рис. 132), то происходит потеря давления

Измеряя разность давлений которая больше, чем разность можно определить количество жидкости, протекающей через трубу. Если отвлечься от небольших потерь, то согласно уравнению Бернулли,

Если давления измерены через отверстия, сделанные в стенке трубы до и после сужения, а коэффициент сжатия известен из других

Рис. 131. Внезапное сужение трубы

Рис. 132. Дроссельная шайба (диафрагма)

опытов, то из только что составленного уравнения можно вычислить скорость до сужения. Зная же скорость мы можем определить секундный расход:

Согласно Букингему (E. Buckingham) в пределах между для определения а можно пользоваться формулой:

При движении жидкости через короткие колена также происходит сжатие струи с последующим выравниванием скоростей. Потеря напора принимается равной где есть коэффициент сопротивления, определяемый для каждого отдельного случая опытным путем. Значение этого коэффициента для типичных случаев можно найти в инженерных справочниках или специальных курсах.

d) Постепенное сужение трубы влечет за собой очень незначительную потерю напора. Наоборот, при постепенном расширении потеря напора может оказаться много большей, так как при расширении потока возникают благоприятные условия для его отрыва от стенок. Восстановление давления, связанное с расширением трубы, всегда значительно больше при постепеннолм расширении, чем при внезапном. В случае так называемой трубки Вентури (рис. 133) потеря давления равна

где коэффициент равен от 0,15 до 0,2. Трубка Вентури также используется для определения количества протекающей жидкости. Для этой

Рис. 133. Трубка Вентури

цели измеряются давление до сужения и давление в самом узком месте трубки. Вычисления ведутся так же, как и в случае диафрагмы, только теперь, при хорошей форме трубки коэффициент сжатия а может быть принят равным единице. Что касается коэффициента уменьшения скорости, то он не равен точно единице и, кроме того, зависит от степени равномерности притока. Поэтому в тех случаях, когда к трубке Вентури предъявляются высокие требования точности, рекомендуется ее предварительная тарировка. То же самое относится к дроссельной шайбе, изображенной на рис. 132.

Повышение давления возникающее при движении жидкости во внезапно или постепенно расширяющейся трубе, используется в так называемых струйных приборах (рис. 134) для всасывания или перекачки других жидкостей. В качестве примера укажем на водоструйный насос, позволяющий откачивать воздух до весьма значительного разрежения (для того чтобы разность сделалась равной одной атмосфере, необходима скорость далее на горелку Бунзена, в которой струя газа, вытекающая из специального насадка, засасывает воздух и смешивается с ним. Другим применением увлекающего действия расширяющейся струи является тяговая труба паровоза, в которой пар, вытекающий из цилиндров, засасывает продукты сгорания из дымовой камеры и таким путем поддерживает горение. Интересным примером струйного прибора является так называемый

инжектор, в котором пар, вытекающий из котла, засасывает холодную воду из колодца и перекачивает ее в котел (действие инжектора объясняется увеличением плотности пара при его конденсации в воду; из котла берется большой объем пара, а взамен него подается значительно меньший объем воды). Мы не можем здесь более подробно заниматься теорией струйных приборов; упомянем только, что в основе этой теории лежат такие же соотношения, как и для дроссельной шайбы и трубки Вентури.

Рис. 134. Струйный насос

Рис. 135. Водослив через плотину с острой вершиной

Рис. 136. Истечение через узкую щель

е) В открытых руслах водослив через плотину (рис. 135) позволяет легко измерить расход воды. Для оценки расхода воды, поскольку речь идет о структуре формулы, можно воспользоваться формулой (75), выведенной в § 16 предыдущей главы. Такую же формулу можно получить из решения совсем другой задачи, на первый взгляд имеющей лишь отдаленное отношение к водосливу. Рассмотрим истечение через узкую вертикальную щель в стенке открытого бассейна (рис. 136). В этом случае можно разбить поперечное сечение щели на узкие элементы Через каждый такой элемент вытекает количество жидкости

Интегрируя от до мы получим полный расход:

Эта формула совпадает с формулой (75) § 16 предыдущей главы, если принять, что

и заменить на z. Такое формальное совпадение обеих формул связано с тем, что размеры, определяющие водослив, из соображений размерности никаким иным образом не могут войти в формулу (77). Более того, опыт показывает, что для вертикального водослива через плотину с острой вершиной (рис. 135) и через щель, изображенную на рис. 136, числовые коэффициенты в формулах для расхода почти совпадают. Особенно тщательные измерения выполнены для водосливов между параллельными стенками (без бокового сжатия струи) через вертикальную плотину с острой вершиной и с доступом воздуха под падающую струю. Согласно Рэбоку,

где а есть высота вершины плотины над основанием бассейна, небольшая высота, равная по-видимому, связанная с поверхностным натяжением, высота водослива, т. е. высота над вершиной плотины уровня свободной поверхности воды, измеренная на некотором расстоянии от плотины. Измерение уровня воды производится с хорошей точностью, например, при помощи прибора, изображенного на рис. 137. Острие, фиксирующее уровень воды, обращено кверху потому, что гораздо легче заметить, когда оно появляется из-под воды, чем когда оно погружается в воду.

Рис. 137. Приспособление для отсчета уровня свободной поверхности воды

Для плотин с пологой вершиной опыты хорошо подтверждают теоретическое значение коэффициента

f) Сооружения, возводимые в открытых руслах, нарушают равномерное течение. Связанные с этим явления очень подробно изучены гидравликами. Если эти явления развиваются на очень коротком участке реки, то в первом приближении можно пренебречь действием трения; тогда мы получим соотношения, уже рассмотренные в п. 16 предыдущей главы. Однако во многих случаях сопротивление вследствие трения играет столь существенную роль, что его необходимо учитывать. Если вертикальным ускорением всюду можно пренебречь (следовательно, если кривизна свободной поверхности всюду мала), то достаточно рассмотреть только среднее продольное ускорение Тогда уклон свободной поверхности в каждой точке будет складываться, во-первых, из уклона, обусловленного трением и соответствующего значениям скорости и глубины воды во взятой точке, и во-вторых, из уклона обусловленного продольным ускорением. Если есть уклон дна русла, то очевидно, что

Уравнением неразрывности в простейшем случае, когда русло очень широко, а глубина постоянна по всей ширине русла, будет

После исключения скорости мы получим для определения при заданном уклонена диференциальное уравнение первого порядка. Для его решение будет, конечно, наиболее простым. По своему характеру это решение будет различным в зависимости от того, является ли невозмущенное течение при заданном уклоне спокойным или стремительным (см. § 16 гл. II и § 11 гл. III). Не производя вычислений, укажем лишь на важнейший их результат: при спокойном течении всякого рода возмущения равновесного состояния распространяются, постепенно затухая, и вниз, и вверх по течению, при стремительном же течении только вниз по течению. Если в последнем случае путем какого-либо насильственного вмешательства, например, путем установки поперек русла щита, возмущения течения вынуждаются распространяться вверх по течению, то это происходит всегда в виде прыжка воды, причем течение между прыжком и препятствием приобретает спокойный характер. На рис. 138 и 139 изображены для двух

Рис. 138. Кривая подпора для

Рис. 139. Кривая подпора для

потоков в преувеличенном масштабе кривые, получаемые при пересечении свободной поверхности с вертикальной плоскостью, параллельной направлению течения. Оба потока начинаются из озера, посредине рассматриваемого участка преграждаются щитом, опущенным в воду, и заканчиваются сбросом с уступа. Разница между обоими потоками состоит только в их уклоне Для потока, изображенного на рис. 138, этот уклон меньше уклона соответствующего критической скорости поэтому течение в потоке спокойное. Для второго потока уклон больше следовательно, течение в потоке стремительное. Мы видим, что в первом случае прыжок воды образуется после щита, а во втором, наоборот, до щита. Кривая пересечения свободной поверхности с вертикальной плоскостью называется кривой подпора, если глубина воды вниз по течению увеличивается, и кривой спада, если глубина потоки вниз по течению уменьшается.