§ 7. Поведение тел в ускоренных потоках. Силы гидродинамического дальнодействия.

В этом параграфе мы рассмотрим несколько случаев силового взаимодействия между неравномерно движущимся потоком и телом, в нем находящимся. Эти случаи представляют интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения. Мы ограничимся рассмотрением только потенциальных течений в среде, окружающей тело со всех сторон, следовательно, не будем касаться течений с образованием поверхностей раздела.

Первый случай относится к продувке в аэродинамических трубах моделей дирижаблей. Как мы уже упомянули в § 22 гл. III, если стенки трубы параллельные, то давление в потоке вследствие его трения о стенки постепенно падает. Такое падение давления равносильно появлению добавочной силы, приложенной к модели и направленной против потока. Следовательно, эта сила увеличивает лобовое сопротивление. Так как лобовое сопротивление моделей дирижаблей очень незначительное,

то возникновение даже небольшого добавочного сопротивления значительно искажает результаты измерений. В первое время для исправления результатов измерения из сопротивления, измеренного на весах, вычитали величину где V есть объем модели дирижабля; иными словами, предполагали, что на модель действует кроме сопротивления еще сила, аналогичная статической подъемной силе. Однако более строгое гидродинамическое исследование, впервые выполненное Мунком, а затем продолженное Глауэртом и Тейлором, показало, что указанный прием дает правильные результаты только в том случае, если к объему V дирижабля прибавить еще объем V присоединенной массы (см. стр. 247). Правда, для моделей дирижаблей это уточнение почти не изменяет прежнего правила, так как присоединенная масса вытянутого эллипсоида с отношением осей составляет только 4,5% вытесненной массы жидкости. Но для слабо вытянутого эллипсоида с отношением осей присоединенная масса равна 20%, а для шара — 50% от вытесненной массы, поэтому в этих случаях уточнение получается очень существенным. Желающих ознакомиться со строгим доказательством и с другими примерами аналогичных течений отсылаем к работе Толлмина. В этой работе, в частности, вычислены силы и вращающие моменты, действующие на тело, обтекаемое слабо искривленным потенциальным потоком.

Перейдем к следующей задаче — выясним, как ведет себя тело, находящееся в жидкой среде, в которой имеют место переменные по времени ускорения. Пусть, например, среда, окружающая тело, получает ускорение в направлении оси х. Вычислим, какое ускорение получает при этом тело. Обозначим плотность среды через а плотность тела — через Возмущения, вызываемые в жидкости телом, сначала не будем учитывать; в таком случае мы можем принять, что все части жидкости получают одинаковое ускорение. Этого можно достичь в действительности, например, следующим образом: заключим жидкую среду, которую будем предполагать несжимаемой, в какой-нибудь сосуд так, чтобы она заполняла его сплошь, и сообщим сосуду

ускоренное поступательное движение; тогда каждая частица жидкости также будет совершать это ускоренное движение. Одинаковому ускорению всех частиц соответствует одинаковое во всем потоке падение давления в направлении ускорения, равное

Вследствие этого падения давления тело, находящееся в жидкости, получает прежде всего «подъемную силу» в направлении ускорения, равную Так как мы предполагаем, что плотность тела не равна плотности жидкой среды, то ускорение тела также не будет равно ускорению жидкости Следовательно, возникнет движение тела относительно жидкости с ускорением Этому ускоренному движению соответствует сопротивление, направленное в сторону, противоположную подъемной силе, и пропорциональное присоединенной массе т. е. равное Результирующая сила, т. е. разность между подъемной силой и сопротивлением, должна быть равна, очевидно, массе тела умноженной на его ускорение Таким образом, мы получаем уравнение:

откуда находим искомое ускорение

Это соотношение показывает, что для ускорение меньше ускорения и наоборот. Для мы имеем, как и следовало ожидать, что Последний результат приложим к любому объему рассматриваемой жидкости, мысленно выделенному из остальной жидкости; следовательно, этот объем вынужден под воздействием окружающей жидкости двигаться с таким же ускорением, как и остальная жидкость.

В. Бьеркнес описывает следующий простой опыт, иллюстрирующий соотношение (20). Три пробирки наполняются одинаковой жидкостью; в первую из них опускается тело с удельным весом, меньшим

удельного веса жидкости, во вторую — тело с таким же удельным весом, как у жидкости, и в третью — тело с удельным весом, большим, чем у жидкости. Пробирки плотно закрываются так, чтобы в них не было пузырьков воздуха. Затем они кладутся одна за другой на стол и одновременно ударяются в продольном направлении легким деревянным молотком. Удар сообщает им ускоренное движение, которое сразу же тормозится вследствие трения о поверхность стола. При этом происходит следующее. В первой трубке тело проходит больший путь, чем сама трубка, и, следовательно, перемещается относительно нее в направлении удара. Во второй трубке тело движется в точности так же, как и трубка. Наконец, в третьей трубке тело отстает от трубки, следовательно, перемещается относительно нее в сторону, противоположную направлению удара. В качестве еще одного примера Бьеркнес указывает на пламя свечи, находящейся в ручном переносном фонаре. Когда человек с фонарем начинает идти, пламя, которое легче окружающего воздуха, отклоняется не назад, как можно было бы сначала подумать, а вперед; наоборот, при остановке пламя отклоняется назад

Бьеркнес применил соотношение (20) для исследования поведения тела, ритмично увеличивающего и уменьшающего свой объем, в жидкости, совершающей колебания в том же ритме. Пусть в тот момент, когда жидкость, отклонившись в крайнее правое положение, начинает обратное движение влево (ускорение направлено влево), объем тела достигает своего наибольшего значения, а в тот момент, когда жидкость, отклонившись в крайнее левое положение, начинает двигаться вправо (ускорение направлено вправо), объем тела имеет минимальное значение. Примем для упрощения, что средний удельный вес тела равен удельному весу жидкости. В таком случае, удельный вес тела в расширенном состоянии меньше удельного веса жидкости, и поэтому тело опережает жидкость при ее движении влево; следуя Бьеркнесу, предположим, что периодическое движение жидкости возникает вследствие пульсации второго тела. Если оба тела пульсируют в одинаковой фазе, т.е. оба достигают своего наибольшего и наименьшего объема одновременно, то, как нетрудно убедиться на основании сказанного выше, между ними возникает притяжение. Наоборот, если они пульсируют в противоположной фазе, то между ними возникает отталкивание. В неограниченной жидкости скорости в окрестности пульсирующего тела обратно пропорциональны квадрату расстояния от тела, следовательно силы притяжения или отталкивания, возникающие между

двумя пульсирующими телами, также обратно пропорциональны квадрату расстояния, т. е. они подчиняются такому же закону, как и силы электростатического и магнитного дальнодействия. Поэтому эти силы называются силами гидродинамического дальнодействия. Следует, однако, иметь в виду, что правило знаков для сил при гидродинамическом дальнодействии обратно по сравнению с таким правилом при электростатическом и магнитном дальнодействии, так как в обоих последних случаях разноименные заряды и полюсы притягиваются, а одноименные, наоборот, отталкиваются. Теория сил гидродинамического дальнодействия впервые была опубликована К. А. Бьеркнесом в 1871 г., а затем подробно развита его сыном В. Бьеркнесом. Для демонстрации гидродинамического дальнодействия В. Бьеркнес сконструировал серию приборов. Среди этих приборов наряду с «пульсаторами» имеются «осцилляторы», позволяющие осуществлять диполи, которые ведут себя как элементарные магниты.

Сила притяжения между двумя пульсирующими шарами может быть вычислена следующим образом. Пусть объем первого шара равен

а объем второго —

Масса обоих шаров с течением времени не изменяется. Масса первого из них равна примем для упрощения расчетов, что она равна Тогда, имея в виду, что мы получим, на основании соотношения (20), что

Если амплитуда А мала, то, ограничиваясь членами первого порядка малости, мы можем представить ускорение в следующем виде:

Мгновенная сила равна

Первое слагаемое в правой части при составлении среднего дает нуль, так как оно зависит только от одной периодической величины — ускорения 6, второе же слагаемое, зависящее от двух периодических величин, дает среднее значение, не равное нулю.

Ускорение в окрестности первого пульсирующего шара создается вторым пульсирующим шаром, расстояние которого от первого шара пусть равно Поток около первого шара есть не что иное, как источник с переменной мощностью На основании сказанного в § гл. II скорость в таком потоке равна

Мощность источника с одной стороны, равна а с другой стороны, исключая с из равенства (22), мы получим: стороны, исключая с из равенства (22), мы получим:

Следовательно, ускорение если ограничиться малыми величинами первого порядка, равно

Так как среднее значение от равно то средним значением силы притяжения, на основании равенства (21), будет

Знак минус показывает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению отрезка поэтому она будет силой притяжения, если амплитуды имеют одинаковые знаки. Формула (23) симметрична относительно следовательно, закон равенства действия и противодействия удовлетворяется, как это, конечно, и должно быть.

В практических условиях силы гидродинамического дальнодействия наблюдаются при звуковых колебаниях в жидкости, внутри которой находятся пузырьки воздуха. Вследствие колебания давления соседние пузырьки воздуха ритмично и в одинаковой фазе изменяют свой объем и поэтому притягиваются друг к другу и сливаются в пузырьки большего размера. Постепенно образуются большие пузыри, которые быстро выскакивают из воды. При помощи ультразвуковых колебаний

удается таким путем очень эффективно удалять примеси газа из расплавленных металлов.

При пульсации пузырька газа в окружающем его пограничном слое происходит продольный сдвиг, причем скорости сдвига в одной половине слоя направлены в одну сторону, а в другой — в противоположную сторону. По-видимому, такого рода движение способствует выделению пузырьков газа из растворителя. Это явление наблюдается, между прочим, в смазочном масле, помещенном между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися относительно друг друга.